Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика. Функции нескольких переменных. практикум. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

б) Функция не определена в точках, в которых

знаменатель

обращается

нуль,

т.е.

x2 + y2 − z2 = 0 .

Следовательно,

поверхность

конуса

x2 + y2 = z2

является

поверхностью разрыва.

1.3. Частные производные первого порядка

10.

Пусть

(x , y

)

некоторая

произвольная

фиксированная

точка из

области

определения

функции

z = z(x, y) . Придавая переменной x

приращение

x ,

находим

приращение

функции

z = z(x, y)

в точке

(x0 , y0 ) по

переменной x :

z = (x0 +

x, y0 ) − z(x0 , y0 ) . Предел отношения

lim

называется частной

производной 1-го порядка от

x→0

функции

по переменной

x в точке (x0 , y0 )

и обозначается

∂z

или

z′x (x, y) . Аналогично

определяется

обозначается

∂x

: ∂z

частная производная от z

по y

= z′y (x, y) . Производная от

∂y

функции z = z(x, y) по x

находится, в предположении, что y

остается постоянной, по обычным правилам и формулам дифференцирования. Если функция зависит от нескольких

переменных	z = z(x , x	2	,..., x	n	) , то частная производная	∂z

	1					∂xi

находится в предположении, что все переменные (кроме						xi )

постоянные величины.

20. Функция z = z(x1, x2 ,..., xn ) называется однородной

функцией степени m , если для некоторого действительного числа λ ≠ 0 справедливо выражение

z(λx1 , λx2 ,..., λxn ) = λm z(x1 , x2 ,..., xn ) .

Теорема Эйлера. Если однородная степени m функция z = z(x1 , x2 ,..., xn ) имеет частные производные по каждой из

переменных xi , то справедливо равенство

mz(x , x

,..., x

) = x z'

(x , x

,..., x

) +

1 x

z' (x , x

,..., x

) +... + x

(x , x

,..., x

) .

3.1. Найти частные производные: а) z =

;

x2 + y2

−

б)

z = xy sin(2x +3y) ;

в)

z = 3 cos(2x − y) ;

г) z = 2 y

x ;

10 y−x

д)

z = ln tg

−

;

е) z = xye

; ж) z

arctg

Решение. а) Полагая у постоянной величиной, находим производную по x :


∂z	=	y(x2	+ y2 ) − xy2x	=	y(x2		− y2 )	.
∂x	=	(x2 + y2 )2		=	(x2	+ y2 )2		.
∂x		(x2 + y2 )2			(x2	+ y2 )2

Полагая x постоянной величиной, находим производную по y :

∂z

x(x2 + y2 ) − xy2y

x(x2 − y2 )

∂y

(x2 + y2 )2

б)

Полагая

постоянной

величиной, находим

∂z

= y(sin(2x +3y) + 2x cos(2x +3y)) .

Полагая x постоянной

∂x

∂z

величиной, находим

= x(sin(2x +3y) +3y cos(2x +3y)) .

∂y

∂z

в)

cos−

(2x − y) 2 =

∂x

33 cos2 (2x − y)

∂z

cos−

(2x − y)(−1) = −

∂y

cos2 (2x − y)

∂z

−

x + y

−

= 2

ln 2 2

г)

ln 2

∂x

∂z

−

+ y

−

2 y

ln 2 2 y

x .

ln 2−

−

= −

∂y

д)

∂z

∂x

−

cos

3sin

∂z

−

∂y

−

cos

−

sin

−

∂z

е)

= y(e10 y−x + xe10 y−x (−1)) = ye10 y−x (1− x) ,

∂z

∂x

10 y−x

(1+10 y) .

= x(e

+ ye

) 10 = xe

∂y

ж)

∂z = −

∂x

arctg

(x2 + y2 ) arctg

∂z

= −

2 .

∂y

−

arctg

(x2

+ y2 ) arctg

3.2. Найти частные производные: а) u = x3y2 +

;

б) u = t − x2 − y2 − z2 .

Решение. а) Полагая	y , z	постоянными величинами,
находим производную по	x :	∂u	= 3x2 y2 . Полагая x , z
		∂x

постоянными величинами, находим ∂∂uy = 2x3 y + 1z .

Полагая x , y постоянными, имеем						∂u	= −	y	.
Полагая x , y постоянными, имеем						∂z	= −	2	.
						∂z		z
б)	∂u	=	1	(−2x) = −			x			,
	∂x		2 t − x2 − y2 − z2			t − x2 − y2 − z2
∂u	=	2	1	(−2 y) = −			y			,
∂y		2	t − x2 − y2 − z2		t − x2 − y2 − z2
∂u	=	2	1	(−2z) = −	t	− x2	z			,
∂z		2	t − x2 − y2 − z2		t	− x2	− y2 − z2
∂u	=	2	1	.
∂t		2	t − x2 − y2 − z2
3.3.			Найти:	а) fx'	(1;2) ,		f y' (1;2) ,			если
f (x, y) = x3 y − xy3 +1; б) ux' (1;0;2) ,					u'y (1;0;2) ; uz' (1;0;2) , если

u = ln(x2 + y2 + z2 ) .

Решение. а) Находим частные производные и вычисляем их значения в точке (1;2)

fx' = 3x2 y − y3 , f y' = x3 − 3xy2 , fx' (1;2) = −2 , fy' (1; 2) = −11.

б) Находим частные производные и вычисляем их значения в точке (1;0;2)

u'	=	2x	, u'	=	2 y	, u'	=	2z	,
		x2 + y2 + z2			x2 + y2 + z2			x2 + y2 + z2
x			y			z

ux' (1;0;2) = 52 , u'y = 0 , uz' = 54 .

3.4. Показать,

что:

а)

∂z

− xy

∂z

+ y2

= 0 ,

если

∂x

∂y

z =

+ arcsin( xy) ; б) x

∂z

+ y

∂z

= z , если z = x ln

∂x

∂y

Решение. а) Находим частные производные

∂z

= −

∂z

2 y

∂x

3x3

1− x2 y2

∂y

1 − x2 y2

Поставляя их в уравнение, получим

− y2 x2

x2 y

− 2xy2

−

x2 y

+ y2 = −y2 + y2 = 0 .

3x2

− x2 y2

б) Находим частные производные

∂z = ln

−1

∂z

∂x

∂y

Подставляя

производные

уравнение,

будем

иметь

x ln

− x + y

= x ln

= z .

3.5. Проверить теорему Эйлера для функций:

а)

z = x3 − xy2 + y3 ;

б)

z = arctg

Решение. а) Для функции двух переменных теорема

Эйлера

имеет

вид

xzx'

+ yz'y = mz .

Находим

частные

производные

∂z

= 3x2 − y2 ,

∂z

= −2xy + 3y2 . Таким образом,

∂x

∂y

x(3x2 − y2 ) + y(−2xy +3y2 ) = 3(3 −xy2 + y3 ) = 3z .

б)

Находим частные

производные

∂z

∂x

+ y2

∂z

= −

Таким

образом,

−

= 0 ,

∂y

x2 + y2

2 + y2

поскольку заданная функция однородная степени m = 0 .

1.4. Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям


10. Пусть изменение функции			z = f (x, y)	вызвано
изменением только одной переменной,			например, x . Тогда
приращение	x z = f (x +	x, y) − f (x, y)	называется	частным
приращением	функции	по x . Частным дифференциалом
функции z	по x называется главная часть частного
приращения,	линейная	относительно	приращения		x .

Частный дифференциал от функции z по x равен произведению частной производной по x на дифференциал независимой переменной, т.е.

dx z = ∂∂xz ∂x .

Аналогично,

d y z = ∂∂yz ∂y .

Если функция многих переменных u = f (x1, x2 ,..., xn ) , то частные дифференциалы будут

z =

∂z

∂x ,

z =

∂z

∂x

, … , d

z =

∂z

∂x

∂x2

∂xn

∂x1

x ,

20. Если независимые переменные получают приращения

y , то

полное

приращение

функции

z = f (x, y)

определяется выражением

z = f (x + x, y + y) − f (x, y) .

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения, линейная относительно приращений x , y .

Полный дифференциал от функции z равен сумме ее частных дифференциалов, т.е.

dz = ∂∂xz ∂x + ∂∂yz ∂y .

В случае функции многих переменных u = f (x1, x2 ,..., xn ) полный дифференциал определяется по формуле

du =

∂u

∂x

∂u

∂x

+... +

∂u

∂x

30. При достаточно малых приращениях независимый переменных, полное приращение функции приблизительно равно ее полному дифференциалу u ≈ du . Это равенство используется для приближенного вычисления значения функции в точке M (x, y,..., z) , если проще найти значения

функции и ее частных производных в достаточно близкой точке M0 (x0 , y0 ,..., z0 )

u(M ) ≈ u(M 0 ) + u′x (M 0 )dx + u′y (M 0 )dy +... + u′z (M 0 )dz ,

где x − x0

= dx , y − y0 = dy , … ,

z − z0

= dz .

4.1. Найти частные дифференциалы: а) z = 3

x2 + y ;

б) u = ln(x2 + y2 −2z2 .

Решение. а) Находим частные производные

∂z

;

∂z

∂x

33 (x2 + y)2

∂y

33 (x2 + y)2

Умножая

на

соответствующие

дифференциалы

аргументов, получим

dx z =

2xdx

;

d y z =

+ y)2

33 (x2

33 (x2 + y)2

б) Функция трех переменных. Находим частные

производные

∂u

2 y

∂x

+ y2 − 2z2

∂y

+ y2 − 2z2

∂u

= −

∂z

+ y2 − 2z2

Отсюда, частные дифференциалы

dxu ==

2xdx

, d yu ==

2 ydy

x2 + y2 − 2z2

4zdz

dzu == −

x2 + y2 − 2z2

4.2. Найти полный дифференциал функции:

а)

z = arctg

x − 4

;

б) u = xyz .

1 + xy

Решение. а) Находим частные производные

∂z

1 + xy − (x − y) y

1 + y

;

∂x

x − 4

(1 + xy)2

1 + x2 − xy + y2

1 +

1 + xy

∂z

−1 − xy − (x − y) y

= −

1 + y2

;

∂y

x − 4

(1 + xy)2

1 + x2

− xy + y2

1 +

1 + xy

Полный дифференциал находим по формуле (4)

dz =

(1+ y2 )dx −(1+ x2 )dy

+ x2 − xy + y2

б) Находим частные производные

∂u

= y z x yz −1 ,

∂u = x yz ln x zy z−1 ,

∂u

= x yz z

ln xyz ln y .

∂x

∂y

∂z

Отсюда, полный дифференциал

∂u = y

yz −1

z−1

z ln xdy + x

ln x ln ydz =

dx + x

= y

yz dx

z ln x

dy +ln x ln ydz

4.3. При помощи полного дифференциала вычислить

приближенно: а) ln(4

0,97 +3 1,04 −1) ; б)

(1,02)4 0,98)3 (2,03)2 .

Решение. а)	Рассмотрим функцию z = ln(4 x +3 y −1) .
Требуется найти	значение функции в точке M (0,97;1,04) .

Однако проще найти значение функции в вспомогательной

точке M0 (1;1) .

Найдем

сначала

дифференциалы

аргументов

dx = x − x0 = 0,97 −1 = −0,03,

dy = y − y0 =1,04 −1 = 0,04

воспользуемся формулой (6)

33 y2

z(M ) = z(M0 ) +

44 x3

dx +

4 x

dy ,

4 x +3 y −1

+3 y −1

ln(4 0,97 + 3 1,04 −1) = ln(4 1 + 3 1 −1) +

44 1

(−0,03) +

4 1 + 3 1 −1

0,03

33 1

4 1 + 3 1 −1

0,04

= − 4

3 = 0,326 .

б) Требуется найти значение функции u = x4 y3 z2 в точке

M ((1,02;0,98;2,03) . Пусть

M0 ((1;1;2) будет вспомогательной

точкой. Найдем дифференциалы аргументов dx = x − x0 = 0,02 ;

dy = y − y0 = −0,02 ;

dz = z − z0 =

0,03

воспользуемся

формулой (6)

u(M ) = u(M

) +

∂u

dx + ∂u

dy +

∂u

dz =

∂x

∂y

∂z

+141322 +4 131322 0,02 +3 1412

22 (−0,02) +2 14132 0,03 =

= 4 + 0,16 −0,24 + 0,12 = 4,04 .

4.4. Стороны прямоугольного параллелепипеда равны; a = 2 см, b = 3 см, c = 6 см. Найти приближенно величину

изменения длины диагонали параллелепипеда, если a увеличивается на 3 мм, b - на 1 мм, а c уменьшается на 2 мм.

Решение. Диагональ параллелепипеда равна

l = a2 +b2 +c2 = 7 . Изменение длины заменим приближенно дифференциалом

	l = dl =			2ada	2bdb		2cdc
	l = dl =			a2 +b2 + c2 +	a2 +b2 + c2	+	a2 +b2 + c2 =
=			2	(ada + bdb + cdc) =
=		a 2	+ b2	(ada + bdb + cdc) =
		a 2	+ b2	+ c 2
=			2	(2 0,3 + 3 0,1 + 6(−2)) =
=		a 2	+ b2	(2 0,3 + 3 0,1 + 6(−2)) =
	2	a 2	+ b2	+ c 2
=	2	(−0,3) = −0,0857 , т.е. длина уменьшилась на 0,857 мм.
	7
4.5. Дана функция z = 4xy +5x − 2 y						и две точки A(1;3) ,

B(1,04;2,97) .

Требуется: а) вычислить приближенное значение функции в точке B ;

б) вычислить точное значение функции в точке B и оценить в процентах относительную погрешность,

возникающую	при	замене	приращения	функции
дифференциалом.
Решение. а) Формула (6) для нашего случая примет вид
z(B) = z( A) + z′x ( A)dx + z′y ( A)dy .
Найдем:	z(1;3) = 4 1 3 +5 1− 2 3 =11 ;			z′x = 4y +5 ,
z′x (1;3) =17 , z′y	= 4x − 2 ,	z′y (1;3) = 2 ,	dx = x − x0 =1,04 −1 = 0,04 ,

dy = y − y0 = 2,97 −3 = −0,03 .

Отсюда приближенное значение функции в точке B z(B) =11 +17 0,04 + 2(−0,03) =11,62 .

б) Найдем точное значение функции в точке B z(B) = 4 1,04 2,97 +5 1,04 − 2 2,97 =11,6152 .

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика