Методическое пособие 672

то произведение их сходится и

limn xn yn a b.

Следствия 2.2 и 2.3 доказываются аналогично следствию 2.1. Свойства 2.1 ‒ 2.3 во многих случаях облегчают нахождение пределов последовательностей.

Замечание. По определению предела мы можем для одного конкретного числа a проверить, является ли эта число пределом одной последовательности или нет. На первый взгляд, складывается тупиковая ситуация: надо заранее угадать ответ. Но выведя табличные пределы, с помощью свойств пределов удается свести исследуемый пример к табличным и вычислить ответ.

Пример. Вычислить:

Решение.

1. Числитель и знаменатель в этом примере – неограниченные последовательности (в этом случае говорят, что у нас неопределенность типа

менять свойства 2.1 и 2.3 нельзя, поэтому разделим числитель и знаменатель на n. Тогда получим

40

2. Так как в этом примере в знаменателе стоит бесконечно большая величина, то в силу теоремы 2.7 дробь будет бесконечно малой, следовательно, в ответе получится нуль:

если каждый е член, начиная со второго, больше предыдущего, то есть если для любого n выполняется неравенство

каждый е член, начиная со второго, меньше предыдущего, то есть для любого n выполняется неравенство

xn xn 1 .

41

убывающей. Так как

если каждый е член, начиная со второго, не меньше предыдущего, то есть для любого n выполняется неравенство

xn xn 1 .

Определение 2.10. Последовательность xn называется невозрастаю-

щей, если каждый е член, начиная со второго, не больше предыдущего, то есть для любого n выполняется неравенство

xn xn 1 .

Примерами неубывающей и невозрастающей последовательностей являются последовательности

1 n 2n 1, 5, 5, 9, 9,...

и

1 n 2n 3, 3, 7, 7, 11, 11,... .

Замечание. Возрастающие последовательности являются частным случаем неубывающих, а убывающие являются частным случаем невозрастающих последовательностей.

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.

так как все члены этой последовательности с ч тными номерами положитель-

42

то есть

lim 1 n 0.

n n

Из этого примера видно, что условие монотонности последовательности не является необходимым условием сходимости (в отличие от условия ограниченности последовательности (см. теорему 2.2)).

Совместное выполнение условий монотонности и ограниченности последовательности является достаточным условием сходимости. Это подтверждает следующая теорема, которая приводится без доказательства.

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет конечный предел.

Заметим, что теорема Вейерштрасса устанавливает только существование предела последовательности, но способ нахождения предела не указывает. Несмотря на это, теорема играет важную роль в теории пределов, так как во многих случаях, зная, что предел существует, нетрудно отыскать его.

или

a q a.

Так как 1 q 0, то получим a 0. Это значит, что

limqn 0, 0 q 1 .

n

43

В данном случае мы пользуемся тем, что для любой сходящейся последовательности

limn xn limn xn 1,

так как xn и xn 1 отличаются лишь первым членом и порядком нумерации членов.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

a;aq;aq2;...;aqn 1;... , a 0; 0 q 1

иопределим е сумму.

Под суммой бесконечной последовательности понимается предел limn Sn S ,

где Sn есть сумма первых n членов последовательности.

Все члены данной прогрессии положительны, поэтому Sn S и последовательность Sn монотонно возрастает.

Так как

последовательность возрастает.

44

Далее, так как при n 2

n1! 21n 1 ,

то в силу оценки для частичной суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. стр. 41)

xn 2 12 212 ...21n 1 2 1 2n12 3.

1 читается: эн плюс второй

45

следовательно, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой e:

где e ‒ иррациональное число и его приближенное значение равно e 2,718231323459045.

Число e является одной из основных констант в математике (так же как и число ), а сам предел называется вторым замечательным пределом.

2.6.Задания для самостоятельной работы

2.1.Дайте определение числовой последовательности.

2.2.Последовательность xn задана формулой

xn 2nn 21:

а) вычислить первые пять членов последовательности xn ;

б) вычислить x10; x15; x20; x52; x100;

в) найти xn 1; xn 1; xn 1 xn 1.

2.3. Вычислить первые пять членов последовательности и изобразить е графически:

2.4. Вычислите первые пять членов последовательности и изобразите е графически:

46

2.5. Ограничены ли данные последовательности:

2.6.Какие последовательности из упражнения 2.3 и 2.4 ограничены?

2.7.Докажите, что:

2.9. xn С, где С ‒ постоянное число. Докажите, что

limС С.

n

2.10. Докажите, что число нуль не является пределом последовательно-

2.11. Определите, какие из данных последовательностей сходятся:

47

2.12. Докажите, что данные последовательности являются бесконечно малыми:

2.13. Докажите, что данные последовательности являются бесконечно большими:

2.15. Какие из данных последовательностей являются монотонными:

48

13)2n 1 n .

2.16.Пользуясь теоремой Вейерштрасса, установите, какие из данных последовательностей имеют предел: