Учебное пособие 1623

z , заданной уравнением

F (x, y,...,t, z) = 0 ,

где F -

дифференцируемая

функция

переменных

(x, y,...,t, z) ,

определяются по формулам

∂F

∂F

∂z

∂F

∂z

∂x

= −

∂y

∂z

∂t

∂x = −

;

; … ;

∂t = −

∂y

∂F

∂F

∂F

∂z

∂z

∂z

при условии, что

∂F

≠ 0 .

∂z

∂F

∂F

∂x

y′ = −

,

≠ 0

.

∂F

∂y

30. Пусть неявные функции u = u(x, y, z)

и υ =υ(x, y, z)

заданы системой уравнений

F1(u,υ, x, y, z) = 0;

F2 (u,υ, x, y, z) = 0.

Первый способ. Если якобиан

D(F1, F2 )

∂F1

∂F1

=

∂u

∂υ

≠ 0 ,

D(u,υ)

∂F2

∂F2

∂u

∂υ

то частные производные

∂u

и

∂υ

находятся из системы

∂x

∂x

∂F1

+

∂F1 ∂u

+

∂F1 ∂υ

= 0;

∂x

∂u

∂x

∂υ

∂x

∂F

∂F

∂u

∂F

∂υ

2

2

2

∂x

+

∂u ∂x +

∂υ ∂x

= 0.

Частные производные

∂u

,

∂υ

и

∂u

,

∂υ

определяются

∂y

∂y

∂z

∂z

Решение.

а)

Функция z задана

неявно.

Полагая

F(x, y, z,t) ≡ x2 + y2 + z2 −t2 , по формулам (1) имеем

∂F

= 2x ;

∂F

= 2 y ;

∂F

= 2z ;

∂F

= −2t ;

∂x

∂y

∂z

∂t

∂z

= −

x

;

∂z

= −

y

;

∂z

=

t

.

∂x

z

∂y

z

∂t

z

С другой стороны, дифференцируя данное уравнение,

будем иметь 2xdx + 2 ydy + 2zdz − 2tdt = 0 .

Находим отсюда dz , т.е. полный дифференциал неявной

функции

tdt − xdx − ydy

t

x

y

dz =

=

dt −

dx −

dy .

z

z

z

z

Сравнивая с формулой полного дифференциала

dz = ∂z dx +

∂z

dy +

∂z dt ,

∂x

∂y

∂t

окончательно получим

∂z

= −

x

;

∂z

= −

y

;

∂z

=

t

.

∂x

z

∂y

z

∂t

z

Полагая

F(x, y, z) = z3 − xyz −2a = 0 ,

находим

частные

производные

∂F

= −yz

;

∂F

= −xz ;

∂F

= 3z2 − xy .

∂x

∂y

∂z

Отсюда по формулам (1) получим

∂z

= −

yz

,

∂z

= −

xz

.

∂x

3z2 − xy

3z2 − xy

∂y

∂z =

− yzdx − xzdy

= −

yz

dx −

xz

dy .

3z2 − xy

3z2 − xy

3z2 − xy

∂z

= −

yz

,

∂z

= −

xz

.

∂x

3z2 − xy

∂y

3z2 − xy

7.2. y = x +ln y ,

найти

dy

;

d

2 y

;

d 3 y

и дифференциал

dx

dx2

dx3

dy .

Решение.

Пусть

F(x, y) ≡ y − x −ln y = 0 .

Находим

частные производные

∂F

= −1;

∂F

=1−

1

=

y −1

.

Отсюда по

∂x

∂y

y

y

формуле (2) получим

−1

y

′

y

= − y −1 = y −1 .

y

Вторую

производную

находим

дифференцированием

первой производной по x , учитывая, что y

есть функция x

d

2

y

d

y

′

− yy

′

y

=

=

y ( y −1)

= −

.

dx2

( y −1)2

( y −1)3

dx y −

1

Аналогично, третья производная

d

3

y

d

2

y

′

−1) −3yy

′

y(1+ 2 y)

=

d

= −

y ( y

= −

.

dx3

dx

dx2

( y −1)4

( y −1)5

Дифференциал функции будет

dy = y′xdx =

y

dx .

y

−1

7.3. Найти

∂

2 z

,

∂2 z

,

∂2 z

, если x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂F

= 2x ;

∂F

= 2 y

;

∂F

= 2z ;

∂z

= −

x

,

∂z

= −

y

.

∂x

∂y

∂z

∂x

z

∂y

z

Вторую

производную

∂

2 z

находим

∂x2

x ,

учитывая,

дифференцированием

первой

производной

по

что z

есть функция x

x2

∂2 z

d

x

z − xz′x

z +

z2

+ x2

y2

− a

2

=

−

= −

z

.

= −

= −

=

∂x2

z2

z2

z3

z3

dx

z

Смешанную

производную

∂2 z

находим

∂x∂y

дифференцированием

первой производной по

y ,

учитывая,

что z

есть функция y

∂2 z

d

x

xz′y

xy

=

−

= −

= −

.

∂x∂y

dy

z

z2

z3

Аналогично

y2

∂2 z

d

y

z − yz′y

z +

z2 + y2

x2 −a2

z

.

=

−

= −

= −

= −

=

∂y2

z2

z

z3

z3

dy

z

2

7.4. Найти dz и d 2 z , если

x2

+

y2

+

z2

=1.

a2

b2

c2

Решение. Дифференциал от функции Z находится по

формуле dz = ∂z dx +

∂z

dy . Поскольку функция задана неявно,

∂x

∂y

F (x, y, z) =

x2

+

y2

+

z2

−1 = 0 ;

a2

b2

c2

∂F

=

2x

;

∂F

=

2 y

;

∂F

=

2z

;

∂z

= −

c2

x

,

∂z

= −

c

2 y

.

∂x

a2

∂y

b

2

∂z

c2

∂x

a

2

z

∂y

b2 z

Таким образом,

dz = −

c

2

x

dx −

c2

x

dy .

a

2

z

b2

z