Учебное пособие 1623

значений в любой точке M (x, y) , расположенной в

Точки, в которых выполняются условия (1), называются стационарными точками функции, однако не в каждой стационарной точке функция имеет экстремум.

Достаточные условия экстремуму. Пусть M0 (x0 , y0 ) - стационарная точка функции z = f (x, y) , причем функция дважды дифференцируема и имеет непрерывные вторые чаcтные производные в точке M0 . Обозначим

51

окрестности точки M0 , т.е. f (M0 ) > f (M ) ( f (M0 ) < f (M )) , для всех M , удовлетворяющих условию M0M <ε , где ε > 0 -

достаточно малое число.

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция z = z(xi ) имеет экстремум в точке

M 0 (xio ) , то в этой точке ее частные производные равны нулю

∂2 f (xo ) =

i0 (i =1,2,..., n) .

∂xш

Точки, в которых первые частные производные равны нулю, называются стационарными, однако не в каждой стационарной точке функция имеет экстремум.

Достаточные условия экстремума. Пусть M0 (xio ) -

стационарная точка функции z = z(xi ) , причем эта функция дважды дифференцируема и имеет непрерывные вторые

одновременно, то для выяснения существования экстремума функции требуются дополнительные исследования.

(imk =1,2,..., n) , то достаточные условия экстремума могут быть определены знаком квадратичной формы от переменных

52

то в стационарной точке (x1o , x2o ,..., xno ) будет минимум; если

отрицательной, то максимум. Если квадратичная форма может принимать значения противоположных знаков, то в стационарной точке (x1o , x2o ,..., xno ) экстремума нет. При

равенстве квадратичной формы нулю требуются дополнительные исследования на экстремум.

9.1. Найти экстремум функции:

а) z = x2 − xy + y2 +9x −6y +20 ; б) z = 3xy − 4x −8y ;

в) z = x3 + y3 − 6x + 2 y3 ; г) z =1+(x −1)2 (y +1)4 ;

53

точка (−4,1) будет точкой минимума функции z . Значение

функции в этой точке будет zmin =16 +4 +1−36 −6 +20 = −1. б) Находим частные производные первого порядка:

находим критические точки, которые лежат внутри области определения функции: 3y − 4 = 0 , 3x −8 = 0 , следовательно,

x0 = 83 , y0 = 43 .

Воспользуемся теперь достаточным признаком. Для

половину плоскости лежащую выше оси Ox .Поскольку точки M1 и M2 расположены не внутри области определения функции, а на ее границе y = 0 , то они не являются

критическими.

Следовательно, исследуемая функция, как не имеющая критических точек, экстремума не имеет, т.к. граничные точки не могут быть точками экстремума.

54

существуют и точка M0 является критической, поскольку

принадлежит области определения функции.

Исследуем знак приращения функции в точках достаточно близких к точке M0 .

55

отрицательный знак при любых отличных от нуля значениях x, y . Таким образом, точка M0 есть точка максимума zmax =1.

9.2. Найти экстремальные значения:

а) u = xyz(4 − x − y − z) ;

б) 5x2 +5y2 +5z2 −2xy −2xz −2yz −72 = 0 .

Решение. а) Функция трех переменных. Находим частные производные:

u =u(M ) −u(M1) = xyz(4 − x − y − z)

Так как знак приращения функции в точках M , достаточно близких к точке M1(0;0;0) , может быть как положительным, так и отрицательным, то экстремума функции в точке M1 нет.

56

Исследуем функцию на экстремум в стационарной точке M2 (1;1;1) . Для этого выясним знак определителя (4) в точке

M2

Поскольку квадратичная форма отрицательна, то в точке

57

минимум.

9.3. Найти размеры прямоугольного бассейна, данного объема V так, чтобы на облицовку его поверхности потребовалось наименьшее количество плитки.

Решение. Пусть x - длина, y - ширина, z - высота бассейна. Тогда его объем равен V = xyz . Полная поверхность бассейна S = xy + 2(x + y)z . Исключая отсюда z , будем иметь

Исследуем функцию S(x, y) на экстремум. Найдем

частные производные

∂∂Sx = y −2 Vx2 , ∂∂Sy = x −2 Vy2

и приравняем их к нулю

x2 y = 2V ,

y2 x = 2V.

Из решения системы имеем x0 = y0 = 0 и x = y = 3 2V . Поскольку нулевой вариант нас не устраивает, то подставляя

x и y в уравнение связи V = xyz , находим высоту z = 12 3 2V .

58

1.10. Наибольшее и наименьшее значения функций

Пусть функция z = f (M ) определена и непрерывна в

некоторой ограниченной и замкнутой области D . Для отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции следует найти все экстремумы функции, лежащие внутри D , и экстремумы на границе. Наибольшее (наименьшее) из всех этих значений и будет искомым решением.

Если установлено, что наибольшее или наименьшее значение функции имеет место во внутренних точках, которые принадлежат D , найдем искомое наибольшее (наименьшее) значение функции.

Если область D не является ограниченной и замкнутой, то среди значений функции z = f (M ) в ней может и не быть

ни наибольшего, ни наименьшего значения. Наличие или отсутствие наибольшего (наименьшего) значения функции в этом случае определяется из рассмотрения конкретных условий задачи.

10.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: а) z = x2 − y2 − x + y; x = 0, x = 2, y = 0, y =1;

б) z = x2 +3y2 + x − y; x =1, y =1, x + y =1;

в) z = sin x +sin y −sin(x + y); x = 0, y = 0, x + y = 2π;

Решение. а) Заданная область представляет прямоугольник. Найдем стационарные точки функции z , лежащие внутри прямоугольника. Частные производные приравниваем к нулю:

zx' = 2x −1 = 0, z'y = −2 y +1 = 0. Отсюда x = 12 , y = 12 .

Следовательно, имеется одна критическая точка

M1 ; 1 .2 2

Значение функции в этой точке z(M ) = 0 . Исследование функции на экстремум в этой точке не обязательно.

59

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе заданной области.

При x = 0 имеем z = −y2 + y , т. е. задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения этой

Сравнивая вычисленные значения z во внутренней стационарной точке и на границе заданной области, находим, что наибольшее значение функция имеет в точке

60