Методическое пособие 672

x x0

,

X и x0 X .

так, чтобы x0 ;x0

X , то для любого

0 и

Выберем 0

x x0 ;x0 выполняется неравенство

f x C

C C

0 .

Доказательство.

Пусть

‒

любое

положительное

число. Выберем

, тогда для всех x таких, что

x x0

,

имеем

f x x0

x x0

,

то есть

f x x0

. Следовательно,

lim x0 .

x x0

4x2 1

4x2 1

Пример. Доказать, что функция

f x

имеет

lim

2.

2x 1

x 1

2x 1

2

Доказательство. Эта функция определена для всех

x 1 . Докажем,

4x2 1

1

2

что lim

2. При x

2x 1

2

x 1

2

f x 2

4x2

1

2

2x 1

2

x

1

2

x

1

.

2x

1

2

2

Для любого 0

выберем

, тогда для всех

x

1

таких, что

2

2

1

,

x

2

имеем

f x 2

2

1

2

2

,

x

2

2

то есть

f x 2

.

4x2

Следовательно, lim

1

2.

2x

1

x 1

2

Замечание.

1. Из определения 3.1 следует, что предел функции при x, стремящемся к

x0 , может существовать только тогда, когда

f x

определена во всех точках

окрестности числа x0 , за исключением,

может быть, точки x0 . Точка x0

может принадлежать области определения f x .

2. Число в определении 3.1 зависит от , от точки x0 и от рассматри-

ваемой функции.

Пример. Доказать, что при x 0 функция

f x не имеет предела.

1

при

x 0;

0

при

x 0;

f (x)

при

x 0.

1

Зададим 1

. Если a 0, то в любой окрестности нуля для

x 0

2

f x 1 и

f x a

1 a

1 1 ,

2

f x a

то есть неравенство

не выполняется и a 0 не может быть преде-

лом.

Если a 0, то в любом окрестности 0 для x 0 f x 1 и

f x a

1 a

1 1 ,

2

f x

то есть неравенства

не выполняется и a 0 тоже не может быть

Следовательно, такого числа a нет и наше предположение не правильно.

Это доказывает наше утверждение о том, что данная функция f x

при x 0

не имеет предела.

Теорема 3.1. (о единственности предела) Если функция f x при x,

стремящемся к x0 , имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Пусть

lim f x a,

lim f x b

x x0

x x0

такие числа 1

0

и 2

0, что для всех

x x0 при

x x0

1 выполняется

неравенство

f x b

.

2

Возьм м min 1; 2 , тогда для всех

x x0 , удовлетворяющих нера-

венству

x x0

, выполняются равенства

f x a

и

f x b

.

2

2

Следовательно,

a b

a f x f x b

a f x

f x b

,

a b

2

2

получили,

что

меньше любого положительного числа.

Это возможно

только при

a b

0. Следовательно,

a b, то есть функция не может иметь

двух различных пределов при x x0 . Теорема доказана.

3.2. Бесконечно малые функции

Определение 3.2. Функции

a x

называется бесконечно малой при x,

стремящемся к x0 , если

lim x 0.

x x0

Ранее в п. 3.1 было доказано, что

lim x x0 , поэтому limx 0. Следова-

x x0

x 0

тельно, по определению 3.2 f x x является бесконечно малой функцией при

x 0.

Рассмотрим еще один пример бесконечно малой функции.

Пример . Докажем, что функция

f x x 1 2

‒ бесконечно малая при

x, стремящемся к x0 1.

Доказательство. Пусть

‒ любое положительное число. Выберем

, тогда если

x 1

, то

limC C ,

C

const.

x x0

Свойство 3.2. Если функции

f(x) и

g(x) при x, стремящемся к

x0

(x

x0),

имеют пределы

l

i fmx

и

limg x , то

функции

x x0

x x0

f (x)

g(x),

f (x) g(x),

f (x)

(g(x)

0) также имеют пределы при

x

x0,

g(x)

причем справедливы равенства:

lim f x g x

lim f x limg x ;

x x0

x x0

x x0

lim f x g x

lim f x limg x ;

x x0

x x0

x x0

f

x

lim f x

lim g x 0.

lim

x x0

,

если

g

x

x x0

limg x

x x0

x x0

lim

k

f x

k lim f x ,

k const .

x x0

x x0

Свойство 3.4. Если при x

x0 существуют и равны пределы от функций

lim x lim x a

и в окрестности точки

x0 , кроме, может быть, самой

x x0

x x0

limk x kx0 ,

где k‒ постоянная величина.

x x0

Решение.

По теореме 3.2 и рассмотренным ранее примерам

limk x k lim x kx0 .

x x0

x x0

Пример. Вычислить пределы:

2x 5

x2 6x 8

1) lim

2x2

5x 1

; 2) lim

; 3) lim

.

15 4x

Решение

x 1

x 5

x 2 x2 x 2

1. lim

2x2

5x 1

lim2x limx lim5x lim1 2 1 5 1 2;

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

2. lim

2x 5

lim2x lim5

10 5

3;

x 5

x 5

15

4x

lim15 lim4x

15 20

x 5

x 5

x 5

нуль, и обозначаем

0

. Поэтому непосредственно применять свойство 3.2

0

предела при x 2 x

2

0 и данную дробь можно сократить:

x2 6x 8

x 2 x 4

x 4

при x 2,

x2 x 2

x 2 x 1

x 1

lim

x2 6x 8

0

lim

x

4

.

x

2

x 2

x 1

x 2

0

x 2

Далее предел

lim

x 4

легко найти, пользуясь свойство 3.2:

x 2

x 1

lim

x 4

limx lim4

2 4

2

x 2

x 2

.

x

1

limx lim1

2 1

3

x 2

x 2

x 2

lim

x2 6x 8

lim

x 4

2

.

x2 x 2

x 1

3

x 2

x 2

limcosx 1 и

limsinx

1.

x 0

x 0

x

sin x

x

tgx

.

(3.1)

Для доказательства этой леммы рассмотрим сначала случай 0 x

.

AB

x

CD

r

или

r

sinx x tgx.

Так как sinx и tgx положительны при

0 x

, то неравенство (3.1) вы-

полняется.

2

Рассмотрим случай, когда

x 0. При таких x имеем 0 x , по-

2

2

этому, как уже доказано,

sin x x tg x .

Так как в нашем случае x

x

; sin x

sinx

и tg x

tgx

, то нера-

венство (3.1) справедливо и для

x 0.

2