Учебное пособие 1865

4°. Модуль интеграла ∫ f (z)dz не превосходит значения

Γ

криволинейного интеграла от модуля функции по длине кривой s (криволинейного интеграла от f (z) первого рода):

Доказательство. Воспользуемся тем, что для интеграла по отрезку

ββ

∫g(t)dt ≤ ∫ g(t) dt

αα

(это неравенство сразу следует из определения интеграла по отрезку как предела интегральных сумм). Отсюда и из (1.5) имеем

α

5.2. Теорема Коши

Рассмотрим теперь интегралы от (однозначных) аналитических функций. Важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (теорема Коши для односвязной области).

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D. Тогда для любого замкнутого контура Г, лежащего в D,

∫ f (z)dz = 0 .

Γ

91

Доказательство. Для краткости мы проведем доказательство при дополнительном предположении, что производная f'(z) непрерывна в D. В силу равенства (1.3) для

выполнения условия ∫ f (z)dz = 0 необходимо и достаточно,

Γ

чтобы

ΓΓ

Напомним, что если Р(х,у) и Q(x,y) — непрерывные действительные функции в односвязной области D, имеющие в D непрерывные частные производные первого порядка, то равенство

∫Pdx +Qdy = 0

Γ

Применительно к интегралам из (2.1) условие (2.2) имеет вид

(непрерывность частных производных функций и и v вытекает из непрерывности f'(z)). Но условия (2.3) совпадают с условиями Коши-Римана, которые выполнены в силу предположения о том, что функция f(z) является аналитической в D. Таким образом, справедливы равенства

(2.1), а значит, и равенство ∫ f (z)dz = 0 , что и требовалось

Γ

доказать.

Заметим, что если функция f(z) является аналитической в

замкнутой односвязной области D , то в качестве Г можно взять также границу этой области.

92

Рассмотрим теперь обобщение теоремы Коши на многосвязные области. Пусть D — n-связная область, граница которой состоит из внешнего контура Г1 и внутренних контуров Г2, ..., Гn.

Теорема 1.2 (теорема Коши для n-связной области).

Предположим, что функция f(z) аналитична в замкнутой п-

связной области D . Тогда интеграл от f по границе области

которой состоит из контуров Г1, Г2, Г3 и дуг АВ и СЕ. При обходе этой границы контуры Г1, Г2, Г3 проходятся однократно, а дуги АВ и СЕ — дважды в противоположных направлениях. Поскольку область D* односвязна, то в силу теоремы 1.1 интеграл по ее границе Г* равен нулю, а в силу свойства 2° интеграл по Г* распадается на сумму интегралов по участкам, составляющим Г*. Поэтому

0 = ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +

+ ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz

BA CE EC

Согласно свойству 3° интегралы по АВ и ВА (и, аналогично, по СЕ и ЕС) отличаются лишь знаками и поэтому сокращаются. Получаем

93

что и требовалось доказать.

Теорему 1.2 можно сформулировать в следующей форме.

Теорема 1.2'. Если функция f(z) аналитична в замкнутой п-связной области D и все граничные контуры Г1 , ..., Гn обходятся в одном и том же направлении, то

где Г1 — внешний контур, охватывающий остальные.

Доказательство сразу получается из формулы (2.4), если у контуров Г2,... ,Гn (или у контура Г1) изменить направление обхода на противоположное и перенести соответствующие интегралы в другую часть равенства (2.4).

Теорема 1.1 эквивалентна следующему важному

свойству независимости интеграла ∫ f (z)dz от пути

Γ

интегрирования.

Следствие 1.3. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D, и пусть а и b — две любые точки из D. Тогда интегралы по всем кривым, идущим из а в b и лежащим внутри D, равны между собой.

Другими словами, интеграл зависит не от пути, а лишь от его начальной и конечной точек.

Доказательство. Пусть Г1 и Г2 — два пути, идущие из а в b (рис. 5.3). Обозначим через Г1- кривую Г1, проходимую в противоположном направлении, т.е. из b в а. По теореме 1.1

интеграл ∫ f (z)dz по замкнутому контуру Г = Г2 Г1 равен

Γ

нулю. Отсюда

0 = ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz − ∫ f (z)dz

и, следовательно,

94

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz .

Γ1 Γ2

Следствие 1.3 доказано.

Точки z, в которых (однозначная) функция f(z) является аналитической, называются регулярными или правильными точками функции f(z). Точки, в

которых f(z) не является аналитической, в том числе точки, в которых f(z) не определена, называются особыми. Особая точка z0 называется изолированной, если найдется такая окрестность с центром z0, в каждой точке

которой, за исключением самой точки z0, функция f(z) является аналитической.

Следствие 1.4 (неизменяемость интеграла при деформации пути интегрирования). Интеграл от аналитической функции f(z) по кривой Г (замкнутой или незамкнутой) не изменяет своей величины при любой непрерывной деформации кривой Г, если только при этой деформации кривая Г не пересекает особых точек функции f(z); в случае незамкнутой кривой Г подразумевается, что при деформации начало и конец Г остаются неподвижными.

Доказательство. Для незамкнутой кривой нужное утверждение вытекает из следствия 1.3, поскольку при непрерывной деформации кривой Г1 в Г2 функция f(z) будет аналитической в односвязной области, заключенной между ними (см. рис. 5.3). (Действительно, если между Г1 и Г2 есть хотя бы одна особая точка функции f(z), то непрерывная деформация кривой Г1 в Г2 без пересечения этой точки невозможна.)

Для замкнутого контура равенство ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz

Γ1 Γ2

сразу следует из формулы (2.5) при п = 2, поскольку функция

95

f(z) будет аналитической в двусвязной области, ограниченной этими контурами.

Пример 1.5. Функция f(z) = l/z аналитична во всей комплексной плоскости , за исключением точки z = 0. Возьмем в

Значит, требование односвязности в теореме 1.1 существенно. Из формулы (2.6) следует, что если проинтегрировать функцию 1/z по верхней и по нижней полуокружностям, ведущим из точки (-1,0) в (1,0), то результат будет различным.

В то же время, деформируя окружность z =1 так, чтобы она

не пересекала точку z = 0 (в частности, изменяя ее радиус), мы будем получать все то же значение интеграла 2πi . Если же проинтегрировать функцию 1/z по замкнутому контуру, не содержащему внутри себя точку z = 0, то интеграл будет равен нулю.

5.3. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница

Пусть f(z) — аналитическая функция в области D. Аналитическая в области D функция F(z) называется

первообразной функции f(z), если F'(z) = f(z) для всех точек z из

D. Ясно, что если к первообразной F(z) прибавить произвольную постоянную С, то снова получится первообразная F(z) + С. Покажем, что никаких других первообразных функция f(z) не имеет, а именно: все первообразные функции f(z) получаются из какой-либо одной первообразной F(z) прибавлением произвольных постоянных С. Другими словами, любые две первообразные F1(z) и F2(z) одной и той же функции f(z) отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

96

Действительно, по определению первообразной, функции F1(z), F2(z), а следовательно, и их разность

функции и и v не зависят от x. В силу условий Коши-Римана

от у. Таким образом, функции u,v, а вместе с ними и функция ϕ являются постоянными, иF1(Z)=F2(Z) + C.

Итак, множество всех первообразных функции f(z) записывается в виде F(z) + С, где F(z) - одна из первообразных и С - произвольная постоянная. Это множество называется

неопределенным интегралом от f(z) и обозначается ∫ f (z)dz .

Таким образом,

Пусть f(z) — аналитическая функция в односвязной области D. Возьмем две точки z0 и z в D ирассмотрим интеграл

вычисленный по какой-либо кривой, идущей от z0 к z и лежащей в D. Поскольку область D односвязна, то интеграл не зависит от выбора пути интегрирования (следствие

2.3). Если точка z0 фиксирована, то интеграл (3.2) зависит только от точки z и, следовательно, является в D однозначной функцией переменного z.

97

Теорема 3.1. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и z0 — некоторая фиксированная точка из D. Тогда функция Ф(z), определенная равенством (17.2), также аналитична в D и является первообразной функции f(z).

Доказательство. Возьмем в D произвольную точку z (рис. 34). Функция f является аналитической, а следовательно, и непрерывной в z. Поэтому для любого ε > 0 найдется такое δ > 0 , что окрестность точки z радиуса δ лежит в D и

Перенесем слагаемое f(z) z влево и разделим обе части равенства на z :

98

В качестве пути интегрирования от z до z + z выберем прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки (рис. 5.4). Воспользуемся теперь свойством 4° интеграла и неравенством

(3.3):

z0

где F(z) — любая первообразная функции f(z), z0 u z1 — любые точки из D, и интегрирование ведется по произвольному пути, лежащему в D.

Доказательство. Пусть F(z) — какая-либо первообразная функции f(z). Поскольку функция Ф(z), определенная в (3.2), также является первообразной для f(z), то

F(z) = Ф(z) + С, т.е.

99

z1

F(z) = ∫ f (ζ )dζ +C,

z0

где С — некоторая постоянная. Положив в этом равенстве z=z0, получим F(z0) = С. Подставляя в ту же формулу z = z1 и найденное значение С, имеем

z1

F(z1 ) = ∫ f (ζ )dζ + F(z0 ),

z0

откуда следует (3.4).

Таким образом, определение первообразной и формула Ньютона-Лейбница для функций действительного переменного и для аналитических функций комплексного переменного полностью совпадают. Благодаря этому интегралы от элементарных функций комплексного переменного вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. В частности, остается в силе известная таблица первообразных.

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления интегралов. Однако следует помнить о границах применимости этой формулы: область аналитичности D

функции f(z) должна быть односвязной. В противном случае интеграл (3.2) может зависеть от пути интегрирования, и тогда определяемая им функция Ф(z) будет многозначной.

Для иллюстрации рассмотрим функцию f(z) = 1/z, аналитическую всюду, кроме изолированной особой точки z=0. Пусть D — комплексная плоскость с выброшенными точками отрицательной полуоси. Это односвязная область, и главная ветвь логарифма

ln z = ln z +i arg z, −π < arg z <π,

100