Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1623

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

∂2u ∂2u ∂2u ∂2υ ∂2υ ∂2υ

Найти ∂x2 , ∂x∂y , ∂y2 , ∂x2 , ∂x∂y , ∂y2 .

Решение. Найдем сначала первые частные производные. Полагая F1(u,υ, x, y) = xu + yυ и F2 (u,υ, x, y) =u +υ + x + y −1,

находим систему (3) для определения ∂u , ∂υ

∂x ∂x

x ∂∂ux + y ∂∂υx +u = 0,∂u + ∂υ +1 = 0.∂x ∂x

Решая эту систему относительно производных, получим:

∂∂υx = ux −− xy , ∂∂ux = xy −−uy .

Аналогично

∂u

+ y

∂υ

υ = 0,

∂y

∂u

∂υ

= 0.

∂x

откуда:

∂u

y −υ

∂υ

υ − x

∂y

x − y

∂x

x − y

Повторно дифференцируя и учитывая, что функции u и υ зависят от переменных x и y , будем иметь:

∂

−

∂u (x − y) −( y −u)

2(u − y)

∂

y −u

∂x

(x − y)

∂x x − y

− ∂u

∂2u

∂

y −u

(x − y) +( y −u)

x − y +υ

−u

∂y

(x − y)

∂x∂y ∂y x − y

∂υ

∂2u

∂

y −υ

1−

(x − y) +( y

−υ)

2(x −υ)

∂y

(x − y)

x − y

∂u

− x)

−1 (x − y) −(u

2( y −u)

∂ υ

∂

∂x

u − x

∂x2

(x − y)2

∂x x − y

∂υ

−1 (x − y) −(υ

− x)

y − x +u −υ

∂ υ

∂

∂x

υ − x

∂x

(x − y)2

∂x∂y

x − y

∂υ

(x − y) +(υ − x)

∂ υ

∂

∂y

υ − x

= 2(υ − x) .

∂y

(x − y)

x − y

7.9.

Функции u

и υ

независимых переменных

x и

заданы неявно системой уравнений: u +υ = x , uυ = y . Найти

d 2u , d 2υ .

Решение. Найдем сначала du и dυ . Для этого продифференцируем заданные уравнения

du +dυ = dx,υdu +udυ = dy.

Решая эту систему относительно du и dυ , получим

		du =	udx −dy	, dυ =	dy −υdx		.
			u −υ		u −υ
	Дифференцируем повторно
		d 2u = dudx(u −υ) −(udx − dy)(du −dυ)						=
			(u −υ)2
	=	(udx − dy)dx(u −υ) −(udx − dy − dy −υdx)(udx − dy)							=
				(u −υ)3
=	(udx −υdx −udx + 2dy −υdx)(udx − dy)					= 2(dy −υdx)(udx − dy)				=
		(u −υ)3						(u −υ)3

= 2(udxdy −(dy)2 −uυ(dx)2 +υdxdy) =

(u −υ)3

= − 2(−uυ(dx)2 −(u +υ)2 dxdy +(dx)2 ) . (u −υ)3

d 2υ = − dυdx(u −υ) −(dy −υdx)(du − dυ) =

(u −υ)2

= −(dy −υdx)(u −υ)dx −(dy −υdx)(udx − 2dy +υdx) =

(u −υ)3

= (−udx +υdx − udx + 2dy −υdx)(dy −υdx) =

(u −υ)3

= 2(dy − udx)(dy −υdx) =

(u −υ)3

= 2((dy)2 −udxdy −υdxdy +uυ(dx)2 ) =

(u −υ)3

= 2(uυ(dx)2 −(u +υ)2 dxdy +(dy)2 ) = −d 2u

(u −υ)3

7.10. Найти ∂∂xz , ∂∂yz , если x = uυ , y = u +υ , z = u −υ .

Решение. Функция задана параметрически. Дифференцируя, находим систему из трех уравнений, связывающую дифференциалы всех переменных

dx =υdu +udυ;dy = du + dυ;

dz = du −dυ.

Из первых двух уравнений находим дифференциалы du

и dυ

du =	dx −udy	;	dυ =	dx −υdy	.
	υ −u			u −υ

Подставляя найденные выражения в третье уравнение и сравнивая с полным дифференциалом dz , будем иметь

dz =

dx −udy

−

dx −υdy

= −

dx +

u +υ

dy ;

υ −u

u −υ

= −

;

= −u +υ .

u −

u −υ

7.11. Найти dz , если x = eu sinυ , y = eu cosυ, z = uυ .

Решение. Функция задана параметрически. Дифференцируя все три выражения, находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных

dx = eu sinυdu +eu cosυdυ;dy = eu cosυdu −eu sinυdυ;

dz =υdu +udυ.

Из первых двух уравнений находим du и dυ :

du =	sinυdx + cosυdy	,	dυ =	cosυdx −sinυdy	.
	eu
				eu

Подставляя du , dυ в третье уравнение, получим dz = eυu (sinυdx + cosυdy) + euu (cosυdx −sinυdy) =

=e−u ((υsinυ +u cosυ)dx +(υcosυ −usinυ)dy) .

1.8.Замена переменных в дифференциальных выражениях

Внекоторых дифференциальных выражениях производные по одним переменным целесообразно выразить через производные по другим переменным. Для этого используются правила дифференцирования сложных функций.

8.1. Преобразовать дифференциальное уравнение

(1 − x2 ) d 2 y − x dy + y = 0 , полагая x = sin t . dx2 dx

Решение. Выразим производные от y по x через производные от y по t :

;

cost

d dy

d 2 y

d dy

2 cos t +

sin t

dt dx

dx2

cos2 t cos t

dx dx

d 2 y

sin t

cos2 t

dt2

cos3 t

Подставляя полученные производные в данное

уравнение и заменяя x на sin t , будем иметь

d 2 y

sin t

sin t dy

(1−sin

−

+ y = 0 ;

cos

cos t

cos

d 2 y

+ y = 0 .

dt2

dy d

8.2. Преобразовать уравнение

= 3

, приняв

dx dx

у за аргумент, а x за функцию.

Решение. Выразим производные от y по x через производные от x по y

d 2 y

;

dx2

dx dx

d 2 x

= −

dy2


d		1			=
			dy
dy		dx		dx

	dy

d 3 y

dx3

	d	d	2	y		d
=					= −
				2
		dx				dy
	dx

d 2 x
dy2
		dy

	3		dx
dx
dy

	d	3	x dx				2	x	2
	d		x dx			d		x
	dy		3	dy	−3			2
= −	dy			dy		dy
= −						4
						4
				dx

				dy

dx1 . dy

Подставляя эти производные в данное уравнение, будем иметь

x dx

−3

x dx

−

= 3

= 0 .

dy3

Так как обратная производная существует и

≠ 0 , то

уравнение окончательно примет вид

d 3 x

= 0 .

dy3

8.3. Преобразовать к полярным координатам уравнение

x + y

x − y

Решение. Полярные координаты связаны с декартовыми

формулами:

x = ρ cos ϕ , y = ρsinϕ .

Рассматривая

как

функцию

ϕ ,

дифференциалы dx ,

примут

вид:

dx = cosϕdρ − ρsinϕdϕ ,

dy = sinϕdρ + ρ cosϕdϕ , откуда

sinϕdρ + ρ cosϕdϕ

sinϕ

dρ

+ ρ cosϕ

dϕ

cosϕdρ − ρsinϕdϕ

dρ

cosϕ

− ρsinϕ

dϕ

Подставляя в данное уравнении

x ,

, выраженные

через новые переменные ρ , ϕ , получим

sinϕ dρ + ρ cosϕ dϕ =

cosϕ ddϕρ − ρsinϕ

−dρ cos2 ϕ +sin2 ϕ dϕ cosϕ −sinϕ

ρcosϕ + ρsinϕ ,

ρcosϕ − ρsinϕ

=−ρ sin2 ϕ +cos2 ϕ . cosϕ −sinϕ

Таким образом,	dρ	= ρ .
Таким образом,	dϕ	= ρ .
	dϕ
8.4. Преобразовать		уравнение	x	∂z	+ y	∂z	− z = 0 ,
8.4. Преобразовать		уравнение	x	∂x	+ y	∂y	− z = 0 ,
				∂x		∂y

перейдя к новым независимым переменным u,υ ,

если u = x ,

υ =

z по x , y

Решение. Выразим частные производные от

через частные производные от

по

u,υ . Воспользуемся

формулами дифференцирования сложных функций

∂z =

∂z

∂u +

∂z ∂υ

∂z

∂u

∂z

∂υ .

∂υ ∂x

∂x

∂u ∂x

∂y

∂u ∂y

∂υ ∂y

Так как ∂u

, ∂u

= 0 ,

∂υ

= −

∂υ

, то

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z =

∂z

−

y ∂z

∂z

x2 ∂υ

∂x

∂u

∂y x ∂υ

Подставляя найденные производные в данное уравнение и выражая x, y через u,υ , будем иметь

u	∂z	−υ	∂z	+υ	∂z	− z = 0 или	u	∂z	− z = 0 .
	∂u		∂υ		∂υ			∂u

8.5. Преобразовать уравнение	∂2 z	−2	∂2 z	+	∂2 z	= 0	,
	∂x2		∂x∂y		∂y2

приняв за новые независимые переменные u = x + y , υ = xy , а

за новую функцию w = xz .

Решение. Выразим частные производные от z по x, y через частные производные от w по u,υ . Для этого найдем дифференциалы данных выражений:

du = dx + dy , dυ =

xdy − ydx

dw =

xdz − zdx

С другой стороны дифференциал

как от функции

двух переменных u,υ

равен dw =

∂w

du +

∂w

dυ .

Отсюда

∂u

∂υ

∂w du +

∂w dυ =

−

∂u

∂υ

или

∂w

(dx + dy) +

−

∂u

∂υ

Разрешим это выражение относительно dz

∂w

y ∂w

∂w

dz =

−

dx +

dy .

∂u

x2 ∂υ

∂u

∂υ

Таким образом,

∂z

= x

∂w du −υ

∂w

+ w ,

∂z

= x

∂w du

∂w .

∂x

∂υ

∂y

∂u

∂υ

8.6. Преобразовать

уравнение

∂2u

= 0

∂x2

∂y2

∂z2

перейдя к сферическим координатам.

Решение. Сферические координаты связаны с декартовыми формулами x = ρsinθ cosϕ , y = ρsinθ sinϕ ,

z = ρsinθ .

Преобразование можно провести в два приема, полагая

сначала x = ρcosθ ,

y = r sinθ

(считая

неизменным), затем

z = ρcosθ , r = ρsinθ (считая ϕ неизменной).

Преобразуем

сначала

выражение

∂

∂2u

∂x2

∂y2

Воспользуемся

формулами

дифференцирования

сложных

функций:

∂u

∂u ∂x

∂u ∂y

∂u

∂u ∂x

∂u

∂y

∂r

∂x ∂r

∂y ∂r

∂ϕ

∂x ∂ϕ

∂y ∂ϕ

тогда

∂u

= cosϕ

∂u

+sinϕ

∂u

= −r sinϕ

∂u

+ r cosϕ

∂u .

∂r

∂x

∂y

∂ϕ

∂x

∂y

Решая эту систему относительно ∂u

∂u

, получим

∂y

∂x

∂u

= cosϕ

∂u

−

sin ϕ

∂u

= sin ϕ

∂u

cosϕ

∂u

∂x

∂r

∂y

∂r

r ∂ϕ

Вторые частные производные равны

∂2u

∂ ∂u

∂

∂u

sinϕ

∂u

= cosϕ

cosϕ

−

∂x

∂x ∂x

∂r

r ∂ϕ

∂r

sin ϕ

∂

∂u

sin ϕ

∂u

−

cosϕ

−

∂ϕ

∂r

∂ϕ

= cos

∂

2 u

−

2 sin ϕ cosϕ ∂2 u

∂r 2

∂r∂ϕ

sin2 ϕ

∂2u

2sinϕcosϕ ∂u

sin2

ϕ ∂u

∂ϕ2

∂ϕ

∂r

∂2u

∂

∂u

∂

∂u

cosϕ ∂u

= sinϕ

cosϕ

∂y

∂r

∂y

r ∂ϕ

+	cosϕ	∂		∂u	+	cosϕ ∂u	=
	r		sinϕ	∂r

		∂ϕ				r ∂ϕ

= sin

∂

−

2sinϕcosϕ

∂2u

∂r2

∂r∂ϕ

cos2

ϕ ∂2u

−

2sinϕcosϕ

∂u

cos2

∂u

∂ϕ2

∂ϕ

∂r

Отсюда

∂2u

1 ∂2u

1 ∂u

∂x2

∂y2

∂z

∂z2

∂r2

r2 ∂ϕ2

r ∂r

Учитывая,

что z = ρcosθ

и r = ρsinθ , первые два члена

в правой части последнего выражения могут быть записаны аналогично

∂2u

1 ∂2u

1 ∂u

∂z2

∂r2

∂ρ2

ρ2 ∂θ2

ρ ∂ρ

Производная ∂∂ur , аналогично (*), примет вид

∂∂ur = sinθ ∂∂ρu + cosρθ ∂∂θu .

Таким образом, окончательно получим

∂2 u

∂x2

∂y 2

∂z

∂ρ2

ρ2

∂θ 2

∂2 u

2 ∂u

ctgθ

∂u

ρ sin 2 θ

∂ϕ2

ρ ∂ρ

ρ2

∂θ

1.9. Экстремум функции

10. Экстремумом функции называется максимум или минимум функции. Функция двух независимых переменных z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) имеет максимум (минимум),

если значение функции в этой точке больше (меньше ее

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf
#
30.04.20221.56 Mб3Учебное пособие 1628.pdf