В результате получено решение (табл. 4.11).

Оптимальное значение целевой функции – 240,000.

Таким образом, с учетом свободного члена уравнения регрессии, равного 168,22, получим оптимальное значение объема СМР:

Y = 240,000 – 168,22 = 71,78 млн р.

При этом оптимальные значения искомых переменных будут следующими:

X1= 4,98 тыс. чел. - численность работников предприятия;

X2= 22,11 млн р. - среднегодовая стоимость активной части основных производственных фондов;

X3 = 5,00 - количество подразделений предприятия.

Значение показателей, включаемых в ограничения задачи, будут таки-

ми:

выработка на одного работника предприятия:

Y1 = 4,14 × 4,98 +1,11× 22,11 + 0,41×5 − 32,94 =14,27,

себестоимость:

Y2 =134,41×4,98 + 22,91×22,11+16,43×5 −11,90 = 67,3 ,

фондоотдача:

Y3 = 2,03× 4,98 + 0,14 × 22,11+ 0,18×5 −10,98 = 3,13.

Таким образом, все ограничения задачи выполняются:

-выработка расчетная равна 14,27 р., что больше выработки плановой, равной 14,24;

-себестоимость расчетная составляет 67,3 млн р. и равна себестоимости плановой;

-фондоотдача расчетная, равная 3,13 р., больше фондоотдачи плановой, равной 3,12 р.

4.5. Модели стохастического программирования

Стохастическое программирование - это метод решения задач на оп-

тимум в условиях неопределенности, случайности. При решении экономических задач на максимум прибыли или минимум затрат показатели будущей прибыли или затрат, строго говоря, являются величинами случайными.

63

Предполагая, что эти величины детерминированные (наперед заданные), мы делаем известные допущения.

Определить будущие затраты или прибыль абсолютно точно невозможно, поэтому правильнее считать их равными некоторой предполагаемой величине, умноженной на коэффициент, являющийся случайной величиной. В детерминированной постановке этот коэффициент принимают равным единице.

Пример постановки задачи в детерминированной форме. Целевая функция:

n

∑C j ×X j → max(min), (4.45)

j=1

при ограничениях:

В качестве исходных данных необходимо задавать значения параметров cj, aij, bi, dj, Dj, входящих в ЭВМ. В практических расчетах принимают, что эти значения являются детерминированными, т.е. не зависят от случайных факторов.

Однако на самом деле только параметры dj и Dj, устанавливающие предельно допустимые значения xj, по смыслу будут детерминированными, остальные параметры сi, аij, bj- случайные величины. Например, если ресурсом являются машины, то его величина зависит от надежности работы машин, их технического состояния. Аналогичное утверждение относится к сj и аij. Таким образом, в общем случае cj ,aij и bi являются случайными величинами.

Задачу со случайными параметрами обычно называют задачей стохастического программирования (СТП). С точки зрения полноты описания случайной величины рассмотрим два варианта:

1.Известны только диапазоны, в которых могут изменяться случайные величины. Такие задачи называют задачами планирования при полной неопределенности.

2.Известны законы распределения случайных величин. Такие задачи называют задачами планирования в условиях риска.

При планировании в условиях полной неопределенности считаем, что на основе анализа предшествующих периодов и характера производства для каждого из случайных параметров удается установить диапазоны их возможного изменения:

Рассчитаем план для 2-х разных случаев.

Первый случай. Худшим (пессимистическим) будет такой план, в котором ресурсы принимаем наименьшими - min bi , а их расход наибольшим - max aij . Ожидаемая прибыль будет находиться на нижнем пределе min cj . Подставив эти значения, получим обычную задачу линейного программирования. Если она имеет решение, получим пессимистический план производства min xj (j=1,n), выполнение которого гарантировано, но этот план дает низкий экономический эффект.

Второй случай. Лучшим (оптимистическим) будет такой план, в котором ресурсы, имеющиеся на предприятии, принимаем наибольшими - max bi, прибыль с каждого изделия наибольшая - max ci.

Решив задачу при указанных значениях параметров, найдем оптимистический вариант плана, который дает наибольший экономический эффект, но выполнение которого не гарантировано.

Задача в пессимистической постановке может оказаться несовместной. Во втором случае, когда известны законы распределения случайных

величин, задачу СТП можно сформулировать следующим образом. Если в целевой функции задачи ЛП

n

F = ∑C j ×X j → max(min), (4.51)

j=1

где Сj - случайные величины, то обычно принимается максимизация (минимизация) математического ожидания целевой функции:

n

F = M[∑C j ×X j ] → max(min), (4.52)

j=1

что можно записать так:

n

F = ∑C j ×X j → max(min), (4.53)

j=1

где Сj - математическое ожидание случайной величины Cj.

Ограничения. В задаче СТП возможны следующие варианты ограниче-

ний:

n

P[∑aij × x j ≤ bi ] ≥ di , (4.54)

j=1

n

P[∑aij × x j ≤ bi ] ≤ di , (4.55)

j=1

n

P[∑aij ×x j ≥ bi ] ≥ di , (4.56)

j=1

n

P[∑aij ×x j ≥ bi ] ≤ di , (4.57)

j=1

65

где аij и bi - случайные величины, di - заданные уровни вероятности. Обозначим:

закону нормального распределения с известным математическим ожиданием и дисперсией.

Подставив (4) в неравенство (3), получим:

Случайная величина yi при независимых di и Qi будет иметь математическое ожидание и дисперсию:

n

Yi = bi − ∑aij ×xi , (4.63)

j=1

где Qi 2 - дисперсия случайной величины bi. Для первого варианта ограничения (4.54) можно записать:

где tdi - коэффициент, учитывающий закон распределения случайной величины, определяемый аналитически или таблично в зависимости от значения вероятности di;

δyi - среднеквадратическое отклонение случайной величины yi. Подставив в (4.63) значения Yi и δi , получим

После преобразований:

Если сравним выражение (4.67) с аналогичным ограничением в детерминированной постановке

n

∑Qij × x j ≤ bi , (4.68)

j=1

66

то увидим, что ограничение в стохастической постановке отличается двумя признаками:

1) выполнен переход от детерминированных значений к математическим ожиданиям случайных величин Qij и bi ;

2) появился дополнительный член:

который учитывает все вероятностные характеристики задачи:

-закон распределения с помощью tdi;

-заданный уровень вероятности di, дисперсию случайных величин Qij,

равную δij2 , и дисперсию случайных величин bi, равную Qi 2 . Таким образом, получим

n

∑Qij ×x j +ξi ≤ bi . (4.70)

j=1

Решение задач стохастического программирования в такой постановке возможно методами сепарабельного программирования, потому что ограничения задачи не являются линейными функциями.

Поскольку в ограничениях появился дополнительный положительный член ξ1 , это приведет к тому, что потребуется большая величина ресурса bi

по сравнению с детерминированной постановкой.

4.6. Модели оптимального планирования транспортного типа

Если требуется решение вопросов о выборе схемы прикрепления поставщиков и потребителей продукции, используются модели транспортного типа. Классическая транспортная задача заключается в планировании прикрепления поставщиков к потребителям продукции и формулируется следующим образом: однородный продукт, находящийся в m пунктах производства в количестве Р1,Р2,...Рm, требуется доставить в n пунктов потребления. Потребность продукции в этих пунктах равна S1,S2,...Sn.

Экономико-математическая модель задач транспортного типа: целевая функция - затраты на перевозку продукта должны быть мини-

мальными:

Ограничения:

1. Вся продукция от предприятий-поставщиков отправляется потребителям:

67

n

∑xij = Pi ; i =1,m. (4.72)

j=1

2.Все потребители обеспечены продукцией:

m

∑xij =Sj; j =1,n. (4.73)

j=1

3. Мощность поставщиков равна потребности в продукции (условие закрытости):

Модификации транспортной задачи позволяют учитывать особенности различных хозяйственных условий, а именно:

1. Запрет каких-либо перевозок.

Если между поставщиками и потребителями продукции не существует маршрутов (связей) или ими нельзя пользоваться, можно задать стоимость перевозки сij, намного превышающую стоимость остальных перевозок (на-

пример, 99999).

2. Ограниченность пропускных способностей коммуникаций.

Это условие учитывается при введении ограничений, лимитирующих наибольшее значение объема перевозки по конкретному маршруту:

где dij - пропускная способность транспортной линии.

3. Нарушение условия равенства производства и потребления (откры-

тая транспортная задача).

ничение на продукцию, отправляемую из пунктов производства, принимает вид

n

∑xij ≤ Pi ; i =1,m. (4.76)

j=1

Транспортная задача сводится к классическому виду путем введения фиктивного потребителя S n+1 с потребностью

В целевой функции должны учитываться затраты, связанные с хранением и с потерей излишней продукции в каждом пункте производства.

Если суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления, необходимо учитывать не только транспортные расходы, но и ущерб от недопоставок. В этой задаче

и ограничения на продукцию, поступающую в каждый пункт потребления, будут

Этот случай также сводится к классической транспортной задаче путем введения фиктивного поставщика с объемом производства:

4.7. Решение задач по планированию перевозок

Задача по планированию перевозок формулируется следующим образом: необходимо составить план транспортирования строительных материалов, минимизирующий затраты на перевозки и издержки, связанные с тем, что часть продукции остается у поставщиков.

Исходные данные представлены в табл. 4.12.

Таблица 4.12

Исходные данные для расчета

В соответствующих клетках таблицы задана стоимость перевозок 1 тонны груза от поставщиков к потребителям - сij, тыс.р. за 1 тонну. Потери, связанные с хранением продукции у поставщиков, составляют: 5, 7, и 4 тыс.р. за 1 тонну для базы N 1, 2 и 3 соответственно.

Решим задачу с использованием программы симплекс-метода. С учетом переменных, определяющих объем грузов, остающихся на базах, размерность задачи составляет 3×5 =15 переменных.

Симплекс-матрица представлена в табл. 4.13.

69

Таблица 4.13 Симплекс-матрица для решения транспортной задачи

Решение задачи в системе электронных таблиц EXCEL осуществляется с помощью пункта меню «Сервис», «Анализ данных». Необходимо представить симплекс-матрицу в виде формул.

Результаты решения представлены в табл. 4.14.

Оптимальное значение функции цели 6210,0.

По результатам расчета можно сделать следующие выводы. Поскольку x15=0, вся продукция базы N 3 направляется потребителям. На базе N 1 остается 50 тонн продукции, на базе N 2 - 120 тонн. С учетом того, что потери, связанные с хранением нереализованной продукции учтены в целевой функции, оптимальная стоимость перевозок составит

6210 - 50 × 5 - 120×7 = 5120 тыс.р.

70

4.9. Транспортные модели с промежуточными пунктами

В транспортных задачах рассматривают производственнотранспортные сети, в которых между пунктами производства, находящимися в истоках сети и пунктах потребления конечного продукта, имеются пункты промежуточной обработки продукции. Например, обогатительные фабрики, заводы ЖБИ, бетонно-растворные узлы и др. Такая же схема охватывает случаи, когда некоторые промежуточные пункты служат для перевалки грузов.

Рассмотрим решение транспортной задачи с промежуточными пунктами на примере проектирования оптимальной сети внутрихозяйственных дорог. Суть задачи заключается в определении такого планирования дорожной сети в хозяйстве, при котором все пункты-производители продукции (склады, базы, фермы, участки) связаны с потребителями продукции как внутри хозяйства, так и вне его. В случае связей вне хозяйства планируют выход на дорожную сеть общего пользования или на аналогичную сеть соседних хозяйств.

Экономико-математическая модель оптимизации сети внутрихозяйственных дорог включает все наиболее важные элементы ее развития: затраты на строительство, реконструкцию, ремонт и содержание дорог, транспортные расходы, потери от дорожно-транспортных происшествий, от бездорожья, от изъятия земель. Целевой функцией задачи является минимизация суммарных приведенных затрат:

где C kpij - удельные на 1 тыс. тонн грузов приведенные затраты на строительство дороги на Р участке, связывающем i поставщика с j потребителем; Crpi - удельные на 1 тыс. тонн грузов приведенные затраты на ремонт и содержание дороги на Р участке, связывающем i поставщика с j потребителем; Ctpij - удельные на 1 тыс. тонн грузов приведенные затраты на перевозку грузов на Р участке, связывающем i поставщика с j потребителем;

Cпpij - удельные на 1 тыс. тонн грузов потери в сфере сельского хозяйства, принятые со знаком "минус", поскольку капитальные вложения в строительство дорог снижают эти потери;

Xpij - объем грузов, перевозимых по участку Р, связывающему i поставщика с j потребителем, тыс. тонн.

Ограничения:

1. Все грузы поставщиков вывезены:

p=1j=1

где Аij - объем грузов у i поставщика.

72

2. Все потребители обеспечены грузами:

где Вij - объем грузов у j потребителя.

3. Потребители, не являющиеся конечными пунктами сети, обеспечивают транзитные перевозки:

где Вjz- объем грузов, получаемых пунктом jz.

Здесь первое слагаемое определяет сумму грузов, прибывших в пункт jz, а второе слагаемое определяет сумму грузов, отправляемых из пункта jz.

4. В транзитных точках обеспечен баланс между прибытием и отправлением грузов:

Число таких ограничений равно числу транзитных пунктов сети.

5. По некоторым участкам сети возможно задание фиксированной величины перевозок:

Из анализа целевой функции видно, что суммарные приведенные затраты слагаются из единовременных и текущих затрат по всем участкам сети. В пределах одной категории дороги текущие затраты (транспортные и эксплуатационные) - на перевозку грузов, ремонт и содержание дорог, различные потери - можно считать пропорциональными объемам перевозимых грузов, а затраты единовременные - на строительство и реконструкцию дорог - не зависящими от объемов перевозимых грузов. Поэтому единовременные затраты можно считать дискретными, зависящими лишь от категории строящейся дороги. Их величина определяется по аналогам или по нормативам удельных капитальных вложений с учетом рельефа местности, числа искусственных сооружений, стоимости занимаемых земель и т.д.

Задачи такого класса, в которых затраты непропорционально зависят от объемов перевозимых грузов, называют неоднородными транспортными задачами. Для решения таких задач предложен метод, заключающийся в сведении их к классической транспортной задаче заменой непропорциональных затрат на пропорциональные и решении задач в несколько итераций. При этом на первой итерации затраты на строительство относят ко всему возможному объему перевозок на каждом участке. В результате решения задачи получают оптимальное распределение перевозимых грузов по участкам

73

сети. На следующей итерации при определении пропорциональных (удельных) затрат строительные затраты относят к объему перевозок на участке, который получен в результате решения на предшествующей итерации. Если величина перевозок на участке равна нулю, то за величину удельных затрат принимают заведомо большое число. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока решения на двух итерациях будут достаточно близкими или равными друг другу:

где Fi+1, Fi - значения целевой функции на i+1 и i итерации; ξ- точность решения.

Исходя из структуры целевой функции и ограничений полученную экономико-математическую модель можно определить как неоднородную транспортную задачу с промежуточными пунктами, решение которой осуществляют итерационным путем по стандартной программе симплексметода.

Построение оптимальной сети дорог рассмотрим на примере совхоза "Пугачевский" Воронежской области. Совхоз имеет 8 населенных пунктов, связь с р.п. Анна и соседним совхозом им. Ленина. Для рассмотрения различных вариантов построения дорожной сети было предусмотрено три промежуточных (транзитных) пункта.

Всоответствии с корреспонденцией перспективных перевозок определены связи типа поставщик-потребитель и объемы перевозок между ними. Исходя из этого определены 4 пункта-поставщика и 7 пунктов-потребителей. При этом часть пунктов являются одновременно и поставщиками, и потребителями.

Вдорожную сеть хозяйства было включено 16 участков, связывающих всех поставщиков и потребителей. Решением задачи на первой итерации в оптимальную сеть включено 13 участков, при этом протяжение дорог I-с категории составило 34,5 км, II-с категории – 1,0 км. На второй итерации протяжение дорог I-с составило 29,5 км, II-с категории – 6,0 км. Решение задачи на третьей итерации совпало с решением, полученным на второй итерации.

Таким образом, в результате 3-кратного решения общей задачи линейного программирования симплекс-методом удалось найти оптимальное начертание сети внутрихозяйственных дорог с заданными типами дорожных покрытий. Приведенные затраты на строительство, эксплуатацию дорожной сети и на перевозку грузов по оптимальному варианту составляют 425 тыс. р. (в ценах на 1.01.1991 г.), что на 5,5% ниже, чем по варианту, запроектированному вручную.

74

4.10. Модели параметрического программирования

Во многих задачах математического программирования исходные данные зависят от некоторого параметра. Такие задачи называются задачами параметрического программирования.

Коэффициенты целевой функции или правые части ограничений или коэффициенты системы ограничений предполагаются не постоянными величинами, а функциями, зависящими от некоторых товаров. Как правило, эта зависимость носит линейный характер.

Параметрическое программирование позволяет приблизить к реальности условия задач линейного программирования. Например, если коэффициенты целевой функции представляют собой цены некоторых продуктов, то можно предположить, что эти цены не постоянны, а являются функциями параметра времени.

С помощью параметрического программирования может быть выполнен анализ устойчивости решений оптимизационных задач. Цель такого анализа состоит в определении интервала значений того или иного параметра, в пределах которого решение остается оптимальным. В общем случае задача параметрического программирования формулируется следующим образом: для каждого значения параметра t из некоторого промежутка его изменения [α,β] требуется найти экстремальное значение функции

j=1

Здесь зависимость от параметра t носит линейный характер. Решение сформулированной задачи находят методами линейного программирования.

Процесс решения задачи параметрического программирования включает следующие этапы.

1. Считая значение параметра t равным некоторому числу t [α,β], на-

ходят оптимальный план X* или устанавливают неразрешимость полученной задачи линейного программирования.

2. Определяют множество значений параметра t [α,β], для которых

найденный оптимальный план остается неизменным или задача является неразрешимой. Эти значения параметра исключаются из рассмотрения.

3. Полагают значение параметра t равным некоторому числу, принадлежащему оставшейся части промежутка [α,β], и симплексным методом на-

ходят решение задачи линейного программирования.

75

4. Вычисления повторяют до тех пор, пока не будут исследованы все значения параметра t [α,β].

Пример

Предприятие для изготовления изделий А,В,С использует 3 вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы продукции, а также цены изделий приведены в табл. 4.19.

Изделие А, В и С могут производиться в любых количествах (т.к. сбыт обеспечен) в пределах выделенных ресурсов сырья.

Необходимо найти план выпуска изделий, объем которых обеспечит максимум товарной продукции. Одновременно с этим нужно провести анализ устойчивости оптимального плана при условиях возможного изменения цены на изделия каждого вида.

Найдем решение симплекс-методом. Оно имеет вид

x1=0 шт., x2=8 шт., x3=20 шт., F=400 р.

Установим возможные границы изменения цен каждого из изделий, внутри которых найденный оптимальный план не меняется. Предположим, что цена с1 равна 9+t1 р. Требуется найти такие значения параметра t1, при которых оптимальный план остается неизменным. Построив симплекстаблицу, можно найти, что оптимальный план остается неизменным при t1 ≤5. Это означает, что предприятию нецелесообразно включать в план выпуск продукции изделий вида А при условии, что цена одного изделия не превышает 14 р. При этом предполагаем, что остальные исходные данные остаются без изменений.

76

Аналогично можно показать, что если цена с одного изделия вида В изменяется в интервале 8≤c2 ≤20, то оптимальный план остается без изменений.

Также можно показать, что если цена 1-го вида изделий вида С изменяется 8≤c3 ≤ 20, то оптимальный план остается неизменным.

При этом значение целевой функции, несмотря на неизменный оптимальный план, при различных значениях параметров t1,t2,t3 будет различным.

4.11. Модель распределения инвестиционных ресурсов между строительными организациями, прошедшими конкурсный отбор

Для изучения различных экономических явлений используются их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Строя модель, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление, и отбрасывают несущественные детали.

Для выбора из множества возможных путей достижения цели наилучшего служит критерий оптимальности, т.е. признак, по которому могут сравниваться и оцениваться варианты достижения цели. Критерий оптимальности характеризует качество решения, эффективность намечаемого пути достижения цели. В рассматриваемой ситуации в качестве критерия оптимальности был выбран показатель максимума физических объемов жилья, построенного путем реализации ипотечных программ.

Математическая интерпретация критерия оптимальности представлена в виде целевой функции:

где Vijh- количество квадратных метров жилья типа h, построенных i-м предприятием в j-й зоне, для реализации ипотечных программ;

i – предприятие, i =1,2, N; j – территориальная зона, j=1,2,3; h – число комнат в квартире, h=1,2,3,4.

Ограничения:

1.Выделяемых финансовых ресурсов достаточно для реализации ипотечной программы:

где Сijh – стоимость 1 м2 квартиры типа h, построенной i-м предприятием в j- ой зоне, тыс. рублей;

P – объем финансирования, выделяемый для реализации ипотечных проектов(бюджетные средства, кредиты банков, средства населения для уплаты первоначального взноса).

77

2. Количество квартир типа h, построенных i-м предприятием в j-й зоне, не выше максимально допустимого(Vijh max) (с целью недопущения монополизации со стороны крупных строительных предприятий региона):

где Vj – количество м2 жилья, которое необходимо построить в j-й зоне по ипотечным программам.

4. Стоимость 1-го м2 жилья квартир типа h, которое будет построено i-м предприятием в j-й зоне, не превышает сложившихся рыночных цен (с учетом прогнозируемого уровня инфляции):

где Nhj- доля собственных средств населения, необходимая для участия в программе ипотечного кредитования при покупке квартиры типа h, в j-й зоне;

Nmax – средства населения, имеющего возможность принять участие в ипотечных программах, с учетом среднедушевых доходов в регионе.

Практические расчеты по этой задаче можно провести с помощью процедуры «Поиск решения» из пункта меню «Сервис» процессора электронных таблиц EXCEL.

По результатам расчета можно осуществить оптимальное распределение финансовых ресурсов среди строительных предприятий, прошедших конкурсный отбор. В каждой зоне будет определен объем строящегося жилья для каждого предприятия, прошедшего конкурсный отбор.

78

4.12. Производственно-транспортная задача прикрепления источников теплоснабжения к потребителям продукции

Производственно-транспортная задача планирования прикрепления источников теплоснабжения (котельных) к потребителям продукции формулируется следующим образом: тепловую энергию, вырабатываемую в m котельных в количестве Р1,Р2,...Рm, требуется доставить в n пунктов потребления. Потребность в тепловой энергии в этих пунктах равна S1,S2,...Sn. Требуется определить потоки тепловой энергии от котельных к потребителям, минимизирующие суммарные затраты.

Экономико-математическая модель производственно-транспортного

типа:

где xij - неизвестные объемы производства в m котельных;

сij – удельные затраты соответственно на выработку и передачу тепловой энергии, р.

Ограничения:

1. Вся тепловая энергия от предприятий-поставщиков отправляется потребителям:

j=1

2.Все потребители обеспечены тепловой энергией:

j=1

3.Проверка технической возможности подключения i-го потребителя к j-му источнику теплоты:

где а, b – соответственно минимальное и максимальное значения затрат предприятия на выработку и передачу тепловой энергии.

4. Открытая транспортная задача:

Решение производственно-транспортной задачи производилось с помощью надстройки «Excel» «Поиск решения».

В результате расчетов установлено, что для предприятия экономически целесообразно закрыть котельные №2-5 и переключить потребителей этих котельных на котельную №1.

79

5. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

5.1. Классификация матричных игр

Прикладная теория матричных игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Эта книга содержала, главным образом, экономические примеры, но в период второй мировой войны она самым серьезным образом заинтересовала военных, которые увидели в этой теории оригинальный метод исследования стратегических решений. Затем главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам.

Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия. Классическими примерами являются ситуации, где с одной стороны имеется один покупатель, а с другой – продавец (ситуация монополия-монопсония), когда на рынок выходят несколько производителей (олигополия, дуополия). Более сложные ситуации возникают, если имеются объединения или коалиции лиц, участвующих в столкновении интересов.

В итоге всякая претендующая на адекватность математическая модель социально-экономического явления должна отражать присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

1)множество заинтересованных сторон (игроков, субъектов, участников, сторон, лиц);

2)возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;

80

3) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий при отсутствии информации о принятых стратегиях всех остальных игроков и в соответствии с этим определяет свое поведение.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его экономическую модель, которая называется игрой.

Теория игр — это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников. Интересы участников могут быть как антагонистические (полностью противоположные), так и неантагонистические (игры с природой).

Игра — это упрощенная формализованная модель реальной ситуации, описывающая действия двух или более участников. Предполагается,что известны варианты действий сторон (стратегии), исход игры для каждого участника в случае выбора конкретных действий всеми участниками, степень и порядок информированности каждого участника игры о поведении всех других участников. Приведем некоторую классификацию игр в зависимости от различных параметров.

Количество игроков. Различаются игры двух лиц (2 участника игры) и игры плиц (число участников более 2).

Количество стратегий. Если каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий в игре, то игра называется конечной. Есличисло стратегий хотя бы одного из участников игры бесконечно, то играназывается бесконечной.

Соотношение интересов участников. Игры с нулевой суммой — сумма выигрышей участников всегда равна нулю (антагонистические интересы — антагонистические игры). Игры с ненулевой суммой, когда сумма выигрышей участников отлична от нуля.

Возможности взаимодействия участников. С этой точки зрения можно рассматривать коалиционные (допускается образование коалиций между участниками), бескоалиционные (коалиции не допускаются) и кооперативные игры (коалиции определены заранее).

Тип функции выигрыша. По данному критерию традиционно рассматриваются такие классы игр, как матричные (игра 2-х лиц, выигрыш одного изигроков (соответственно проигрыш другого) задается в виде матрицы), биматричные (игра 2-х лиц, выигрыш каждого из игроков задается своей матрицей), непрерывные (функция выигрышей является непрерывной функцией на множестве стратегий каждого из игроков), выпуклые (функциявыигрышей есть выпуклая функция на множестве стратегий).

Количество ходов. Если после одного хода каждого игрока игра заканчивается и происходит распределение выигрышей, то игра называется одно-

81