Учебное пособие 1623
.pdf
|
б) Функция не определена в точках, в которых |
||||||||||||||
знаменатель |
обращается |
|
в |
нуль, |
т.е. |
x2 + y2 − z2 = 0 . |
|||||||||
Следовательно, |
поверхность |
конуса |
x2 + y2 = z2 |
является |
|||||||||||
поверхностью разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1.3. Частные производные первого порядка |
|
|||||||||||||
|
10. |
Пусть |
(x , y |
0 |
) |
- |
некоторая |
|
произвольная |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
фиксированная |
точка из |
области |
определения |
функции |
|||||||||||
z = z(x, y) . Придавая переменной x |
приращение |
x , |
находим |
||||||||||||
приращение |
функции |
z = z(x, y) |
|
в точке |
(x0 , y0 ) по |
||||||||||
переменной x : |
z = (x0 + |
|
|
x, y0 ) − z(x0 , y0 ) . Предел отношения |
|||||||||||
lim |
z |
|
называется частной |
производной 1-го порядка от |
|||||||||||
y |
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции |
z |
по переменной |
x в точке (x0 , y0 ) |
и обозначается |
|||||||||||
∂z |
или |
z′x (x, y) . Аналогично |
определяется |
и |
обозначается |
||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
: ∂z |
|
|
|
|
|
|
частная производная от z |
по y |
= z′y (x, y) . Производная от |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
функции z = z(x, y) по x |
находится, в предположении, что y |
остается постоянной, по обычным правилам и формулам дифференцирования. Если функция зависит от нескольких
переменных |
z = z(x , x |
2 |
,..., x |
n |
) , то частная производная |
∂z |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
∂xi |
|||
|
|
|
|
|
|
||
находится в предположении, что все переменные (кроме |
xi ) |
постоянные величины.
20. Функция z = z(x1, x2 ,..., xn ) называется однородной
функцией степени m , если для некоторого действительного числа λ ≠ 0 справедливо выражение
z(λx1 , λx2 ,..., λxn ) = λm z(x1 , x2 ,..., xn ) .
11
Теорема Эйлера. Если однородная степени m функция z = z(x1 , x2 ,..., xn ) имеет частные производные по каждой из
переменных xi , то справедливо равенство
mz(x , x |
2 |
,..., x |
n |
) = x z' |
|
(x , x |
2 |
,..., x |
n |
) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
z' (x , x |
2 |
,..., x |
n |
) +... + x |
n |
z' |
|
(x , x |
2 |
,..., x |
n |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
1 |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.1. Найти частные производные: а) z = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
y |
|
|
б) |
z = xy sin(2x +3y) ; |
|
в) |
z = 3 cos(2x − y) ; |
г) z = 2 y |
x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
10 y−x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) |
z = ln tg |
|
− |
|
|
; |
е) z = xye |
|
|
|
; ж) z |
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Решение. а) Полагая у постоянной величиной, находим производную по x :
∂z |
= |
y(x2 |
+ y2 ) − xy2x |
= |
y(x2 |
− y2 ) |
. |
||
∂x |
(x2 + y2 )2 |
(x2 |
+ y2 )2 |
||||||
|
|
|
Полагая x постоянной величиной, находим производную по y :
|
|
|
|
|
∂z |
= |
|
x(x2 + y2 ) − xy2y |
= |
|
x(x2 − y2 ) |
. |
||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
(x2 + y2 )2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б) |
Полагая |
|
y |
постоянной |
|
|
величиной, находим |
||||||||
∂z |
= y(sin(2x +3y) + 2x cos(2x +3y)) . |
Полагая x постоянной |
||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
||
величиной, находим |
= x(sin(2x +3y) +3y cos(2x +3y)) . |
|||||||||||||||
∂y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
= |
1 |
cos− |
|
(2x − y) 2 = |
|
2 |
, |
|
||||||
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
33 cos2 (2x − y) |
|
12
|
∂z |
|
= |
|
1 |
|
cos− |
2 |
|
(2x − y)(−1) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
cos2 (2x − y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
ln 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 2 y |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
ln 2− |
|
|
|
|
|
− |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
д) |
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
tg |
x |
− |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
− |
|
|
y |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
− |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
е) |
|
|
= y(e10 y−x + xe10 y−x (−1)) = ye10 y−x (1− x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂z |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 y−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 y−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 y−x |
(1+10 y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= x(e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ye |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 10 = xe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж) |
|
∂z = − |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 ) arctg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
+ y2 ) arctg |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||
3.2. Найти частные производные: а) u = x3y2 + |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) u = t − x2 − y2 − z2 .
13
Решение. а) Полагая |
y , z |
постоянными величинами, |
|
находим производную по |
x : |
∂u |
= 3x2 y2 . Полагая x , z |
|
|
∂x |
|
постоянными величинами, находим ∂∂uy = 2x3 y + 1z .
Полагая x , y постоянными, имеем |
∂u |
= − |
y |
. |
|
|||||
∂z |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||
б) |
∂u |
= |
1 |
(−2x) = − |
|
x |
, |
|||
|
∂x |
|
2 t − x2 − y2 − z2 |
|
t − x2 − y2 − z2 |
|||||
∂u |
= |
2 |
1 |
(−2 y) = − |
|
y |
, |
|||
∂y |
|
t − x2 − y2 − z2 |
|
t − x2 − y2 − z2 |
|
|||||
∂u |
= |
2 |
1 |
(−2z) = − |
t |
− x2 |
z |
, |
||
∂z |
|
t − x2 − y2 − z2 |
|
− y2 − z2 |
|
|||||
∂u |
= |
2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
t − x2 − y2 − z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. |
|
Найти: |
а) fx' |
(1;2) , |
f y' (1;2) , |
если |
||||
f (x, y) = x3 y − xy3 +1; б) ux' (1;0;2) , |
u'y (1;0;2) ; uz' (1;0;2) , если |
u = ln(x2 + y2 + z2 ) .
Решение. а) Находим частные производные и вычисляем их значения в точке (1;2)
fx' = 3x2 y − y3 , f y' = x3 − 3xy2 , fx' (1;2) = −2 , fy' (1; 2) = −11.
б) Находим частные производные и вычисляем их значения в точке (1;0;2)
u' |
= |
2x |
, u' |
= |
2 y |
, u' |
= |
2z |
, |
|
x2 + y2 + z2 |
x2 + y2 + z2 |
x2 + y2 + z2 |
||||||||
x |
|
y |
|
z |
|
|
ux' (1;0;2) = 52 , u'y = 0 , uz' = 54 .
14
|
|
3.4. Показать, |
что: |
|
а) |
|
|
x2 |
∂z |
− xy |
∂z |
|
+ y2 |
= 0 , |
|
если |
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z = |
y |
2 |
+ arcsin( xy) ; б) x |
∂z |
+ y |
∂z |
|
= z , если z = x ln |
y |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3x |
∂x |
∂y |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение. а) Находим частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∂z |
= − |
|
y2 |
+ |
|
|
y |
|
, |
∂z |
= |
2 y |
+ |
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂x |
3x3 |
1− x2 y2 |
∂y |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Поставляя их в уравнение, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
− y2 x2 |
+ |
1 |
x2 y |
|
− 2xy2 |
− |
|
|
1 |
x2 y |
+ y2 = −y2 + y2 = 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
− x2 y2 |
|
3x |
|
|
|
− x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
б) Находим частные производные |
∂z = ln |
|
y |
−1 |
, |
|
∂z |
|
= |
x |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
x |
|
|
|
∂y |
|
y |
|||
|
|
Подставляя |
производные |
|
в |
|
уравнение, |
будем |
иметь |
|||||||||||||||||||||||
x ln |
y |
− x + y |
|
x |
= x ln |
y |
= z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Проверить теорему Эйлера для функций:
|
а) |
|
z = x3 − xy2 + y3 ; |
б) |
z = arctg |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Для функции двух переменных теорема |
|||||||||||||||||||
Эйлера |
|
имеет |
вид |
xzx' |
+ yz'y = mz . |
Находим |
|
частные |
||||||||||||
производные |
∂z |
= 3x2 − y2 , |
∂z |
= −2xy + 3y2 . Таким образом, |
|
|||||||||||||||
∂x |
∂y |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x(3x2 − y2 ) + y(−2xy +3y2 ) = 3(3 −xy2 + y3 ) = 3z . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б) |
Находим частные |
производные |
∂z |
= |
|
y |
|
, |
|||||||||||
|
∂x |
x2 |
+ y2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂z |
= − |
|
|
x |
. |
Таким |
|
образом, |
xy |
− |
|
xy |
|
|
= 0 , |
|||||
∂y |
|
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
x |
2 + y2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку заданная функция однородная степени m = 0 .
15
1.4. Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
10. Пусть изменение функции |
z = f (x, y) |
вызвано |
|||
изменением только одной переменной, |
например, x . Тогда |
||||
приращение |
x z = f (x + |
x, y) − f (x, y) |
называется |
частным |
|
приращением |
функции |
по x . Частным дифференциалом |
|||
функции z |
по x называется главная часть частного |
||||
приращения, |
линейная |
относительно |
приращения |
x . |
Частный дифференциал от функции z по x равен произведению частной производной по x на дифференциал независимой переменной, т.е.
dx z = ∂∂xz ∂x .
Аналогично,
d y z = ∂∂yz ∂y .
Если функция многих переменных u = f (x1, x2 ,..., xn ) , то частные дифференциалы будут
|
d |
x |
z = |
|
∂z |
∂x , |
d |
x |
z = |
∂z |
∂x |
2 |
, … , d |
x |
z = |
∂z |
∂x |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
∂x2 |
|
|
|
∂xn |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
∂x1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x , |
20. Если независимые переменные получают приращения |
||||||||||||||||||
y , то |
полное |
приращение |
функции |
z = f (x, y) |
определяется выражением
z = f (x + x, y + y) − f (x, y) .
Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения, линейная относительно приращений x , y .
Полный дифференциал от функции z равен сумме ее частных дифференциалов, т.е.
dz = ∂∂xz ∂x + ∂∂yz ∂y .
16
В случае функции многих переменных u = f (x1, x2 ,..., xn ) полный дифференциал определяется по формуле
du = |
∂u |
∂x |
+ |
∂u |
∂x |
|
+... + |
∂u |
∂x |
n |
. |
||
∂x |
∂x |
|
|
∂x |
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
n |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. При достаточно малых приращениях независимый переменных, полное приращение функции приблизительно равно ее полному дифференциалу u ≈ du . Это равенство используется для приближенного вычисления значения функции в точке M (x, y,..., z) , если проще найти значения
функции и ее частных производных в достаточно близкой точке M0 (x0 , y0 ,..., z0 )
u(M ) ≈ u(M 0 ) + u′x (M 0 )dx + u′y (M 0 )dy +... + u′z (M 0 )dz ,
где x − x0 |
= dx , y − y0 = dy , … , |
z − z0 |
= dz . |
|
|
|||||||||||
4.1. Найти частные дифференциалы: а) z = 3 |
x2 + y ; |
|||||||||||||||
|
б) u = ln(x2 + y2 −2z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. а) Находим частные производные |
|
|
||||||||||||||
∂z |
= |
2x |
|
|
; |
∂z |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂x |
33 (x2 + y)2 |
|
∂y |
|
33 (x2 + y)2 |
|
|
|
||||||||
Умножая |
|
на |
|
соответствующие |
дифференциалы |
|||||||||||
аргументов, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dx z = |
2xdx |
|
; |
d y z = |
|
|
dy |
|
. |
|
|
|
||||
|
+ y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
33 (x2 |
|
|
|
33 (x2 + y)2 |
|
|
|
||||||||
б) Функция трех переменных. Находим частные |
||||||||||||||||
производные |
∂u |
|
|
|
2x |
|
|
|
∂u |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|
, |
||||
|
|
∂x |
x2 |
+ y2 − 2z2 |
∂y |
x2 |
+ y2 − 2z2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∂u |
= − |
|
|
4z |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
∂z |
x2 |
+ y2 − 2z2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, частные дифференциалы
17
dxu == |
|
|
|
2xdx |
|
|
|
|
, d yu == |
|
|
|
2 ydy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 + y2 − 2z2 |
x2 + y2 − 2z2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dzu == − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 − 2z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4.2. Найти полный дифференциал функции: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
z = arctg |
|
|
x − 4 |
|
; |
|
|
б) u = xyz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 + xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. а) Находим частные производные |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 + xy − (x − y) y |
= |
|
|
|
1 + y |
2 |
; |
|
||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
2 |
|
|
|
|
|
(1 + xy)2 |
|
1 + x2 − xy + y2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂z |
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 − xy − (x − y) y |
|
= − |
|
1 + y2 |
|
; |
|||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
2 |
|
|
|
|
|
(1 + xy)2 |
|
|
|
1 + x2 |
− xy + y2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Полный дифференциал находим по формуле (4) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dz = |
(1+ y2 )dx −(1+ x2 )dy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
+ x2 − xy + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) Находим частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂u |
= y z x yz −1 , |
|
∂u = x yz ln x zy z−1 , |
∂u |
|
= x yz z |
ln xyz ln y . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда, полный дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∂u = y |
z |
x |
yz −1 |
|
|
|
|
|
|
yz |
y |
z−1 |
z ln xdy + x |
yz |
y |
z |
ln x ln ydz = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= y |
z |
x |
yz dx |
+ |
z ln x |
dy +ln x ln ydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.3. При помощи полного дифференциала вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приближенно: а) ln(4 |
0,97 +3 1,04 −1) ; б) |
|
(1,02)4 0,98)3 (2,03)2 . |
18
Решение. а) |
Рассмотрим функцию z = ln(4 x +3 y −1) . |
Требуется найти |
значение функции в точке M (0,97;1,04) . |
Однако проще найти значение функции в вспомогательной
точке M0 (1;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем |
сначала |
|
|
дифференциалы |
аргументов |
|||||||||||
dx = x − x0 = 0,97 −1 = −0,03, |
|
|
dy = y − y0 =1,04 −1 = 0,04 |
и |
||||||||||||
воспользуемся формулой (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 y2 |
|
|
|||
z(M ) = z(M0 ) + |
|
44 x3 |
|
dx + |
4 x |
dy , |
|
|||||||||
|
|
|
|
4 x +3 y −1 |
|
+3 y −1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ln(4 0,97 + 3 1,04 −1) = ln(4 1 + 3 1 −1) + |
44 1 |
|
(−0,03) + |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 + 3 1 −1 |
|
||||
|
1 |
|
|
0,03 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 1 + 3 1 −1 |
0,04 |
= − 4 |
+ |
3 = 0,326 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) Требуется найти значение функции u = x4 y3 z2 в точке |
||||||||||||||||
M ((1,02;0,98;2,03) . Пусть |
M0 ((1;1;2) будет вспомогательной |
точкой. Найдем дифференциалы аргументов dx = x − x0 = 0,02 ;
dy = y − y0 = −0,02 ; |
dz = z − z0 = |
0,03 |
|
и |
воспользуемся |
||||||||
формулой (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(M ) = u(M |
0 |
) + |
∂u |
|
|
dx + ∂u |
|
|
dy + |
∂u |
|
|
dz = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂x |
|
M0 |
∂y |
|
M0 |
∂z |
|
M0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+141322 +4 131322 0,02 +3 1412 |
22 (−0,02) +2 14132 0,03 = |
= 4 + 0,16 −0,24 + 0,12 = 4,04 .
4.4. Стороны прямоугольного параллелепипеда равны; a = 2 см, b = 3 см, c = 6 см. Найти приближенно величину
19
изменения длины диагонали параллелепипеда, если a увеличивается на 3 мм, b - на 1 мм, а c уменьшается на 2 мм.
Решение. Диагональ параллелепипеда равна
l = a2 +b2 +c2 = 7 . Изменение длины заменим приближенно дифференциалом
|
l = dl = |
2ada |
2bdb |
|
2cdc |
||
|
a2 +b2 + c2 + |
a2 +b2 + c2 |
+ |
a2 +b2 + c2 = |
|||
= |
|
|
2 |
(ada + bdb + cdc) = |
|
|
|
|
a 2 |
+ b2 |
|
|
|||
|
|
+ c 2 |
|
|
|
||
= |
|
|
2 |
(2 0,3 + 3 0,1 + 6(−2)) = |
|
||
|
a 2 |
+ b2 |
|
||||
|
2 |
+ c 2 |
|
|
|
||
= |
(−0,3) = −0,0857 , т.е. длина уменьшилась на 0,857 мм. |
||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
4.5. Дана функция z = 4xy +5x − 2 y |
и две точки A(1;3) , |
B(1,04;2,97) .
Требуется: а) вычислить приближенное значение функции в точке B ;
б) вычислить точное значение функции в точке B и оценить в процентах относительную погрешность,
возникающую |
при |
замене |
приращения |
функции |
дифференциалом. |
|
|
|
|
Решение. а) Формула (6) для нашего случая примет вид |
||||
z(B) = z( A) + z′x ( A)dx + z′y ( A)dy . |
|
|
||
Найдем: |
z(1;3) = 4 1 3 +5 1− 2 3 =11 ; |
z′x = 4y +5 , |
||
z′x (1;3) =17 , z′y |
= 4x − 2 , |
z′y (1;3) = 2 , |
dx = x − x0 =1,04 −1 = 0,04 , |
dy = y − y0 = 2,97 −3 = −0,03 .
Отсюда приближенное значение функции в точке B z(B) =11 +17 0,04 + 2(−0,03) =11,62 .
б) Найдем точное значение функции в точке B z(B) = 4 1,04 2,97 +5 1,04 − 2 2,97 =11,6152 .
20