Методическое пособие 672

о существовании обратной функции (теорема 4.3) и в точке x имеет не равную

yx 1y .

x

Если теперь y 0, то в силу непрерывности обратной функции x f 1 y (теорема 4.3), приращение x 0. Тогда знаменатель в правой части равенства стремится к значению f x 0. Следовательно, существует предел и для левой части

80

cos y 1 sin2 y 1 x2 .

Следовательно,

Сформулируем словесное правило дифференцирования сложной функ-

ции: производная от сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции.

Эту теорему примем без доказательства.

Пример. Найти производную функции y 1 x2 100 .

Решение. Обозначим за z 1 x2 , тогда y z100 и по теореме 5.4 име-

ем

81

100 1 x2 99 2x 200x 1 x2 99 .

1 x2 100 200x 1 x2 99 .

Пример. Найти производную функции y sinx2 .

Решение. Обозначим за z x2, тогда y sinz и по теореме 5.4

yx yz zx sinz z x2 cosz z x2 2x 2xcosx2 ;

sinx2 2xcosx2 .

5.4.Производные элементарных функций

1.Целая рациональная функция (многочлен)

2. Степенная функция

y xn .

Из примера и замечания п. 5.2 следует, что степенная функция есть дифференцируемая в своей области определения и

предел, который обозначается буквой e:

82

Непосредственно из этого утверждения можно получить следующие два равенства:

1

lim 1 x x e;

x 0

limln 1 x 1.

x 0 x

C помощью этих равенств найдем производную логарифмической функции f x lnx:

Следовательно, логарифмическая функция есть дифференцируемая в своей области определения.

Для определения производной показательной функции используем теорему о производной обратной функции (теорему 5.3). Известно, что для функ-

ции y ax обратной является функция x loga y . Так как

83

или

ax ax lna.

Вслучае, когда a e, эта формула имеет следующий вид:

ex ex.

Таким образом, показательная функция есть дифференцируемая в своей области определения R 0 a 1 .

4. Тригонометрические функции

В п. 5.1 было доказано, что функция y sinx дифференцируема при всех x R и

sinx cosx.

Найдем производную функции y cosx; x R. Так как

cosx sin 2 x ,

то обозначим

z 2 x.

По правилу дифференцирования сложной функции

y yz zx sinz z 2 x 2 x x cosz 2 x 1 cos 2 x cosx

или

cosx sinx.

84

Таким образом, все тригонометрические функции дифференцируемы в своей области определения.

5. Обратные тригонометрические функции

Перваое из этих равенств доказано в п. 5.3. Остальные равенства доказываются аналогично с помощью теоремы и производной обратной функции (теорема 5.3). Доказать это самостоятельно.

5.5. Таблица производных и правил дифференцирования

Запишем правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций.

Правила дифференцирования

1.f x g x f x g x ;

2.kf x kf x ; k const ;

3.f x g x f x g x f x g x ;

85

5.6. Механический смысл производной

Обозначим через S путь, пройденный движущимся телом за время от некоторого начального момента t0 до момента t. Каждому значению t соответст-

вует определенное значение S, так что S есть функция от t:

S S t .

Эта зависимость называется законом движения тела. Определим среднюю скорость Vср движения данного тела за промежуток времени t:

Vср Stt .

Если промежуток t достаточно мал, то значение средней скорости

86

близко к истинной в момент t. Уменьшая t, мы будем все ближе подходить к истинному значению скорости в момент t. На языке теории пределов определение мгновенной скорости V t можно сформулировать так:

Пример. Для свободного падения тела в пустоте зависимость S t имеет

вид

S t gt22 ,

где g ‒ ускорение свободного падения.

Найдем мгновенную скорость движения тела в момент t:

V t S (t) gt22 gt.

Пример. В случае простых гармонических колебаний зависимость S t

выражается формулой

S t asin t,

где a ‒ постоянная амплитуда колебаний, ‒ постоянная частота. Для скорости гармонических колебаний получим

V t S t asin t a cos t.

Рассмотрим тонкий стержень длиной l одинакового по всей длине диаметра. Вещество в стержне расположено неоднородно, то есть в одном месте более плотно, в другом менее плотно. Примем за начало отсчета левый конец стержня (рис. 5.2).

Рис . 5.2. Тонкий стержень длиной l

Масса вещества является функцией координаты х, так что m m x . Средняя плотность вещества на участке x равна

87

m x m x x m x .

x x

Плотность вещества в сечении x определяется так:

x lim m x m x .

x 0 x

5.7. Геометрический смысл производной

Пусть x0 ‒ абсцисса точки M , принадлежащей кривой y f x (см. рис. 5.3). Выберем точку M1 на кривой с абсциссой x0 x. Через точки M и M1 проведем секущую рассматриваемой кривой. Из рис. 5.3 видно, что

k1 tg f xx0 .

Пусть x 0, то есть точка xстремится к точке x0. Если при этом секущая стремится к предельному положению T1MT , то прямую T1MT называют

касательной к кривой y f x в точке M .

Определение 5.3. Касательной к данной кривой в точке называется предельное положение секущей MM1, когда точка M1 стремится к точке M , оста-

ваясь на этой кривой.

Так как касательная есть прямая линия, то ее уравнение имеет вид y kx b,

88