Учебное пособие 1865
.pdfОтсюда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
∫ eitz F (z)dz |
≤ ∫ |
|
eit z |
|
F (z) |
|
|
|
dz |
|
≤M (R)∫ e−t RsinϕRdϕ. |
|
|
|
|
|
|||||||
γ3(R) |
γ3(R) |
0 |
ππ
Заметим, что ∫ e−t Rsinϕdϕ= ∫ e−t Rsinϕdϕ; этот факт легко дока-
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зать, например, с помощью замены переменного α= π−ϕ . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫ eit z F (z)dz |
≤2M (R)R∫ e−t sinϕdϕ. |
|
(7.26) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
γ3(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На участке [0, π 2] |
график синуса лежит выше отрезка прямой |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
x , |
соединяющий точки |
(0, 0) |
и |
π |
|
|
|
этого графика. |
|||||||||||||||||||||
|
|
,1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, sin ϕ≥ |
ϕ, ϕ |
0, π |
|
. Отсюда получаем |
|
|
||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π 2 |
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
π |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
−t Rsinϕ |
|
|
∫ |
|
−t R2ϕ π |
|
|
|
|
−t R 2ϕ π |
|
|
|
|
|
−t R |
|
||||||||||||
e |
|
|
dϕ≤ |
e |
|
|
|
|
dϕ =− |
|
|
e |
|
|
|
|
= |
|
|
1−e |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2tR |
|
|
|
|
2tR |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
( |
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Объединяя эту |
оценку |
с (7.26) |
|
|
и |
|
переходя |
|
к |
пределу |
|
при |
||||||||||||||||||
R →∞, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∫ |
eit z F |
( |
z |
) |
dz |
|
|
R→∞ t |
|
( |
R |
)( |
|
|
) |
|
|
t |
|
|
|
|
|||||
|
|
R→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
≤ lim π M |
|
|
|
|
1−e−t R |
|
= π 0 1= 0 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
γ3(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в случае a > 0 теорема доказана. Если a ≤0 , то дуга γ(R) лежит в полуплоскости Im z ≥0 и является
181
частью дуги γ3 (R) ; части γ1 (R) и γ2 (R) в этом случае отсутствуют. Для γ(R) справедливы рассуждения, проведенные выше для γ3 (R) , и теорема 4.6 полностью доказана.
Смысл теоремы 4.6 состоит в том, что функция F (z) может стремиться к нулю сколь угодно медленно (заметим, что в примере 4.5 убывание функции f (z) при z →∞ было
достаточно |
быстрым |
— как |
|
z |
|
−2 ). Но умножение на |
eitz |
|||
|
|
|||||||||
обеспечивает стремление интеграла по γ(R) к нулю. |
|
|||||||||
Замечание. Для |
случая |
t < 0 справедливо утверждение, |
||||||||
аналогичное |
|
теореме |
4.6, если в качестве γ(R) взять дугу |
|||||||
окружности |
|
z |
|
= R , лежащую в полуплоскости Im z ≤−a |
(на |
|||||
|
|
рис. 7.3 показана пунктиром). Доказательство в этом случае
аналогично приведенному |
выше |
для |
t > 0 . В случае t = 0 |
|||||||||||||||
теорема 4.6 неверна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 4.7. Вычислить интегралы |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
x cos 2x |
|
∞ |
|
|
x sin 2x |
|
|
|||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
dx , |
∫ |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x2 +9 |
|
|
x2 +9 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
Возьмем |
вспомогательную |
функцию |
|||||||||||||||
f (z)= |
zei 2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
. При z = x имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z2 +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (x)= |
xei 2 x |
|
|
x(cos 2x +i sin 2x) |
|
|
|
x cos 2x |
x sin 2x |
|||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
+i |
|
. |
|||||||
x2 +9 |
|
|
x2 +9 |
|
|
x2 +9 |
x2 +9 |
Таким образом, действительная и мнимая части функции f (x) и являются теми функциями, интегралы от которых нужно
182
∞ |
xei 2 x |
|
найти. Поэтому если мы вычислим интеграл ∫ |
|
dx и |
x2 +9 |
||
−∞ |
|
|
возьмем от него действительную и мнимую части, то получим искомые величины.
|
Функция F (z)= |
|
z |
удовлетворяет условиям теоремы |
|||||||
|
z2 |
+9 |
|||||||||
4.6: |
она имеет только две |
особые |
точки z1,2 = ±3i и |
||||||||
lim |
z |
= 0 . Если |
γ(R) |
— дуга |
окружности |
|
z |
|
= R , |
||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
z→∞ z2 +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенная в полуплоскости Im z ≥0 , то согласно теореме
4.6
zei 2 z
Rlim→∞ ∫ z2 +9dz = 0
γ(R)
(мы взяли в (7.25) t = 2 ). Значит, можно применить теорему
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
xei2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4, согласно |
которой |
интеграл |
∫ |
|
|
dx |
|
равен сумме |
|||||||||
x2 +9 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычетов функции |
f (z)= |
zei 2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в особых точках из верхней |
||||||||||||||||
z2 +9 |
|||||||||||||||||
полуплоскости |
|
Im z > 0 , |
умноженной на |
2πu . |
|
В |
|||||||||||
полуплоскости |
Im z > 0 |
лежит единственная |
особая точка |
||||||||||||||
z1 = 3i |
функции |
f (z). |
Так |
как |
f (z)= |
|
|
zei 2 z |
|
, |
то |
||||||
(z −3i)(z +3i) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z1 = 3i |
— полюс первого порядка. Вычет в этой точке можно |
найти либо по формуле (7.5), либо по формуле (7.6).
Применим |
(7.6). |
Здесь |
ψ(z)= z2 +9 , |
ψ′(z)= 2z , |
||
res |
f = |
3iei2 3i |
= 1 e−6 . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
||||
3i |
|
2 3i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
183
∞ |
xei 2 x |
1 |
−6 |
−6 |
|
|
∫ |
|
dx = 2πi |
2e |
|
= iπe |
. |
x2 +9 |
|
|||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
Действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми интегралами:
∞ |
x cos 2x |
|
∞ |
x sin 2x |
−6 |
|
||
∫ |
|
dx = 0 |
, |
∫ |
|
dx = πe |
|
. |
x2 +9 |
x2 +9 |
|
||||||
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
(Заметим, что равенство нулю первого из этих интегралов непосредственно следует из того, что он является интегралом от нечетной функции по интервалу, симметричному относительно начала координат.)
7.4. Логарифмический вычет и принцип аргумента
Рассмотрим многозначную функцию
L n f (z)= ln f (z) +i Arg f (z)= ln f (z) +i(arg f (z)+ 2πk),
k = 0,±1,±2,...
Во всех точках z , в которых f (z) аналитична и не обращается в нуль, Ln f (z) будет многозначной
аналитической функцией. Каждая ее ветвь, получаемая выбором конкретного значения k , является однозначной аналитической функцией в некоторой окрестности точки z . Эти ветви отличаются на постоянное слагаемое, и поэтому их
производные совпадают. Производная функции Ln f (z), равная
(Ln f (z))′ = f 1(z) f ′(z)= ff ′((zz)) ,
184
называется логарифмической производной функции f (z); она является однозначной аналитической функцией всюду, за исключением особых точек и нулей функции f (z). Вычет
функции |
f ′(z) f (z) |
(т.е. |
вычет |
логарифмической |
|||
производной |
функции |
f (z) |
в точке z0 называется |
||||
логарифмическим вычетом функции |
f (z) в точке z0 . |
|
|||||
Теорема |
4.1. Если z0 |
— |
нуль |
кратности |
n |
||
аналитической |
функции |
f (z), |
то |
логарифмический вычет |
|||
функции |
f (z) в точке z0 |
равен n ; если z0 |
— полюс порядка |
||||
p , то логарифмический вычет равен −p . |
|
|
|||||
Доказательство. Пусть z0 |
— нуль кратности n . Тогда |
||||||
f (z) представима в виде |
f (z) =(z −z0 )n ϕ(z) , где ϕ(z) |
- |
|||||
аналитическая функция в некоторой окрестности точки z0 |
и |
||||||
ϕ(z0 ). Отсюда |
|
|
|
|
|
|
f ′(z)= ((z −z0 )n ϕ(z))′ = n(z −z0 )n−1 ϕ(z)+(z −z0 )n ϕ′(z),
|
f ′(z) |
= |
n(z |
−z0 )n−1 ϕ(z)+(z −z0 )n ϕ′(z) |
= |
|
n |
+ |
ϕ′(z) |
. |
|||
|
f (z) |
|
|
(z −z0 )n ϕ(z) |
|
|
z −z0 |
ϕ(z) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как |
ϕ(z0 )≠0 , то функция ϕ′(z) |
ϕ(z) является |
|||||||||||
аналитической |
в некоторой окрестности |
|
точки |
z0 и, |
следовательно, раскладывается в этой окрестности в ряд Тейлора:
ϕ′(z) = ∑∞ ck (z −z0 )k . ϕ(z) k=0
185
Поэтому главная часть |
лорановского разложения |
функции |
|||
f ′(z) f (z) состоит из |
единственного члена |
|
n |
, а |
|
z −z0 |
|||||
|
|
|
коэффициент c−1 при (z −z0 )−1 равен n . Следовательно, (см. (7.4))
resz0 ( f ′ f )= c−1 = n .
Пусть теперь z0 — полюс порядка p функции f (z). Тогда функция g (z)=1 f (z) имеет в точке z0 нуль порядка p . Согласно доказанному выше, resz0 (g′g)= p . Так как
Ln g = Ln(1 f ) = −Ln f , то
gg′ =(Ln g)′ = −(Ln f )′ = − ff′ .
Отсюда и из определения вычета (27.1) получаем
|
|
f ′ |
|
|
|
|
|
g′ |
|
|
|
|
|
g′ |
|
|
|||
resz |
0 |
|
= resz |
− |
|
= −resz |
0 |
|
= −p , |
|
|
|
|||||||
|
|
f |
|
|
g |
|
g |
|
что и требовалось доказать.
В следующих далее теоремах будет установлена связь между количеством нулей и полюсов функции f (z) внутри
области и поведением f (z) на границе области. При подсчете
количества нулей и полюсов мы примем следующее соглашение: каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.
Теорема 4.2 (теорема о логарифмическом вычете). Пусть
Γ — замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f (z). Пусть, далее, f (z) аналитична во всех точках
186
внутри Γ, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на Γ ни нулей, ни полюсов. Тогда
1
2πi ∫Γ
где N — число нулей, а
f ′(z) |
dz = N −P , |
(7.27) |
|
f (z) |
|||
|
|
||
P — число полюсов функции |
f (z) |
внутри Γ, подсчитанных с учетом кратности; обход контура Γ предполагается таким, что точки, лежащие внутри Γ, остаются слева.
Доказательство. |
Обозначим |
G(z)= f ′(z) f (z). |
Поскольку на Γ функция f (z) не |
имеет ни нулей, ни |
полюсов, то функция G(z) аналитична во всех точках контура Γ. Внутри Γ функция G(z) имеет лишь конечное число особых точек, являющихся нулями и полюсами функции f (z). Значит, к функции G(z) применима теорема 4.1 о
вычетах, согласно которой |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
f ′(z) |
l |
f ′ |
m |
f |
′ |
|
|
||
|
|
|
|
dz = ∑resak |
|
+ ∑resbk |
|
|
, |
(7.28) |
|
|
2πi ∫Γ f (z) |
f |
f |
|
|||||||
|
|
k=1 |
k=1 |
|
|
|
где ak , k =1, 2,...,l и bk , k =1, 2,..., m , - соответственно нули и полюсы функции G(z). В силу теоремы 4.1
res |
f ′ |
= n , |
res |
f ′ |
= −p , |
|
f |
f |
|||||
ak |
k |
bk |
k |
187
где nk и |
pk |
— порядки нуля и полюса |
ak соответственно. |
|||
Подсчитывая нули и полюсы с учетом кратности, получим |
||||||
l |
|
f ′ |
l |
m |
f ′ |
m |
∑resak |
|
= ∑nk = N , |
∑resbk |
= −∑pk = −P . |
||
|
f |
f |
||||
k=1 |
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
Подставляя эти равенства в (7.28), приходим к соотношению (7.27), что нам и требовалось.
Величина в левой части (7.27) называется логарифмическим вычетом функции f (z) относительно
контура Γ; этим и объясняется название теоремы 4.2. Мы покажем, что эта величина имеет геометрический смысл и, следовательно, теорема 4.2 выражает определенное геометрическое свойство отображения, осуществляемого
функцией ω = f (z).
Зафиксируем на Γ произвольную точку z0 (рис. 7.4, а). Ей соответствует точка ω0 = f (z0 ) плоскости переменного ω (рис. 51, б). Если точка z движется по Γ начиная от z0 , то соответствующая точка ω = f (z) будет описывать некоторую
траекторию C |
в плоскости |
ω начиная от точки |
ω0 . При |
|||||
возвращении точки z в z0 |
точка ω придет в ω0 |
. Поэтому |
||||||
путь C также является замкнутым |
(хотя, возможно, будет |
|||||||
иметь самопересечения). Возьмем |
ln ω0 = ln |
|
ω0 |
|
+i arg ω0 - |
|||
|
|
|||||||
главное значение логарифма числа ω0 . Каждой точке ω C |
||||||||
соответствует |
бесконечно |
много |
значений |
аргумента |
Arg ω = arg ω+ 2πk , k = 0,±1,±2,... Но мы выберем такое из них, чтобы при движении по C аргумент числа ω менялся непрерывно. Это значение аргумента обозначим ϕ(ω) . При
возвращении в ω0 после обхода пути C значение ϕ(ω) будет
188
приближаться к некоторому числу ϕ(ω0 ), которое не обязано совпадать с исходным значением arg ω0 . Таким образом, при
обходе C |
аргумент |
числа ω = f (z) |
получит некоторое |
приращение |
Γ arg f |
= ϕ(ω0 )−arg ω0 . |
Это приращение, |
очевидно, равно числу оборотов вокруг точки ω = 0 , которое сделает вектор ω при обходе точкой ω пути C , умноженному на 2π (при каждом обороте аргумент изменяется на 2π). На рис. 7.4, б число оборотов равно 2.
а |
б |
|
Рис. 7.4 |
Теорема 4.3 (принцип аргумента). Пусть Γ — |
|
замкнутый контур, |
лежащий в области аналитичности |
функции f (z). Пусть, далее, f (z) аналитична во всех точках
внутри Γ, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на Γ ни нулей, ни полюсов. Тогда приращение
аргумента числа ω = f (z) при обходе точкой z контура Γ равно 2π(N −P):
Γ arg f = 2π(N −P), |
(7.29) |
где N и Р — число нулей и полюсов функции f (z) внутри Γ, взятых с учетом кратности. Другими словами, число
189
оборотов вектора f (z), сделанных им при обходе точкой z контура Γ, равно N −P .
Доказательство. Пусть, как и выше, ϕ(ω) — непрерывно изменяющийся аргумент числа ω . Рассмотрим функцию Φ(z)= ln f (z) +iϕ( f (z)). В окрестности каждой точки z Γ
функция Φ(z) совпадает с одной из ветвей многозначной аналитической функции
Ln f (z)= ln f (z) +i(arg f (z)+ 2πk). Поэтому Φ′(z)=(Ln f (z))′ = ff′((zz)) .
Следовательно, непрерывная на Γ функция Φ(z) является
первообразной функции |
|
|
f ′(z) |
f (z) . |
По формуле Ньютона- |
|||||||||||||||||||
Лейбница |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫Γ |
f |
′(z) |
= ΔΦ(z), |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
(7.30) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
ΔΦ(z) |
( |
|
|
|
— |
|
|
|
приращение |
функции |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Φ |
( |
z |
) |
= ln |
f |
( |
z |
) |
+iϕ |
|
f |
( |
z |
) |
|
при полном обходе точкой z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
контура |
Γ. |
|
Поскольку ln |
|
|
f (z) |
|
|
является |
однозначной |
||||||||||||||
|
|
|
непрерывной функцией на Γ, то при возвращении точки z в z0 этот логарифм примет начальное значение ln f (z0 ) и его
приращение будет равно нулю. Когда z проходит контур Γ, соответствующая точка ω = f (z) проходит путь C . Поэтому
190