Учебное пособие 1623

2

2

z

2

u = xyz +λ

x

+

y

+

−

1 .

2

2

2

a

b

c

du = yz +λ

2x ,

Находим

частные

производные

du

2 y

du = xy

2z

dx

a2

= xz +λ

,

+λ

,

тогда

необходимое условие

dy

c2

b2

dz

экстремума будет

2x

2 y

yz +λ

= 0 ,

xz +λ

= 0 ,

a2

b2

xy +λ

2z

= 0 ,

x2

+

y2

+

z2

=1 .

c

2

a2

b2

c2

Решая эту систему, будем иметь

x = ±a

3

, y = ±b

3

,

3

3

3

z = ±c

.

Поскольку рассматривается только первый октант,

3

то

экстремум

будет

в точке с

координатами

условный

x = a

3

,

y = b

3

,

z = c

3

.

Отсюда

следует,

что

3

3

3

10. В случае неявного

задания кривой F (x, y) = 0

уравнение касательной в точке (x0 , y0 ) имеет вид

F ' (x, y)(x − x ) + F '

(x, y)( y − y

0

) = 0 .

(1)

x

0

y

Уравнение нормали

F ' (x, y)(x − x ) + F '

(x, y)( y − y

0

) = 0

y

0

x

или

x − x0

=

y − y0

(2)

F '

F '

x

y

20. Если кривая задана параметрически x =ϕ(t) ,

y =ψ (t)

tgα =

y'

и

имеет угловой

коэффициент

1

,

то

уравнение

x'

касательной

1

y'

x − x

y − y

y − y

=

0

(x − x )

или

0

=

0

(3)

x'

y'

0

x'

0

0

0

0

Уравнение (3) справедливо и для случая, когда

x' = 0 , а

t

y'

≠ 0 , т. к. это означает,

что равен нулю и соответствующий

t

предыдущий член. Только в особой точке,

где x' = 0

и y' = 0 ,

уравнение (3) теряет смысл.

t

t

30. Если кривая задана полярным уравнением

p = p(ϕ) ,

то

переходя

к

прямоугольным

координатам

x = p cosϕ ,

y = p sinϕ ,

угол

наклона

касательной

определяется

выражением

yϕ'

ρϕ' sinϕ + ρ cosϕ

tgα =

=

(4)

xϕ'

ρϕ' cosϕ − ρ sinϕ

x

= π −sin π = π

−1,

y

0

=1−cos π =1.

0

2

2

2

2

dy =

sin t

Вычислим производную

и найдем угловой

1

−cos t

dx

коэффициент касательной в точке M :

sin

π

y '(x ) =

2

=1.

−cos π

0

1

2

Таким

π

образом,

уравнение

касательной

примет

вид

+

или

x − y −

π

+ 2 = 0 .

Уравнение нормали,

y −1 =1 x −

2

1

2

соответственно, будет y −1 = −

π

или x + y −

π

= 0 .

x −

2

+1

2

1.3. Определить положение касательной и нормали к

лемнискате ρ2

= 2a2 cos 2ϕ .

Решение. Воспользуемся

формулой

(5).

Продифференцируем

уравнение

лемнискаты,

считая

ρ

функцией ϕ

ρρϕ' = −2a2 sin 2ϕ .

Разделив это уравнение на уравнение лемнискаты,

получим

ρ

π + 2ϕ .

tgθ =

= −ctg2ϕ ,

откуда θ =

ρϕ'

2

M 0 (x0 , y0 , z0 )

имеет вид

∂F0 (x − x ) + ∂F0

( y − y

0

) + ∂F0 (z − z

0

) = 0 ,

(1)

∂x

0

∂y

∂z

где

∂F0

,

∂F0

,

∂F0

- значения частных производных в точке

∂x

∂y

∂z

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

(2)

∂F

∂F

∂F

0

0

0

∂x

∂y

∂z

Вектор

G

∂F

,

∂F

,

∂F

называется

нормальным

n

∂x

∂y

∂z

z − z

=

∂f0

(x − x ) +

∂f0

( y − y

) ,

(3)

0

∂x

0

∂y

0

где

∂f0

,

∂f0

- значения частных производных в точке

M0 .

∂x

∂y

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

(4)

∂f0

∂f0

−1

∂x

∂y

Направляющие косинусы нормали к поверхности

определяются выражениями

−p

−q

cos λ =

; cos μ =

;

± 1+ p2 + q2

±

1+ p2 + q2

cos v =

1

;

(5)

± 1+ p2 + q2

где

p =

∂z

= −

F '

, q =

∂z

= −

Fy'

. Двойной знак перед корнем

x

∂x

F '

∂y

F '

z

z

x =ϕ(u, v) , y =ψ (u, v) , z = χ(u, v) ,

то уравнение

касательной

плоскости

в

некоторой точке

(x0 , y0 , z0 ) имеет вид

x − x0

y − y0

z − z0

x'

y'

z'

= 0

(6)

u

u

u

x'

y'

z'

v

v

v

Направляющие косинусы нормали

cos λ =

A

;

cos μ

=

B

;

±

A2 + B2 +C2

±

A2 + B2 +C2

cos v =

A

;

(7)

±

A2 + B2 +C2

где

A =

y'

z'

;

B =

z'

x'

;

C =

x'

y'

.

u

u

u

u

u

u

y'

z'

z'

x'

x'

y'

v

v

v

v

v

v

пересечения

называется

угол между

касательными

плоскостями,

проведенными

к

рассматриваемым

поверхностям, в данной точке.

Поверхности называются ортогональными, если они

пересекаются под прямым углом α =

π

в каждой точке линии

их пересечения.

2

2.1. Для данных поверхностей найти уравнения

касательных плоскостей и нормалей в указанных точках:

а)

z = arctg

x

в точке

M0 (−1;1; −

π );

y

4

б)

x3 + y3 + z3 − xyz −10 = 0 в точке M 0 (−1; 2;1);

в)

x = ρ sinϕ, y = ρ cosϕ, z = ρtgα в точке M 0 (ρ0 ;ϕ0 );

G

−u2 } в точке

G

г)

r {u cos v,u sin v, a2

r0 {x0 , y0 , z0 } .

∂z

=

y

;

∂z

=

1

∂x

x2 + y2

∂x

2

M

∂z

=

x

;

∂z

=

1 .

∂y

x2 + y2

∂y

M

2

Отсюда уравнение касательной плоскости

z + π

=

1

(x +1)

+

1

( y

−1)

или x + y −2z =

π .

4

2

2

z −π 4

2

Уравнение нормали

x +1

y −1

=

или

−1

1

2

1

2

x +1

=

y −1

=

z −π 4

.

1

1

−2

∂F

= 3x2 − yz ,

∂F0

=1,

∂x

∂x

∂F

= 3y2 − xz ,

∂F0

=13 ,

∂y

∂y

∂F

= 3z2 − xy ,

∂F0

= 5 .

∂z

∂z

Используя формулы (1), (2), получим уравнение

касательной плоскости

x +1+13( y −2) +5(z −1) = 0

или

x +13y +5z −30 = 0

и уравнение нормали

x +1

=

y −2

=

z −1

.

1

13

5

x − x0

y − y0

z − z0

sinϕ0

cosϕ0

tgα

= 0 .

ρ0 cosϕ0

−ρ0 sinϕ0

0

Откуда при x0 = ρ0 sin ϕ0 ,

y0 = ρ0 cosϕ0 , z0 = ρ0tgα

x − ρ0 sinϕ0

=

y − ρ0 cosϕ0

=

z − ρ0tgα

.

sinϕ0

cosϕ0

−ctgα0

г)

По

условию

задачи

поверхность

задана

параметрическими

уравнениями

x = u cos v ,

y = u sin v ,

z =

a2 −u2 .

Для нахождения касательной плоскости в точке

(x0 , y0 , z0 ) воспользуемся формулой

(6). Находя

частные

производные по u,v в точке (x0 , y0 , z0 ) , будем иметь

x − x0

y − y0

z − z0

cos v0

sin v0

−

u0

= 0

a2 −u0

−u0 sin v0

u0 cos v0

0

Откуда

(z − z

)u

cos2 v

+( y − y

)

u2 sin v

+

0

0

0

0

0

0

a2 −u2

+(z − z

)u

sin2

v

+(x − x )

u2

cos v

= 0

0

0

0

0

0

0

a2 −u2

или, переходя к координатам x, y, z

z − z

+( y − y

)

y0

+(x − x )

x0

= 0

0

0

z0

0

z0

Преобразуя

последнее

выражение

к

виду

xx

+ yy

0

+ zz

0

= x2 + y2

+ z2 и подставляя

вместо квадратов в

0

0

0

0

Обозначая

F (x, y, z) = x2 + y2 − z2 ,

находим

частные

производные

∂F

∂F

∂F

= 2x ,

= 2 y ,

= −2z ,

∂x

∂y

∂z

∂F0

= 8

,

∂F0

= 6 ,

∂F0 = −10 .

∂x

∂y

∂z

Уравнение нормали к поверхности конуса примет вид

x −4

=

y −3

=

z −5

или

x −4

=

y −3

=

z −5

.

8

−10

4

3

6

−5

G

∂F

,

∂F

,

∂F

- есть нормальный вектор к

Вектор n

∂x