Методическое пособие 672

от рассматриваемой сходящейся последовательности, так и от :N N . Пример. Докажем, что последовательность

xn (c) c, c, c,...,c,... ,

где c ‒ постоянное число, имеет пределом число C.

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда

xn (2) (2,2,2,...,2,...).

Вэтом случае для любого 0 и любого n имеем

xn a 2 2 0 .

Таким образом, для любого 0 можно взять в качестве N любое

натуральное число, например N 1, следовательно, для любого 0 мы нашли такое натуральное число N 1, что при всех n N исполняется неравенство 2 2 .

По определению 2.4 это значит, что последовательность

2 2,2,2,...,2,...

имеет пределом число 2:

lim2 2.

n

Доказательство не изменится, если вместо c 2 мы возьмем любое другое действительное число.

Пример. Докажем, что последовательности

Доказательство. Для всех данных последовательностей

30

Замечание. Первая из рассмотренных последовательностей задает таб-

личный предел lim1 0. Без доказательства приведено более общее утвер-

n n

равносильно неравенству

1n loga(1 )

и выполняется при всех значениях

n 1 . loga(1 )

Таким образом, в качестве N можно взять

31

Действительно, для любого 0 при всех

выполняется неравенство

1n loga(1 )

или

1

aa 1 .

1

Следовательно, по определению 2.4 последовательность (aa ) при a 1 имеет пределом 1:

1

limaa 1.

x

Неравенство xn a равносильно двойному неравенству

xn a

и

a xn a .

Из последнего неравенства следует, что все члены сходящейся к a последовательности (Xn) с номерами n N( ), то есть члены

xn 1, xn 2, xn 3,...,

принадлежат интервалу a ;a , который называется окрестностью точки a (рис. 2.3).

xn , то в любой, как угодно малой окрестности точки a содержатся все

члены данной последовательности, кроме конечного их числа (в окрестности точки a могут не содержаться только члены x1, x2, x3,...xn).

32

Теорема 2.1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Пусть − произвольное положительное число, тогда из определения 2.4 предела последовательности следует, что существуют такие N1 и N2 , что

для всех n N1 выполняется неравенство

xn a 2

и для всех n N2

xn b 2.

Обозначим через N наибольшее из чисел N1 и N2 , тогда для всех n N

.

33

Теорема доказана.

меньшее и обозначим эти числа соответственно буквами M и m, тогда для любого n

m xn M ,

то есть последовательность xn ограничена. Теорема доказана.

Эта теорема выражает необходимое условие сходимости последовательности xn .

2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

34

Теорема 2.5. Произведение ограниченной последовательности (xn ) на бесконечно малую последовательность ( n) является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. По определению ограниченной последовательности существуют такие числа M и m, что для всех n выполняется неравенство

m xn M .

Обозначим через A наибольшее из чисел m и M , тогда для всех n

xn A.

Пусть − произвольное положительное число, а N − номер, начиная с которого для всех членов последовательности n выполняется неравенство

n A

(такой номер N существуют по определению 2.5 бесконечно малой последовательности). Тогда для всех номеров n N выполняется

n xn n xn A A

или

n xn .

Это означает, что последовательность ( n xn ) есть бесконечно малая. Теорема доказана.

Следствие 2.2. Произведение бесконечно малой последовательности на сходящуюся последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 2.3. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Это утверждение можно доказать методом математической индукции.

Теорема 2.6. Последовательность xn имеет пределом число a, то есть limn xn a,

тогда и только тогда, когда последовательность n xn a является бесконечно малой.

36

Докажем, что ( n) ‒ бесконечно малая последовательность. Пусть про-

извольное положительное число, тогда существует такое натуральное N, что для всех n N выполняется

xn .

Но

xn n ,

поэтому для всех n N

n .

Это значит, что n есть бесконечно малая последовательность.

Докажем, что limxn a.

n

Пусть − произвольное положительное число, тогда существует такой номер N, что для всех n N

n .

Это значит, что limxn a. Теорема доказана.

n

Рассмотрим бесконечно большие последовательности, которые, как и бесконечно малые последовательности, играют важную роль в теории пределов.

Примерами бесконечно больших могут служить следующие последовательности:

37

Еще один пример бесконечно большой последовательности: xn qn , где q 1. Эта последовательность бесконечно большая, так как для любого A 0 условие

Тогда для всех тех же n N(A)выполняется

или

n ,

то есть последовательность n бесконечно малая. Теорема доказана.

Аналогично можно доказать теорему 2.8.

38

Среди бесконечно больших последовательностей особенно важными являются те, у которых все члены, начиная с некоторого, имеют одинаковый знак

(+) или (−). В этих случаях, в зависимости от знака, говорят, что последова-

следовательности. Тогда

xn yn a n b n (a b) n n .

По теореме 2.3 n n есть бесконечно малая последовательность, поэтому, как следует из теоремы 2.6 ,

lim(n xn yn) a b.

Теорема доказана. В случае разности доказательство аналогично.

39