Учебное пособие 1623

∂F

∂F

∂F

2x

4 y

2z

∂x

=

∂y

=

∂z

или

=

=

.

A

B

C

1

−2

1

Решая эти уравнения совместно с уравнением

поверхности

x2 + 2 y2 + z2 = 4 ,

находим

координаты точек

касания

M1 (1, −1,1)

и

M (−1,1, −1) .

Таким образом, касательные плоскости имеют

уравнения:

2(x −1) −4( y +1) + 2(z −1) = 0

или

x −2 y + z −4 = 0;

−2(x +1) + 4( y −1) −2(z +1) = 0

или

x −2 y + z + 4 = 0 .

б) Из условия перпендикулярности касательной

плоскости и прямой имеем

∂F

∂F

∂F

x

2 y

2z

∂x

=

∂y

=

∂z

или

=

=

.

l

m

n

1

1

−1

Присоединяя к этим уравнениям уравнение поверхности

x2 + 2 y2 + z2

= 4 , находим координаты точек касания

4

2

2

4

2

2

M1 −

, −

,

и M2

,

, −

.

7

7

7

7

7

7

Следовательно, касательные плоскости будут:

2 4

4

4

2

2

2

2

2

−

x

+

−

y +

+

z

−

= 0 ,

7

7

7

7

7

7

2 4

4

4 2

2

2 2

2

x

−

+

y −

−

z

+

= 0

7

7

7

7

7

7

или

2x + 2 y − z +

14

= 0 ,

2x + 2 y − z −

14

= 0 .

7

7

2.5.

К

поверхности

x2 − y2 −3z = 0

провести

касательную плоскость, проходящую через точку M1 (0, 0, −1) ,

параллельно прямой

x

=

y

=

z

.

2

1

2

Решение. Обозначим

F (x, y, z) = x2 − y2 −3z

и найдем

частные производные

∂F

= 2x ,

∂F

= −2 y ,

∂F

= −3 .

∂x

∂y

∂z

касательной

плоскости

∂F l +

∂F m +

∂F n = 0

или

∂x

∂y

∂z

2x − y −3 = 0 .

Присоединяя

к этому

уравнению уравнение

касательной плоскости, проходящей через точку M1

2x(x1 − x) − 2 y( y1 − y) −3(z1 − z) = 0

или

2x 2 − 2 y2 −3z −3 = 0 ,

2

2

2

2

поверхности x3 + y 3 + z 3

= a3 , равна постоянной величине a2 .

Решение.

2

2

2

2

Обозначим

F (x, y, z) = x3 + y 3

+ z 3 −a3 и

найдем частные производные

∂F

1

∂F

1

, ∂F =

1

= 2 x−3 ,

=

2 y−

2 z

−3 .

3

∂x

3

∂y

3

∂z

3

Уравнение касательной плоскости (1) в произвольной

точке (x0 , y0 , z0 )

примет вид

x

−1

3

(x − x )

+ y

−

1

3 ( y

− y ) + z

−1

3

(z − z ) = 0

или,

если

0

0

0

0

0

0

x

+

y

+

z

= a23 .

x13

y 13

z

13

0

o

0

0

Координаты точек пересечения этой плоскости с осями

координат соответственно равны

x = a23 x13 ,

y = a23 y 13 , z = a23 z

13

0

0

0

Отсюда сумма квадратов отрезка равна

x2 + y2 + z2 = a43 (x23 + y23 + z

23 ) = a43 a13

= a2 ,

что

и

требовалось доказать.

0

0

0

2.7. Показать,

что

поверхности x2 + y2 + z2

= ax

и

Введем

обозначения

F (x, y, z)x2 + y2 + z2 − ax

и

1

F (x, y, z) = x2 + y2 + z2

− 4by

и найдем

частные

производные

2

l =

∂F1 = 2x −a , l

= ∂F2 = 2x ,

m = ∂F1 = 2 y ,

1

∂x

2

∂x

1

∂y

m

= ∂F2

= 2 y −

4b , n = ∂F1

= 2z , n =

∂F2

= 2z .

2

∂y

1

∂z

2

∂z

Воспользуемся

условием

ортогональности

l1l2 + m1m2 + n1n2

= 0

нормалей

по

линии

пересечения

поверхностей ax = 4by

2x(2x −a) + 2 y(2 y −4b) + 2z 2z = 0 ,

4x2 − 2ax + 4 y2 −8by + 4z2 = 0 ,

4ax −2ax −2ax = 0 , т.

е.

Кривизной кривой в точке

M (рис. 2.2) называется

предел отношения угла поворота

θ

касательной к длине s

дуги MN , когда N → M , т. е. k = lim

θ .

s→0

s

Рис. 2.2

Кривизна кривой

y = f (x) в некоторой точке

k =

y ''

(1)

1+

y '2

)

3 2

(

Если кривая задана параметрически x = x(t) , y = y(t) , то

ее кривизна определяется выражением

k =

xy − yx

(2)

(x2 + y2 )3 2

Если кривая задана

уравнением в неявном

виде

F (x, y) = 0 , то ее кривизна

F ''

F ''

F '

xx

xy

x

F ''

F ''

F '

yx

yy

y

F '

F '

0

k =

x

y

(3)

(Fx'2 + Fy'2 )32

Если кривизна задана

в полярной системе

координат

ρ = ρ(ϕ) , то ее кривизна

k =

ρ2

+ 2ρ'2

− ρρ''

(4)

(

ρ2 + ρ

'2 )3 2

радиусом

Величина, обратная

кривизне, называется

ξ = x −

1+ y'2

y ' = x −

x2 + y

2

y

;

y ''

xy − yx

η = y +

1+ y'2

y ' = y +

x2 + y

2

x

(5)

y ''

xy − yx

3.1. Найти кривизну кривых:

а)

y = x2 − 4x

в точке

(2, −4) ;

б)

x2

+

y2

=1

в

вершинах;

в)

ρ2

= a2 cos 2ϕ

в

b2

a2

y = a(1−cos t) при t =π .

произвольной точке; г) x = a(t −sin t) ,

Решение. а) Находим производные:

y ' = 2x −4;

y '' = 2 и

вычисляем их значения в заданной

точке

y '(2) = 0 , y '' = 2 .

Подставляя найденные значения в формулу (1), получим

k =

y ''

= 2 .

(1+

y '2 )3 2

б)

Функция

задана

неявно.

Находим

производные:

F '

=

2x

,

F ''

=

2

,

F '

=

2y

,

F ''

=

2

,

F ''

= 0 и их значения в

x

a2

xx

a2

y

b2

yy

b2

xy

вершине эллипса

(a, 0)

: F ' =

2

,

F

''

=

2

,

F '

= 0 ,

F '' =

2

,

x

a

xx

a2

y

yy

b2

F ''

= 0 .

Подставляя

найденные

значения

в

формулу

(3),

xy

2

0

2

a2

a

2

0

0

b2

2

0

0

a

a

k =

=

8

b2

a3

F ' = 0 ,

F ''

=

2

, F '

=

2

, F ''

=

2

,

F '' = 0 . Отсюда кривизна

a2

b

b2

x

xx

y

yy

xy

2

0

0

a2

2

2

0

b2

a

0

2

0

b

b

k =

=

8

a2

a3

в точке (0, −b)

равна k =

b

.

a2

в) Находим производные

2ρρ ' = −2a2 sin 2ϕ,

ρ ' = −

a2

sin 2ϕ ,

ρ

ρ '' =

a2 ρ '

sin 2ϕ −

2a2

cos 2ϕ = −

a

4

sin

2

2ϕ −

2a2

cos 2ϕ

ρ

2

ρ

ρ

3

ρ

и подставляем их в формулу (4), тогда

2

4

2

ρ2 + 2 a 2 sin2 2ϕ + ρ a

3 sin2 2ϕ + 2 a

cos 2ϕ

k =

ρ

ρ

ρ

=

2

cos 2ϕ

+ 2

a4

2

2ϕ

32

a

ρ

2 sin

=

a4 cos2

2ϕ + a4 sin2 2ϕ + 2a4 sin2 2ϕ + 2a4 cos 2ϕ

=

3a4

ρ

=

3ρ

ρ2a6 / ρ3

a6

a2

г) Находим производные:

x = a sin t , y = a cos t

x = a(1−cos t) ,

y = sin t ,

и их

значения

при t =π : x = 2a, y = 0, x = 0, y = −1.

Подставляя

производные в формулу (2), получим k =

−2a

=

1

.

4a2

(2a)3

3.2. Найти радиусы кривизны в любой точке данных

2

2

2

кривых: а)

y = x3 ; б)

x3 + y3 = a3 ; в) x = a cos3 t, y = a sin3 t ;

R =

(1+ y '2 )32

=

(1+9x4 )32

.

y ''

6x

б) Функция задана неявно F(x, y) = x23 + y23 −a23

= 0 .

Находим

производные:

F

'

=

2

x

−1

3

,

F

'

=

2

y

−1

3

,

x

3

y

3

2

2

F ''

= −

x

−4

3

, F ''

= −

y

−

4

3 , F ''

= 0 .

xx

9

yy

9

xy

2

2

3