Учебное пособие 1865

z3,4 = ±4i . Из этих точек в верхней полуплоскости лежат только z1 = −3+ 2i и z3 = 4i . Так как

то в силу следствия 6.4 каждая особая точка является полюсом первого порядка. Вычеты в точках z1 и z3 найдем по формуле

Следовательно,

241

Решение. Сделаем замену переменного, положив z = eit t. Тогда dz = eiti dt = zi dt , откуда

Полученный интеграл вычислим с помощью вычетов. Вначале найдем особые точки функции

приравнивая знаменатель к нулю:

242

− 21 z 2 +10iz + 21 = 0 .

По обычной формуле для корней квадратного уравнения

Таким образом, исходный интеграл равен π.

243

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приступая к изучению высшей математики, необходимо знать, что математику нельзя изучать пассивно, нужно стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и теорем, пытаться самостоятельно решать математические задачи. Результатами изучения курса высшей математики должны быть развитие аналитического мышления, овладение навыками решения математических задач, выработка умения самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать методы их решения.

Материал пособия предоставляет возможность студентам самостоятельно освоить основные положения одного из важнейших разделов в курсе высшей математики – теории функций комплексного переменного. Позволяет приобрести и закрепить практические навыки решения простых типовых задач, а также познакомится с методикой построения приложений теории функций комплексного переменного к задачам механики и физики. Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.

Несколько слов о том, как работать с этой книгой. Прежде, чем приступать к изучению методов решения задач, необходимо повторить основные определения и теоремы, относящиеся к данному разделу, постараться понять и запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.

244

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Краснов М.П. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М.П.

Краснов. - М.:, Наука, 1981. 302 с.

3.Мышкис А.Д. Математика. Специальные курсы / А.Д.

Мышкис. - М.: Наука. 1971. 482 с.

3.Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / А.В. Ефимов, Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1981. 422 с.

4.Волковыский Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович. - М.: Наука, 1975. 377 с.

5.Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. 719 с.

6.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. - М.: Наука, 1977. 416 с.

7.Пантелеев А.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление / А.В. Пантелеев,

А.С. Якимова. - М.: Высш. шк., 2001. 445 с.

8.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.

9.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-

пресс, 2008.

10. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:

Высш. шк., 1998.

245

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………….. 3

1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ…………………………………………….. 4

1.1.Комплексные числа …………………..……………4

1.2.Действия над комплексными числами………….. 14

2.ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………………….. 18

2.1.Плоскость комплексного переменного………… 18

2.2.Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей…………………… 22

3.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ……………….. 31

3.1.Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана. Аналитические функции………… 31

3.2.Связь между аналитическими и гармоническими функциями…………………….. 38

3.3.Геометрический смысл производной функции

комплексного переменного. Понятие конформного отображения………………………. 42

4.КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ…………………. 48

4.1.Линейная и дробно-линейная функции….……… 48

4.2.Степенная функция. Понятие римановой поверхности……………………………………… 62

4.3.Показательная и логарифмическая функции….. 70

4.4.Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского……………….. 76

5.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО……………… 85

5.1.Интеграл от функции комплексного переменного……………………………………. 85

246

5.2.Теорема Коши………………………………….. 91

5.3.Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница……………………………. 96

5.4.Интегральная формула Коши и ее следствия……………………………………. 102

6.РЯДЫ

6.1.Числовые ряды………………………………….. 110

6.2.Функциональные ряды…………………………. 117

6.3.Степенные ряды………………………………… 126

6.4.Ряды Лорана…………………………………….. 135

ИТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ……………………………….. 146

7.1.Классификация изолированных особых точек... 146

7.2.Вычет функции в изолированной особой точке.. 161

7.3.Вычисление интегралов с помощью вычетов… 170

7.4.Логарифмический вычет и принцип аргумента.. 184

8.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ……….. 195

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………. 244

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………… 245

247