Учебное пособие 1623

G

2

G

где

a

и

b

—

постоянные

векторы,

r = at

+bt ,

перпендикулярные друг другу.

Решение. Совмещая направление вектора a с осью х, а

вектора

G

с осью у,

будем

иметь

x = t 2 ,

y = t . Исключая

b

параметр t , получим x = y2 .

r

Таким образом, годографом вектор-функции

является

парабола.

6.3.

Найти

производную вектор-функции

r

= sin 2 t i +sin t cos t j + cos tk ,

t [0,2π] .

Решение. По формуле (1) будем иметь

G

dr

G

2

2

G

= 2sin t cost i +(cos

t −sin

t) j −costk =

dt

= sin 2 t i + cos 2 t j −cos tk .

6.4.

Найти

производные

вектор-функций:

а)

r

= cos t iG

+ el

j + (t 2 +1)k в точке М(1;1;1);

б) r = t4 iG+(t2 +1) Gj +

t3 −4kG

при t = 2.

Решение. а) Подставляя координаты точки М в

параметрические

уравнения

годографа

x = cost ,

y = el ,

d

r

G

l

G

2

G

вектор-функции

= −sin t i

+e

j

+3t

k

в

точке

М

равна

dt

dr

(0)

G

=

j .

dt

3G

G

2 G

б)

Находим

производную

dr

=

4t

3t

dt

i

+ 2tj +

t3

k ,

G

G

G

2

−4

dr (2)

отсюда

=

32i

+ 4 j

+3k .

dt

6.5. Показать, что векторы

r

(t) = i

+ sin tj + cos tk

и

dr

— перпендикулярны.

dt

G

G

Решение. Находим вектор

dr

= costj

−sin tk

. Условием

dt

скалярного

произведения.

Из

выражения

1 0 +sin t cost −cost sin t = 0

следует

перпендикулярность

данных векторов.

G

G

2 G

6.6.

Даны

две

вектор-функции:

+t

и

a

= i +tj

k

b = ti + t 2 j + t 3 k .

G

G

Найти: а)

d

G

d

G

(a b)

; б)

(a

×b) .

dt

dt

Решение. а) По формуле (5)

пункта 2° имеем, что

d

G

G

G

2 G

3 G

G

G

G G

2

G

G

G

2

G

(a

b) =

(ti

+t

j

+t

k )( j

+ 2tk ) +

(i +tj

+t

k )(i

+2tj +3t

k )

=

dt

= t 2 +t 4 +1+ 2t 2 +3t 4 =1+3t 2 +5t 4 .

б) По формуле (6)

пункта 2°

имеем, что

d G

G

G

G

G

2 G

3 G

G G

2 G

G

G

2

G

(a ×b) =

( j

+2tk )×(ti +t

j

+t

k ) +(i +tj +t

k ) ×(i

+ 2tj +3t

k ) =

dt

= t 3iG + 2tGj −tkG − 2t 3i +3t 3 j + 2tk +t 2 j −tk − 2t 3i −3t 3 Gj = 0 .

da

G

2

6.7. Найти

, если

a

= u i

+ t j

+

t

k

, где u =const.

dt

Решение. По формуле (7) пункта 2° имеем:

da

2

G

G

G

2 G

G

G

= 3u

(−sin t)i

+2u(−sin t) j

−sin tk

= sin t(3u

i +2uj

+k .

dt

производной

d 2

r

= −9 cos 3tiG−sin tGj .

dt 2

б) Находим сначала первую, а затем вторую

производную

G

G

dr

3G

2

G

1

d 2

r

2 G

G

1

= 4t

i

+3t

j

+

k ;

=12t

i

+ 6tj

−

k

. При

t0 =1

dt

t

dt 2

t 2

G

G

2

G

производная равна

d

r

=12i + 6 j −k —j.

dt 2

движения. Найти величины скорости и ускорения движения и

их направления для моментов t = 0 и t = π .

Решение.

2

Траектория

точки

определяется

параметрическими уравнениями

x = 3cost ,

y = 3sin t , z = 2t и

представляет винтовую линию.

Скорость υ и ускорение w движения найдём как первую

G

d

r

G

G

G

и

вторую

производные

υ =

= −3sin ti +3cos tj

+ 2k ;

dt

G

d 2

r

G

G

w =

= −3cos ti

−3sin tj .

Величина

скорости

dt 2

υ =

(−3sin t)2 +(3cost)2 +22 =

13 ,

ускорения

при любом

w =

(−3cost)2 +(−3sin t)2 = 3

при

любом t .

При

t = 0

скорость равна

G

G

= −3i ; при

t =

π

υ1

= 3 j + 2k , ускорение w1

2

G

G

G

= −3 j . Траектория точки и

скорость υ2

= 3i

+ 2k , ускорение w1

G

gt

2

G

r (t) = (υ0t cosα)i

+ υ0t sinα −

2

j .

x =υ0t cosα,

gt

2

y =υ0t sin α −

.

2

y = xtgα −

gx2

2υ02 cos2 α -

т. е. движение снаряда

ds =

(−a sin t)

2

+(a cost)

2

−a

sin t

2

adt

.

+

dt =

cost

cost

векторы

dr

и

d 2

r

;

dt

dt

2

б) нормальной плоскости M 0 M 2 M 3

—перпендикулярной

к вектору

d

r

;

dt

в)

спрямляющей

плоскости

M 0 M1M 3

—

Рис. 2.21.

а)

M 0 M1

—

касательная,

направляющий

вектор

G

r

касательной T

=

;

dt

б)

M 0 M 3

—

бинормаль,

направляющий

вектор

G

dr

d 2

r

бинормали B =

,

;

dt

2

dt

в)

M 0 M 2

— главная нормаль, вектор главной нормали

NG = [BG,TG] . Соответствующие им единичные векторы:

G

τG =

TG

,

| T |

G

BG

G

NG

β =

G

,

v

=

G

вычисляютсяпоформулам

| B |

| N |

G

d

r

G

d

r

G

G

=

ds

τ

,

v =

,

β = [τ

, v],

(1)

ds

d

r

где s

ds

— длина дуги кривой.

20. Уравнение касательной к пространственной кривой

x = x(t) ,

y = y(t) , z = z(t)

в точке M 0 (x0 , y0 , z0 )

имеет вид

x − x0

=

y − y0

=

z −

z0

(2)

dx

dy

dz

dt

t =t0

dt

t =t0

dt

t =t0

или

x − x0

y − y0

z − z0

=

=

(3)

T

T

y

T

x

z

координаты x0 , y0 , z0

соответствуют значению параметра t0 ;

Уравнение нормальной плоскости в точке M 0 вытекает

из условия перпендикулярности прямой и плоскости

(x − x

0

)

dx

+( y − y

0

)

dx

+(z − z

0

)

dx

= 0

(4)

dt

dt

dt

t =t0

t =t0

t =t0

или

(5)

(x − x0 )Tx + ( y − y0 )Ty

+ (z − z0 )Tz

= 0

Аналогично определяются: уравнение главной нормали

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

(6)

Nx

Nz

N y

уравнение спрямляющей (касательной) плоскости

(x − x0 )N x

+ ( y − y0 )N y + (z − z0 )N z

= 0 ,

(7)

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

(8)

Bx

By

Bz

уравнение соприкасающейся плоскости

(x − x0 )Bx

+ ( y − y0 )By + (z − z0 )Bz = 0 .

(9)

30. Если пространственная кривая задана линией

пересечения двух поверхностей

F (x, y, z) = 0

и G(x, y, z) = 0 ,

то вместо

векторов

dr

и

d 2

r

можно

брать векторы

dt

dt 2

dr{dx, dy, dz}

2 G

и d

2

x, d

2

y, d

2

z} . В данном случае одну из

r{d

7.1. Дана кривая

x =t , y = t 2 ,

z = t 3 .

В точке М0(2,4,8)

найти: а) основные единичные векторы τ , β , v ;

б) уравнения касательной, главной нормали и бинормали;

в)

уравнения

касательной,

нормальной

и

соприкасающейся плоскости.

Решение.

а)

Составим

уравнение

вектор-функции

r

= tiG

+t 2

Gj +t 3kG

и найдём производные

dr

G

G

2 G

d 2

r

G

G

= i

+2tj

+3t

k ,

= 2 j +6tk .

dt

dt 2

Поскольку в точке М0 параметр t0 = 2, то вектор

касательной будет

G

dr

G

G

G

T

=

= i + 4 j +12k

dt

вектор бинормали

iG Gj k

G

dr

d 2

r

G

G

G

B

=

,

=

1 4 12

= 24i

−12 j

+2k ,

dt

2

dt

0

2

12