Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика. Функции нескольких переменных. практикум. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Задача 5

Найти частные производные ∂∂xz , ∂∂yz от неявной функции.

5.1.ln(z 2 + xy) = ex2 +y2 +z2 .

5.2.2x3 −5x + z3 + y3 −3xyz +8 = 0 .

5.3.	tg(z +1)	=	y − x	.
	tg( y − 2)
			z +1

5.4.y ex−zy = cos(zx) .

5.5.x sin y + y sin x + z sin x −8 = 0 .

5.6.xe y + yex + zex = 2 .

5.7.3xz − 4 yz + z 2 −9 = 0 .

5.8.z 2 − z −8xz + 2x2 + 2 y 2 +8 = 0 .

5.9. z = x2 − y 2 tg	z	.
x2	− y 2

5.10.tg(x + z) = ez y.

5.11.x2 + y 2 + z 2 −3xyz = xy2 z3 .

5.12.x2 + 2 y 2 + 3z 2 + xy − z + sin(xy)−9 = 0 .

5.13. ln(xy + z) = z 2 − y .

5.14. e y sin zy = xzy .

201

5.15.xz = ln zy +1 .

5.16.z = x + arctg z −y x .

5.17.ln z = yz + x2 −1 .

5.18. e	z		z
	x	− arcsin		= 0 .
			y

5.19. yz 2 + xz + xy =1.

5.20.e x cos xy = xy .

5.21.tg 2 z + sin x + cos y − ex = 0 .

5.22.y 2 + x2 z − 4 yz3 −1 = 0 .z

5.23. zez − x ln y =	x .
	y

5.24.z3 + 5xy3 + 4 yz 2 − x3 − 6 = 0 .

5.25.xz − ln y +z 2 = 0 .

5.26.z3 + 3x2 z − 2xy = 0 .

5.27.exz cos(yz)= x2 .

5.28.sinsin xz = zy .

5.29.x cos y + y cos z + z cos x =1 .

5.30.x3 + 2 y3 + z3 −3xyz −3y + 3 = 0 .

202

Задача 6

Найти градиент, уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xo,Yo,Zo).


6.1. S: x2 + y2 + z2 +6z −4x +8 = 0,						Mo(2,1, −1).
6.2. S: x2 + z2 −4 y2 = −2xy,						Mo(−2,1, 2)
6.3. S: x2 + y2 + z2 − xy +3z = 7,						Mo (1, 2,1).
6.4. S: x2 + y2 +				z	2 +6 y +4x =8,	Mo(−1,1, 2).
6.5. S: 2x2 − y2 + z2 −4z + y =13,						Mo (2,1, −1)
6.6. S: x2	+ y2 + z2 −6 y +4z +4 = 0,					Mo(2,1, −1).
6.7. S: x2 + z2 −5yz +3y = 46,						Mo(1, 2, −3).
6.8. S: x2	+ y2 − xz − yz = 0,					Mo (0, 2, 2).
6.9. S: x2	+ y2 + 2 yz − z2 + y −2z = 2,					Mo (1,11).
6.10. S: x2		+ y2	− z2 −2xz + 2x = z,			Mo(1,1,1).
6.11. S: x2 + y2 −2xy +2x − y = z,						Mo(−1, −1, −1).
6.12. S: y2 − x2			+ 2xy −3y = z,			Mo (1, −1,1).
6.13. S: x2		− y2	−2xy − x −2 y = z,			Mo (−1,1,1)
6.14. S: x2		−2 y2 + z2 + xz −4 y =13,				Mo (3,1, 2).

203

6.15. S: 4 y2 − z2 +4xy − xz +3z +9,	Mo(1, −2,1).
6.16. S: x2 + y2 −3xy − x + y + 2 = z,	Mo (2,1, 0).
6.17. S: 2x2 − y2 + 2z2 + xy + xz = 3,	Mo (1, 2,1).
6.18. S: x2 − y2 + z2 −4x +2 y =14,	Mo(3,1, 4).
6.19. S: x2 + y2 − z2 + xz + 4 y = 4,	Mo (1,1, 2).
6.20. S: x2 − y2 − z2 + xz +4x = −5,	Mo(−2,1,0)
6.21. S: x2 + y2 − xz + yz −3x =11,	Mo(1, 4, −1)
6.22. S: x2 +2 y2 + z2 −4xz =8,	Mo(0, 2,0).
6.23. S: x2 − y2 −2z2 −2 y = 0,	Mo(−1, −1,1)
6.24. S: x2 + y2 −3z2 + xy = −2z,	Mo (1, 0,1).
6.25. S: 2x2 − y2 + z2 −6x + 2 y +6 = 0,	Mo (1, −1,1).
6.26. S: x2 + y2 − z2 +6xy − z = 8,	Mo (1,1, 0).
6.27. S: 2x2 −3y2 + 4x −2 y +10 = z,	Mo (−1,1,3)
6.28. S: x2 + y2 −4x +3x −15 = z,	Mo(−1,3, 4)
6.29. S: 2x2 −3y2 + xy +3x +1 = z,	Mo(1, −1, 2)
6.30. S: x2 +2 y2 +4xy −5y −10 = z,	Mo(−7,1,8).

204

Задание 7

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z=Z(X,Y) в области D, ограниченной заданными линиями


7.1.	z = 3x + y − xy,	D : y = x,		y = 4, x = 4, x = 0.
7.2.	z = xy − x − 2 y,	D : x = 3,		y = x, y = 0.
7.3.	z = x2 + 2xy − 4x + 8y,		D : x = 0,		x =1,	y = 0,	y = 2.
7.4.	z = 5x 2 − 3xy + y 2 ,		D : x = 0,		x =1,	y = 0,	y =1.
7.5.	z = x2 +2xy − y2 −4x,		D : x − y +1 = 0,			x = 3,	y = 0.

7.6. z = x2 + y2 −2x −2 y +8,

D : x = 0,

y = 0,

x + y −1 = 0.

7.7. z = 2x3 − xy 2 + y 2 ,

D : x = 0,

x =1,

y = 0,

y = 6.

7.8. z = 3x +6 y − x2 − xy − y2 ,

D : x = 0,

x =1,

y = 0,

y =1.

7.9. z = x2 −2 y2 + 4xy −6x −1, D : x = 0,

y = 0,

x + y −3 = 0.

7.10. z = x 2 + 2xy −10, D : y = 0,

y = x 2 − 4 .

7.11. z = xy − 2x − y,

D : x = 0,

x = 3,

y = 0, y = 4.

7.12. z =

x 2

− xy,

D : y = 8, y = 2x 2 .

7.13. z =

+ 3y

+1,

D : y =

−

y = 0.

205

7.14. z = x2 −2xy − y2 + 4x +1,					D : x = −3,			y = 0, x + y +1 = 0.
7.15. z = 3x2 +3y2 − x − y +1,				D : x = 5,				y = 0,		x − y −1 = 0.
7.16. z = x2 − 2xy + 5 y2	− 2x,			D : x = 0,			x = 2,		y = 0,		y = 2.
2
7.17. z = xy − 3x − 2 y,		D : x = 0, x = 4,						y = 0,		y = 4.
7.18. z = x2 + xy − 2,	D : y = 4x2 − 4,						y = 0.
7.19. z = x 2 y(4 − x − y),			D : x = 0,			y = 0,			y = 6 − x.
7.20. z = x3 + y3 − 3xy,		D : x = 0,				x = 2,			y = −1,		y = 2.
7.21. z = 4(x − y)− x2 − y2 ,				D :	x + 2 y = 4,			x −2 y = 4,			x = 0.
7.22. z = x2 + 2xy − y2 − 4x,					D : x = 3,			y = 0,		y = x +1.
7.23. z = x2 + 2xy − y2 −2x + 2 y,					D : y = x + 2,				y = 0,		x = 2.
7.24. z = 4 − 2x2 − y2 ,		D : y = 0,				y =		1 − x2 .
7.25. z = 5x2 −3xy + y2 + 4,				D	: x = −1,		x =1,		y = −1,		y =1.
7.26. z = x2 + 2xy + 4x − y2 ,				D : x + y + 2 = 0,					x = 0,		y = 0.
7.27. z = 2x2 y − x3 y − x2 y2 ,			D : x = 0,				y = 0,		x + y = 6.
7.28. z = 3x2 + 3y2 - 2x - 2y + 2, D : х = 0, у = 0, х + у – 1 = 0.
7.29. z = x2 + y2 +2x −3y +8,				D : x = 0,			y = 0, x + y −1 = 0.
7.30. z = xy −4x −3y,	D :			x = 0,		x = 4,		y = 0,		y = 4.

206

Задача 8

Найти полные дифференциалы указанных функций

8.1.z = 2x3 y − 4xy5 ;

8.2.z = x2 y sin x −3y;

8.3. z = arctgx + y;

8.4.z = arcsin(xy)−3xy2 ;

8.5.z = 5xy4 + 2x2 y7 ;

8.6.z = cos(x2 − y2 )+ x3 ;

8.7.z = ln(3x2 − 2 y 2 );

8.8.z = 5xy2 −3x3 y 4 ;

8.9.z = arcsin(x + y);

8.10.z = arctg(2x − y);

8.11. z = 7x3 y − xy;

8.12.z = x2 + y 2 − 2xy;

8.13.z = e x+y−4 ;

8.14.z = cos(3x + y)− x2 ;

8.15.z = tg x + y ;

x − y

207

8.16.z = ctg y ;

8.17.z = xy 4 −3x2 y +1;

8.18.z = ln(x + xy − y2 );

8.19.z = 2x2 y2 + x3 − y3 ;

8.20.z = 3x2 − 2 y2 +5;

8.21.z = arcsin x + y ;

8.22.z = arcctg(x − y);

8.23.z = 3x2 − y2 + x;

8.24.z = y 2 −3xy − x4 ;

8.25.z = arccos(x + y);

8.26.z = ln(y2 − x2 + 3);

8.27.z = 2 − x3 − y3 + 5x;

8.28.z = 7x − x3 y 2 + y 4 ;

8.29.z = e y−x ;

8.30.z = ln(3x2 − 2 y2 );

208

Задача 9

Вычислить значение производной сложной функции

u = u(x, y) , где x = x(t) , y = y(t) , при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.


9.1.	u = ex−2 y , x = sin t ,		y = t3 ,		t0 = 0 .
9.2.	u = ln(ee +e−y ) , x = t 2 , y = t 3 ,					t0 = −1.
9.3.	u = yx , x = ln(t −1) ,		y = et / 2 ,			t0 = 2 .
9.4.	u = ey−2 x+2 , x = sin t , y = cost ,					to =π / 2 .
9.5.	u = x2ey ,	x = cost ,	y = sin t ,		t0 =π .
9.6.	u = ln(ex +ey ) , x = t 2 , y = t3				,	t0 =1.
9.7.	u = x y ,	x = et , y = ln t ,		t0 =1.
9.8.	u = ey−2 x ,	x = sin t ,	y = t 3	, t0 = 0 .
9.9.	u = x2e−y ,	x = sin t ,	y = sin 2 t ,			t0 =π / 2 .
9.10.	u = ln(e−x +ey ) , x = t 2 , y = t3					, t0 = −1.

209

9.11.

u = ey−2 x−1 , x = cost ,

y = sin t ,

t0 = π / 2 .

9.12.

u = arcsin(x / y) ,

x = sin t ,

y = cost ,

t0 =π .

9.13.

u = arccos(2x / y) ,

x = sin t ,

y = cost ,

t0 =π .

9.14.

u = x2 /( y +1) , x =1 − 2t ,

y = arctgt ,

t0 = 0 .

9.15.

u = x / y ,

x = et , y = 2 − e2t ,

t0 = 0 .

9.16.

u = ln(e−x +e−2 y ) ,

x = t 2 ,

y =

t0 =1.

9.17.

u =

x + y3 +3 ,

x = ln t ,

y = t 2

t0 =1.

9.18.

u = arcsin(x2 / y) ,

x = sin t ,

y = cost ,

t0 =π .

9.19.

u = y2 / x ,

x =1 − 2t ,

y =1 + arctgt ,

t0 = 0 .

x = sin t ,

y = cost ,

t0 =

9.20.

u =

−

4 .

9.21.

u = arcsin

, x = sin t ,

y = cost , t0 =π .

2 y

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика