Методическое пособие 672

3.4. Предел функции при x бесконечный предел функции

При изучении свойств функций часто приходится рассматривать поведение функций в бесконечности, то есть при x , x или x , а также случаи, когда сама функция неограниченно возрастает или убывает. Для этого необходимо определить следующие виды пределов, указанных в табл. 2.

Определение предела функции в этих случаях аналогично определению бесконечного предела последовательности.

Для примера дадим следующее определение:

60

3.5.Задания для самостоятельной работы

3.1.Пользуясь определением предела, докажите следующие утверждения:

61

Замечание. В математическом анализе сначала изучается теория пределов, а далее с помощью предела даются определения других основных понятий, прежде всего непрерывности (см. определение 4.1) и производной (см. определение 5.1). Как вы уже убедились, вычисления даже не достаточно простых функций (например, задача 3.3 под №7) вызывают трудности и часто технически громоздки. Но оказалось, что понятия непрерывности и предела взаимосвязаны, а элементарные функции в силу теоремы 5.1 пункта 5.2 почти везде (кроме некоторых точек разрыва) непрерывны.

Поэтому при нахождении пределов при x x0, где x0 конечное чис-

ло, сначала вычисляют значение функции, стоящей под знаком предела, в точке x0, и если оно существует, то это и есть ответ. Например, в только что упомя-

нутой задаче 3.3 под №7:

Какой бы сложной функция ни была внутри предела, вычисление предела в случае, когда отсутствует неопределенность некоторого вида, достаточно просто. Например,

3.4.Сформулируйте определения предела функции в случаях, указанных

втабл. 2 пункта 3.4.

62

4.НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

4.1.Определение непрерывности функции

Спонятием предела функции тесно связано другое важное понятие математического анализа ‒ непрерывность функции.

Определение 4.1. Функция f x называется непрерывной в точке x0 , если при x, стремящемуся к x0 , существует предел функции f x , равный значению функции в этой точке f x0 :

xlimx f x f x0 .

0

Используя определение 3.1 предела функции, можно определение 4.1 сформулировать в другой форме.

Функция f x непрерывна в точке x0 , если для любого 0 найдется такое число 0, что для всех x, удовлетворяющих условию x x0 , выполняется неравенство:

f x f x0 .

Замечания: 1. В отличие от определения 3.1 из определения 4.1 следует, что функция f x должна быть определена во всех точках некоторой окрестно-

сти точки x0 , включая и саму точку x0 .

2. Если область определения функции f x является числовым промежутком Х , ограниченным неравенством x0 x x x0 , то на границе можно говорить о непрерывности функции в точке только справа (слева). В этих слу-

x x0;x0 ; x x0 ;x0 . Если функция не существует в некоторой точ-

ке, но существует слева и справа от не , то вычисляют пределы слева и справа в этой точке и в зависимости от результата делают вывод о характере разрыва.

Разность x x0 называется приращением аргумента и обозначается x:

x x x0 x0 x x0 .

Разность f x f x0 называется приращением функции и обозначается

f x0 :

f x0 f x f x0 f x0 x f x0 .

63

Используя введенные термины и теорему 3.2, определение 4.1 можно сформулировать в другой форме.

Функция f x непрерывна в точке x0 ,если бесконечно малому прираще-

нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то естьf x0 0 при x 0.

Если функция f x непрерывна в каждой точке числового промежутка

Х , то говорят, что функция непрерывна в промежутке Х .

Примером непрерывной функции может служить функция f x x. Как было доказано ранее (см. п.3.1),

xlimx f x x0 ,

0

а x0 f x0 , поэтому

xlimx f x f x0 ,

0

то функция f x x непрерывна в точке x0 .

В пункте 3.1 было доказано, что

lim 4x2 1 2,

x 12 2x 1

значения функции f x 42xx2 11 в точке x 12 не существует. Следователь-

то она уже будет везде непрерывна. Такой разрыв называют устранимым разрывом.

Пример. Доказать непрерывность функции y cosx в произвольной

точке x0 R.

Доказательство.

64

Так как

cosx cosx0 x x0

или

cosx cosx0 .

Это значит, что

xlimx cosx cosx0 ,

0

то есть функция y cosx непрерывна в каждой точке числовой оси.

4.2. Теоремы о непрерывных функциях

Сформулируем теоремы, полезные для установления непрерывности различных функций.

Теорема 4.1. Если функции f x и g x определены в одном и том же промежутке X и обе непрерывны в точке x0 X , то в точке x0 непрерывны и

функции:

1. 1,2 x f x g x ;

2. 4 x f x , где k const;

3.3 x f x g x ;

4.5 x gf xx при g x 0.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из свойств преде-

лов 3.1 ‒3.4.

65

Теорема 4.2. Если функция y f x определена и возрастает (убывает) на числовом промежутке X, а множество ее значений составляет промежуток Y (Y f x x X ), то y f x непрерывна в числовом промежутке X.

Доказательство. Для определенности будем считать, что f x возрастает на X. Докажем, что f x непрерывна в произвольной точке x0 X , которая

не является правым (левым) концом числового промежутка X. При этом значение y0 f x0 также не является правым (левым) концом числового промежут-

прерывна в точке x0 .

66

X 0; . Следовательно, по теореме 4.2 логарифмическая функция непрерывна при всех x, принадлежащих ее области определения.

Замечание. Так как логарифмическая функция является обратной для показательной функции, то ее непрерывность также следует из теоремы 4.3 и непрерывности показательной функции.

Степенная функция y xn

Степенная функция непрерывна в промежутке X 0; , если n 0, и в промежутке X 0; , если n 0. Непрерывность степенной функции следу-

ет из теоремы 4.2 на основании свойств степенной функции, известных из алгебры.

Тригонометрические функции

y sinx; y cosx; y tgx; y ctgx; y secx; y cosecx.

Непрерывность функции y cosx на множестве R установлена в пункте 4.1. Для доказательства непрерывности функции y sinx представим ее как сложную функцию:

Обратные тригонометрические функции

y arcsinx,y arccosx,y arctgx,y arcctgx.

Первые две из этих функций непрерывны на отрезке 1;1 , а последние две на всей числовой оси ; . Это следует из определения обратных тригонометрических функций и теореме 4.3.

69