Учебное пособие 1623

Теорема 1 (о пределах). Пусть f(М) и g(М) — две функции,

определенные в некоторой проколотой окрестности точки М0

3.4. Непрерывность функции в точке

Функция z= f(М) называется непрерывной в точке М0 , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1)f(М) определена в некоторой окрестности точки М0 ,

2)имеет предел в этой точке: lim f (M ) = А,

M→M 0

3)этот предел равен значению функции в этой точке: А=f(М0 ).

Замечание. Данное определение непрерывности функции в точке М0 будем сохранять и в том случае, когда f(х; у)

определена только на некотором множестве Е, содержащем точку М0 . В этом случае условие 2) определения предела

имеет вид lim f (M ) = А.

M →M 0

М Е

Если функция f(х;у) не определена в точке М0 (х0 ; y 0 )

или lim f (x; y) ≠ f (x0 ; y0 ), то М0 (х0 ; y 0 ) называется точкой

x→x0 y→y0

131

разрыва. Имеют место свойства, аналогичные свойствам непрерывных функций одной переменной.

Теорема 2 (о переходе к пределу). Если f(М) непрерывна в

Теорема 3 (о сохранении знака). Если f(М) непрерывна в точке М0 и f(М0 ) > 0 (f(М0 ) <0), то найдется d-окрестность

точки М0 в которой f(М0) > 0 (f(М0 ) <0).

Теорема 4 (о непрерывных функциях). Пусть f(М) и g(М) —

две функции, определенные в некоторой окрестности точки

gf (M ), ( f (M )) g (M ) при f(М0 )>0.

Теорема 5 (о непрерывности сложной функции). Пусть f(М)

определена в некоторой окрестности точки М0 и непрерывна в точке М0 , при этом значения f(М) попадают в некоторую окрестность точки P 0 , причем f(М0 ) = P 0 . Пусть g(Р) определена в окрестности точки P 0 и непрерывна в этой точке. Тогда сложная функция (суперпозиция) g[f (M )]= ϕ(M ) непрерывна в точке М0 .

3.5. Функции непрерывные на множестве

Функция, непрерывная в каждой точке некоторого множества точек Е называется непрерывной на этом множестве.

Для функций непрерывных на множестве имеют место аналоги теорем для функций одной переменной.

132

Множество Е называется связным, если две любые его точки можно соединить некоторой непрерывной кривой, полностью принадлежащей этому множеству.

Теорема 6 (Коши об обращении в ноль). Если z = f(М)

непрерывна на связном множестве Е и в двух различных его точках принимает значения разных знаков, то на Е найдется точка Р такая, что f(Р)=0.

Множество Е называется ограниченным если оно целиком принадлежит некоторому кругу x2 + y 2 ≤ R2 .

Множество Е называется открытым, если каждая точка принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.

Открытое связное множество называется областью. Если к точкам области D присоединить точки ее границы, то такая

_

область называется замкнутой и обозначаетсяD .

Под граничной точкой области D имеется в виду такая точка Р, в каждой окрестности которой имеются как точки области D, так и точки не принадлежащие D. Граница области

_

обозначается ∂D . Следовательно, D = D ∂D.

Для функций непрерывных в замкнутых областях имеют место теоремы Вейерштрасса, которые объединены в одну.

Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция z = f(х, у)

_

непрерывна в замкнутой области D , то она ограничена в ней. При этом непрерывная функция достигает в замкнутой области свои наибольшее и наименьшее значения.

133

и dxdz называется полной производной функции z по х.

Случай нескольких независимых переменных. Если аргументы х и у функции z = f(х; у) являются функциями двух переменных, скажем, х=х(u;v), у=у(u;v), то

z=f [x(u;v); y(u;v)]

также является функцией двух переменных u и v. Теорема 10. Имеют место формулы

dudz = ∂∂xz ∂∂ux + ∂∂yz ∂∂uy и ∂∂vz = ∂∂xz ∂∂xv + ∂∂yz ∂∂yv .

Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.

3.10. Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции z = z(х;у), где х = х(u;v), у = у(u;v), можно получить, если в формуле дифференциала

dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy

заменить dx = ∂∂ux du + ∂∂xv dv и dy = ∂∂uy du + ∂∂yv dv .

В результате подстановки и перегруппировки членов при du и dv приходим к формуле

dz = ∂∂uz du + ∂∂vz dv ,

показывающей, что форма (вид) дифференциала не зависит от того, являются ли x и у независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

138

3.11. Неявная функция одной переменной

Функция у = у(х) называется неявной функцией, если она определяется уравнением F(х;у) = 0, неразрешенным относительно у.

Это значит, что при каждом значении х0 при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение y 0

так, что F(х0 ;у0 ) = 0.

Теорема 11. Если F(х; у) - дифференцируемая функция переменных х и у в некоторой области D и Fy′(x; y) ≠ 0 , то

уравнение F(х;у)=0 определяет однозначно неявную функцию у (х), также дифференцируемую, и ее производная находится по формуле

y′ = dy = Fx′(x; y) dx Fy′(x; y)

В частности,

′ F ′(x ; y ) y (x0 ) = − Fx′(x0 ; y0 ) .

y 0 0

3.12. Неявная функция двух переменных

Функция z = z(х; у) называется неявной функцией переменных х и у, если она определяется уравнением F(x;y;z) = 0, неразрешенным относительно z.

Теорема 12. Если функция F (х; у; z) дифференцируема по переменным х, у, z в некоторой пространственной области D и

139

3.13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть P0 (x0 ; y0 ; z0 ) фиксированная точка на поверхности Г, заданной функцией z = f(х; у) или уравнением F(х; у; z) = 0.

Касательной плоскостью к Г в точке P0 называется плоскость t, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на Г через P0 .

Нормалью называется прямая n, проходящая через P0 перпендикулярно t .

Из определения t и n следует, что нормальный вектор касательной плоскости t и направляющий вектор прямой n совпадают.

Уравнения t и n имеют вид:

а) если Г задана явно функцией z = f(х; у), то:

(t): z − z0 = z′x (x0 ; y0 )(x − x0 ) + z′y (x0 ; y0 )( y − y0 ),

б) если Г задана уравнением F(х; у; z) = 0, то:

140