Учебное пособие 1623
.pdf
|
1 |
|
9 |
. Наименьшее |
значение |
функции |
равно |
|||||
zmax 2; |
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
4 |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
zmin = − |
1 . |
Наименьшее значение функция принимает в двух |
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точках |
1 |
|
;0 |
и |
1 |
,1 . |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
б) Заданная область представляет треугольник (рис. 1.1). |
||||||||||||
Найдем стационарные точки: z' |
= 2x +1 , z' |
= 6 y −1 , x |
= − 1 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = 16 . Поскольку имеется одна стационарная точка и она
лежит вне треугольника, то функция может иметь наименьшее и наибольшее значения только на границе области. Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значения на границе.
Рис. 1.1
При x =1 имеем x = 2 +3y2 − y . Исследуем эту функцию
на отрезке 0 ≤ y ≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Находим zy = 6 y −1 , |
y = |
1 , |
|
z''yy = 6 > 0 . Точка |
y = 1 - |
||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|||
точка минимума; |
|
1 |
|
|
23 |
. |
На границе |
отрезка |
|||
zmin 1; |
|
= |
|
|
|||||||
6 |
12 |
||||||||||
z(1, 0) = 2, |
z(1,1) = 4 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При |
y =1 имеем z = x2 + x + 2 . |
Исследуем эту функцию |
|||||||||
на отрезке 0 ≤ x ≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
Находим zx' = 2x +1 , x = − 12 . Так как точка x = − 12 лежит вне отрезка, то вычисляем значения функции на границе
отрезка: z(0,1) = 2 |
и z(1,1) = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При |
x + y =1 |
имеем |
z = 4y2 −4y +2 . |
Исследуем |
эту |
||||||||||||||
функцию |
на отрезке |
0 ≤ y ≤1. |
Находим |
z'y =8y −4 , |
|
y = |
1 , |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|||
'' |
. Точка |
y = |
- |
точка минимума |
|
|
|
|
. |
В |
|||||||||
zyy = 8 > 0 |
2 |
zmin |
|
|
; |
|
|
|
=1 |
||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
граничных точках функция равна z(0,1) = 2 , z(1, 0) = 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сравнивая |
значения |
функции на |
границе |
|
|
заданной |
|||||||||||||
области, |
находим |
наименьшее |
значение |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
и |
|||||||
|
zmin |
|
|
; |
|
|
|
=1 |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
наибольшее zmax (1,1) = 4 .
в) Заданная область представляет треугольник (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Ищем стационарные точки, лежащие внутри области. Находим производные и приравниваем их к нулю
|
dz |
= cos x −cos(x + y) = 0 , |
dz |
= cos y −cos(x + y) = 0 . |
||||
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
Из |
|
решения |
системы |
имеем: |
cos x −cos y = 0 , |
||
sin |
x + y |
sin |
x − y |
= 0 , |
y = ±x + 2kπ . Поскольку x изменяется в |
|||
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
промежутке 0 < x < 2π , то |
достаточно рассмотреть случай |
|||||||
y = x . Функция при |
y = x |
примет вид |
z = 2sin x −sin 2x . |
62
Откуда zx' |
= 2 cos x −2 cos 2x , |
cos x −cos 2x = 0 , |
2x = ±x +2kπ . |
|||||||||||||
|
|
Значение x = 2kπ |
не |
лежит внутри |
области |
и его не |
||||||||||
следует рассматривать. |
|
2 kπ и при k =1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Следовательно, y = x = |
это будет точка |
|||||||||||||
|
|
2π |
|
|
|
|
2π |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
= |
, |
y |
|
= |
. Так |
как точка |
(x , y ) |
- единственная |
|||||||
|
0 |
|
||||||||||||||
0 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
стационарная точка в области и функция в ней равна z = |
3 3 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
то на границе, т. е. при |
x = 0, y = 0, x + y = 2π |
функция равна |
||||||||||||||
нулю z = 0 . |
В точке (x0 , y0 ) |
функция принимает наибольшее |
||||||||||||||
значение, а на границе наименьшее. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10.2. На плоскости |
Oxy найти точку |
M (x, y) , сумма |
||||||||||||
квадратов |
|
|
расстояний |
которой |
от |
|
трех |
прямых: |
||||||||
x = 0, y = 0, x − y +1 = 0 была бы наименьшей. |
|
|
|
|
Решение. Заданные прямые в прямоугольной системе координат образуют треугольник. Возьмем произвольную точку M (x, y) внутри треугольника и определим квадраты
расстояний до соответствующих прямых. Поскольку квадраты
расстояний до прямых x = 0, y = 0 соответственно равны x2 |
и |
||||||||||
y2 , а квадрат расстояния от точки до прямой |
x − y +1 = 0 |
по |
|||||||||
формуле d = |
|
|
Ax + By +C |
|
|
равен |
x − y +1 |
|
2 , то сумма |
||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
A2 + B2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
квадратов расстояний будет u = x2 + y2 + |
1 (x − y +1)2 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Исследуем эту функцию двух переменных на экстремум:
du |
= 3x − y +1 = 0 , |
du |
= −x +3y −1 = 0 . Отсюда единственная |
||||||
dx |
dy |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
стационарная точка M (x, y) |
имеет координаты x = − |
1 |
, |
y = |
1 . |
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
63
Так как |
|
A = |
d 2u |
= 3 |
, |
B = |
d 2u |
= −1, |
C = |
d 2u |
= 3 |
|
|
|
и |
|||||
|
dx |
2 |
dxdy |
dy2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D = AC − B |
2 |
= 8 |
> 0 |
при |
A > 0 (C > 0) , то в точке |
M |
|
− |
1 |
, |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
4 |
||||||||||||||||||
функция u суммы квадратов расстояний минимальна. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.3. |
Из |
всех |
|
треугольников |
данного |
периметра |
|
2 p |
найти тот, который имеет наибольшую площадь.
Решение. Обозначим стороны треугольника через x, y, z;
тогда по |
формуле |
Герона S = p( p − x)( p − y)( p − z) |
или, |
|
учитывая, |
что |
x + y + z = 2 p , |
будем |
иметь |
S = p( p − x)( p − y)(x + y − p) .
|
Чтобы найти наибольшее значение площади, достаточно |
|||||||||||||||||||||
найти |
наибольшее |
значение |
|
подкоренной |
|
функции |
||||||||||||||||
u = ( p − x)( p − y)(x + y − p) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Вычисляем производные и приравниваем их нулю |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
du |
= −( p − y)(x + y − p) +( p − y)( p − x) = 0 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
du |
= −( p − x)(x + y − p) + ( p − x)( p − y) = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из решения системы уравнений находим единственную |
|||||||||||||||||||||
стационарную |
|
|
точку |
x = y = z = |
2 p |
. |
Находим |
вторые |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производные |
|
в |
этой |
точке: |
A = |
d 2u |
= − |
2 p |
, |
B |
= |
d 2u |
= |
p |
, |
|||||||
|
dx2 |
3 |
dxdy |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C = |
d 2u |
= − |
2 p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Поскольку |
D = AC − B2 |
= |
p2 |
> 0 и |
A < 0 |
|
(C < 0) , |
то |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исследуемая функция имеет в этой точке максимум.
64
Вопрос о максимуме функции в точке x = y = z = 23p
можно было бы решить и чисто геометрически. В данном случае мы имеем равносторонний треугольник и площадь треугольника максимальна, поскольку, чем больше отличается размер одной стороны от двух других, тем площадь треугольника меньше.
10.4. Представить положительное число a в виде произведения четырех положительных множителей так, чтобы их сумма была наименьшей.
Решение. По условию задачи требуется найти наименьшее значение суммы S = x + y + z +t при условии, что
xyzt = a . Представляя |
t в |
виде t = |
|
a |
и подставляя |
это |
|||
|
xyz |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выражение в сумму, |
будем |
иметь |
S = x + y + z + |
a |
, т. |
е. |
|||
xyz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функцию трех переменных, причем x > 0, y > 0, z > 0 . Найдем
стационарную точку.
Для этого вычислим производные и приравняем их к
нулю
dSdx =1− (xyzayz)2 = 0 , dSdy =1− (xyzaxz)2 = 0 , dSdy =1− (xyzaxy)2 = 0 .
Решая эту систему уравнений, находим, что x = y = z = t = 4 a , т. е. все множители равны. Докажем, что в
этой точке сумма принимает максимальное значение. Действительно, при приближении какой-либо переменной к пограничным значениям x = 0, y = 0, z = 0 равно как и при
удалении в бесконечность, функция суммы S бесконечно возрастает. Следовательно, найденная стационарная точка будет той точкой, в которой сумма S будет наименьшей.
65
1.11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
10. Условным экстремумом функции z = f (x, y) в точке
M0 (x0 , y0 ) называется экстремум этой функции, достигнутый
при условии, что переменные |
x, y в окрестности этой точки |
||
удовлетворяют |
уравнению |
связи ϕ(x, y) = 0 , |
т. е. |
f (M0 ) > f (M ) |
или f (M0 ) < f (M ) при ϕ(x, y) = 0 и M ≠ M0 . |
||
Для отыскания условного экстремума составляют |
|||
функцию Лагранжа |
|
|
|
|
u(x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y) , |
(1) |
где λ - неопределенный постоянный множитель (множитель Лагранжа).
Необходимые условия условного экстремума определяются системой
du |
= df |
+λ dϕ |
= 0; |
du |
= df |
+ λ dϕ |
= 0 |
(2) |
dx |
dx |
dx |
|
dy |
dy |
dy |
|
|
ϕ(x, y) = 0
Пусть x0 , y0 ,λ0 - решение этой системы. Составим определитель
|
|
0 |
|
|
ϕx' (M0 ) |
ϕy' (M0 ) |
|
(3) |
||||||
D = − |
ϕ' |
(M |
0 |
) |
u'' |
(M |
0 |
, λ ) |
u'' |
(M |
0 |
, λ ) |
|
|
|
x |
|
|
xx |
|
0 |
xy |
|
0 |
|
|
|||
|
ϕ' |
(M |
0 |
) u'' |
(M |
0 |
, λ ) u'' |
(M |
0 |
, λ ) |
|
|
||
|
y |
|
|
xy |
|
0 |
yy |
|
0 |
|
|
|||
Если D < 0 , то |
функция |
|
z = f (x, y) |
|
имеет в |
точке |
M0 (x0 , y0 ) |
условный |
максимум, |
а если |
D > 0 |
- |
условный |
||
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
Функция нескольких |
независимых |
переменных |
|||||
z = z(x ) |
(i =1, 2,..., n) |
в точке |
M |
0 |
(xo ) |
имеет |
условный |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
экстремум, если в некоторой окрестности точки |
M0 для всех |
|||||||
ее точек |
xi , удовлетворяющих уравнениям связи |
ϕk (xi ) = 0 , |
66
(k =1, 2,..., m; m < n) , |
выполняется |
неравенство |
f (M0 ) > f (M ) f (M0 ) < f (M ); (M0 ≠ M ) . |
|
|
Функция Лагранжа имеет вид |
|
|
|
m |
|
u(xi , λk ) = z(xi ) + ∑λkϕk (xi ) , |
(4) |
|
|
k =1 |
|
где λk (k =1, 2,..., m) |
- множители Лагранжа, причем их число |
соответствует числу уравнений связи.
Необходимые условия условного экстремума определяются системой n +m уравнений
du |
= 0 |
(i =1, 2,...n); |
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
(M ) = 0 |
(k =1, 2,...m) |
|
ϕk |
|
Решая эту систему относительно неизвестных, находим |
||||||||
λ0 |
и координаты точки x0 , в которой возможен условный |
||||||||
k |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
экстремум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточные условия условного экстремума: |
|
|||||||
|
1) |
если второй дифференциал |
d 2u(x0 |
, λ0 |
, dx ) < 0 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
k |
i |
при условии, что dxi удовлетворяет уравнениям |
|
|
|||||||
|
n |
dϕ |
k |
(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
i |
|
dx = 0 (k =1, 2,..., m) |
|
|
(5) |
|
|
dxi |
|
|
||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При ∑dxi2 |
≠ 0 , |
то функция z = z(xi ) |
в точке |
M0 (xio ) |
i=1
имеет условный максимум;
2) если d 2u(xi0 , λk0 , dxi ) > 0 , при условии (5), то функция в точке M0 (xio ) имеет условный минимум.
11.1. Найти условные экстремумы функций:
а) z = x +3y |
при |
x2 + y2 =10; б) u = x − 2 y + 2z при |
x2 + y2 + z2 = 9; в) |
u = xyz |
при x + y + z = 5, xy + yz + xz = 8 . |
Решение. а) Геометрически задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения аппликаты z плоскости
67
z = x +3y для точек пересечения ее с цилиндром x2 + y2 =10;
Составим |
|
|
функцию |
|
Лагранжа |
|
u(x, y, z) = x +3y +λ(x2 + y2 −10) |
и |
найдем |
частные |
|||
производные: du |
1+ 2λx; |
du |
= 3 + 2λy . Необходимые условия |
|||
dx |
|
dy |
|
|
|
|
существования экстремума определяются системой (2)
1+ 2λx = 0,
3 + 2λy = 0,x2 + y2 =10
которая имеет решения:
x1 =1, y1 = 3, λ1 = − 12 , x2 = −1, y2 = −3, λ2 = 12 .
Поскольку |
d 2u |
= 2λ , |
|
|
d 2u |
|
= 0 , |
d 2u |
= 2λ , |
то |
|
dx2 |
|
|
dxdy |
dy2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d 2u = 2λ(dx2 +dy2 ) . |
|
При λ = − |
1 , |
d 2u < 0 , |
следовательно, |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
функция имеет в точке M1(1,3) |
условный максимум zmax =10 . |
||||||||||
При λ = 1 , d 2u > 0 , |
следовательно, |
функция имеет в точке |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 (−1, −3) условный минимум zmin = −10 .
Условный максимум, минимум функции может быть найден также с помощью определителя (3). Для этого находим
в |
точке |
M1 : |
ϕ(x, y) = x2 + y2 −10 , |
ϕx' (M1 ) = 2 , ϕy' (M1 ) = 6 , |
|||||||||
u'' |
(M |
, λ ) = −1 |
, u'' |
(M |
, λ ) = 0 |
, u'' |
|
(M |
, λ ) = −1 |
||||
xx |
1 |
|
1 |
xy |
1 |
1 |
|
yy |
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
D = − |
|
0 |
2 |
6 |
|
= −40 < 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
−1 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
−1 |
|
|
|
т. е. функция в точке M1 имеет условный максимум. Аналогично, в точке M2
68
|
|
|
|
D = − |
|
0 |
|
|
−2 |
|
−6 |
|
= 40 > 0 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−2 1 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т. е. функция в точке M2 |
имеет условный минимум. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
б) Функция трех независимых переменных. Составим |
|||||||||||||||||||||||||||
функцию Лагранжа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
w = x −2y +2z +λ(x2 + y2 + z2 −9) |
||||||||||||||||||||||||
и найдем частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dw |
=1+ 2λx , |
dw |
|
|
= −2 + 2λx , |
dw |
= 2 + 2λz . |
||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
dy |
|
dz |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Запишем |
необходимые |
|
условия |
|
|
существования |
|||||||||||||||||||||
условного экстремума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1+2λx = 0, 1−2λy = 0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+2λz = 0, x2 |
+ y2 + z2 −9 = 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из решения этой системы имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ = 1 |
, x = −1, |
|
y = 2 |
, |
|
z = −2 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 , x =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
λ = − |
, |
y = −2 |
, |
z |
2 |
= 2 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим вторые производные |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d 2 w |
= |
2λ , |
|
d 2 w |
|
= 2λ , |
d 2 w |
= 2λ , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx2 |
|
|
dy2 |
dz2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
2w |
|
|
= |
|
|
d 2w |
= |
|
d 2w |
|
= 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
dxdz |
|
dydz |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
и найдем второй дифференциал в первой критической |
|||||||||||||||||||||||||||
точке |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
=1 > 0 . |
|
|
Поскольку |
знак второго |
||||||||||||||||
d |
|
w −1, 2, −2, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциала функции Лагранжа положительный, то исследуемая функция в этой точке имеет условный минимум
umin = −9.
Знак второго дифференциала во второй критической
69
точке |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
отрицательный, следовательно, |
d |
|
w 1, |
−2, 2, − |
|
|
= −1 < 0 |
||
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в этой точке функция имеет условный максимум umax =9 .
в) В данном случае уравнений связи два. Составляем функцию Лагранжа
w = xyz +λ1(x + y + z −5) +λ2 (xy + yz + xz −8) .
Необходимые условия существования условного экстремума определяются системой уравнений
dwdx = yz +λ1 +λ2 y +λ2 z = 0 , dwdy = xz +λ1 + λ2 z + λ2 x = 0 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
= xy +λ +λ y +λ x = 0 , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y + z = 5 , xy + yz + xz = 8 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Из |
|
решения |
этой |
системы |
уравнений |
находим |
||||||||||||||||||||||||
критические |
|
точки: |
M1(2, 2,1) , |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
, |
M3 (2,1, 2) , |
||||||||||||||||
|
|
|
M 2 |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
7 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M 4 |
|
, |
|
, |
|
|
, |
M5 (1, 2, 2) , M6 |
|
|
, |
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вычисляем вторые частные производные |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 w |
= |
|
d 2 w |
= |
d 2w |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
dy2 |
dz2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2w |
= z +λ , |
d |
2 w |
|
= x +λ , |
|
d 2 w |
|
= y + λ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
dydz |
|
dxdz |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
и определяем знак второго дифференциала в стационарных
точках. В точке |
M |
1 |
|
d 2 w(2, 2,1, λ |
= −1) = 4 > 0 функция имеет |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
условный |
минимум |
umin = 4 . |
В |
точке |
M2 |
||||||||
d 2 w( 4 |
, 4 |
, 7 |
, λ = − 7) = −4 < 0 |
функция |
имеет условный |
||||||||
3 |
3 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
максимум |
umax = 4 |
4 |
. |
Аналогично |
вычисляется |
знак |
второго |
||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
дифференциала и в четырех остальных точках. Так в точках
70