Учебное пособие 1865

Заметим, что на каждом из трех этапов линейного отображения (преобразование подобия, поворот, параллельный перенос) прямые переходят в прямые, а окружности — в окружности. Следовательно, этими свойствами обладает и линейное отображение (1.1).

2. Дробно-линейная функция. Перейдем к изучению

и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как

Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости .

Если c = 0 , то ω = da z + db и дробно-линейная функция

сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что c ≠ 0 .

Умножим числитель и знаменатель дроби (1.2) на с и

постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия

51

значению ω = ac соответствует z = ∞, а значению ω = ∞ —

равна нулю. По теореме 4.1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.

Для выяснения конформности при z = −dc и z = ∞ нам

понадобится следующее определение.

Под углом между двумя линиями в точке z = ∞ понимается угол между образами этих линий при отображении

z = reiπ6 . При отображении ω = 1z точки параболы перейдут в

ω =1/ z = (1/ r)e−iϕ(r )

52

При r → ∞ будет ω =1/ r → 0 , arg ω = −ϕ(r) → −π / 2 . Значит, ветвь параболы отобразится в кривую, касающуюся оси OY (рис. 4.2, б). Для точек луча ω = 1z = 1r e−iϕ(r ) .

Рис. 4.2

Значит, луч отобразится в луч, симметричный исходному лучу относительно оси ОХ. Угол между образами кривых в плоскости переменного ω равен, очевидно, π3; это и будет,

по определению, угол между исходными кривыми в точке z = ∞.

Отображение называется конформным в точке z = ∞, если оно сохраняет углы между любыми двумя кривыми, проходящими через эту точку.

Дробно-линейное отображение (1.2) переведет их в кривые γ1′ и γ2′ пересекающиеся в точке ω = ∞ . Чтобы найти угол между ними, следует, по определению, отобразить γ1′ и γ2′ c

53

равно ∞ по любому направлению и, следовательно, не зависит от направления. Поэтому отображение (1.2) является конформным в точке z = −dc .

54

Производная этого отображения по переменному W равна

ω′ = bc −ad 2 ; (c +dW )

в точке W = 0 она существует и отлична от нуля. Поэтому угол между γ1′ и γ2′ в точке W = 0 равен углу между γ1′′ и γ2′′ в точке

ω = ac . Это и означает, по определению, что отображение

(1.2) является конформным в точке z = ∞.

Полученные результаты сформулируем в виде

Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 4.1, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме

4.1.

Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.

Теорема 4.2. При дробно-линейном отображении (1.6) окружности всегда переходят в окружности.

(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)

Доказательство. Рассмотрим уравнение

A(x2 + y2 ) + Bx +Cy + D = 0, (1.7)

где А, В, С, D — действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Bx +Cy + D = 0 , т.е. уравнение прямой. Если A ≠ 0 ,

то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству

55

очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения ω = a1z +b1 данное свойство имеет место.

Пусть теперь c ≠ 0 . Воспользовавшись равенством (1.3),

отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований:

1) ω1 = z +G ; 2) ω2 =1ω ; 3) ω = E + Fω2 . Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.

Чтобы сформулировать еще одно свойство дробнолинейных отображений, нам понадобиться следующее определение.

Если точка А приближается к окружности (см. рис. 4.3), т.е. если OA → R , то OA′ тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если OA → 0 , то OA′ → ∞. Поэтому для точки О

симметричной будет бесконечно

понимается обычная симметрия относительно прямой.

Рис. 4.3

57

Лемма 4.1. Для того чтобы точки А и A′ были симметричными относительно окружности Г (возможно, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через А и A′, была перпендикулярна Г (рис. 4.3).

Доказательство. Необходимость. Пусть точки А и A′ симметричны относительно окружности Г. Проведем

касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г′ перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г′ — прямая (это будет в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.

Достаточность. Пусть точки А и A′ таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом (см. рис. 4.4). Докажем, что А и A′ симметричны относительно Г. Так как прямая AA′ перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит, точки О, А, A′ лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и A′ лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром AA′ не была бы перпендикулярна Г.

Проведем произвольную окружность Г′ через А и A′ с радиусом R′< ∞ . Пусть В — точка пересечения Г и Г′. По условию, Г и Г′ пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г′. По той же теореме о секущей и

58

симметричны относительно Г.

Мы доказали лемму 4.1 в случае R < ∞. Если R = ∞, то рассуждение существенно упрощается.

Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):

Теорема 4.3. При дробно-линейном отображении (1.6) пара точек, симметричных относительно окружности (в частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Доказательство. Пусть точки z1 и z2 симметричны

относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (1.6) Г перейдет в кривую γ , которая по теореме

1.4 также является окружностью; точки z1 и z2 перейдут в точки ω1 и ω2 . Надо доказать, что ω1 и ω2 симметричны относительно γ . Возьмем любую окружность γ′, проходящую через ω1 и ω2 ,и рассмотрим ее прообраз Г′ при отображении

(1.6) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих в γ′)- Для этого выразим z из уравнения (1.6):

z = −cdωω−+ab при ad −bc ≠ 0 .

Мы видим, что Г′ получается из γ′ также дробно-линейным отображением. Поскольку γ′ является окружностью, то по теореме 4.3 Г′ — тоже окружность. Так как Г′ проходит через точки z1 и z2 , симметричные относительно Г, то по

перпендикулярна γ . По лемме 4.1 отсюда следует, что точки ω1 и ω2 симметричны относительно γ и доказательство завершено.

59

Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).

Пример 4.3. Найти дробно-линейную функцию,

теореме 4.3 точка z0 , симметричная точке z0 относительно действительной оси, должна переходить в точку ω = ∞ , симметричную точке ω = 0 относительно окружности ω =1 .

где А — комплексная постоянная. Но эта постоянная не вполне

Мы видим, что существует бесконечное множество дробнолинейных функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих функций определяется значениями действительного числа ϕ и комплексного числа z0 .

60