Методическое пособие 672

является пересечением областей определений, входящих в выражение функций (при делении добавляется естественное ограничение, что знаменатель отличен от нуля);

2) для нахождения области определения сложной функции надо выписать область определения для внешней функции, решить полученное неравенство и взять пересечение его решения с областью определения внутренней функции.

Пример. Найти области определения функций:

Решение. Для первой функции выпишем систему неравенств, составленную из областей определения входящих в формулу логарифмической и об-

1.4.Задания для самостоятельной работы

1.1.Вычислить:

1. f 0 , f 2 , f 3 , f 4 , если f x x2 5x 6.

20

1.2. Найти область определения функций:

10.y x2 10x 24 .

1.3.Что означает:

функция ограничена сверху (снизу);

функция не является ограниченной сверху (снизу);

функция ограничена;

функция не является ограниченной;

функция периодическая;

функция не является периодической.

21

1.4. Исследовать функцию на четность (нечетность):

10.y cos26x.

1.6.Для заданной функции найти обратную функцию:

10.y 31 x3 .

1.7.В одной и той же системе координат построить график указанных групп функций и выяснить их взаимное расположение:

1. y x, y x2 ,y x3 , y x4 , y x5 .

22

23

2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2.1.Бесконечные числовые последовательности

Бесконечные числовые последовательности (далее мы будем называть их просто последовательностями) образуются так: каждому числу п натурального ряда чисел

1, 2, … п,…

ставится в соответствие определенное действительное число хп и эти числа располагаются в порядке возрастания номеров п:

x1, x2,x3,...,xn,....

Такое соответствие есть функция. Множество натуральных чисел N является областью определения этой функции, а ее значения принадлежат множеству действительных чисел R.

Примерами последовательностей являются арифметическая прогрессия

1; 3; 5; 7; 9;… .

которая задается так:

x1 1, xn xn 1 2, n N,

и геометрическая прогрессия

1, 2, 4, 8, 16, …,

которая задается так:

x1 1, xn 2xn 1, n N.

Определение 2.1. Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел.

Числа xn называются членами последовательности.

Последовательность

x1, x2,x3,...,xn,...

сокращенно будем обозначать символом Хп . Формула, определяющая xn в

зависимости от п, называется формулой общего члена последовательности.

24

Пример. Даны последовательности, заданные общим членом. Выписать некоторые члены последовательности.

Решение.

С помощью формулы общего члена можно вычислить любой член последовательности:

1) xn 1n,

x1 1, x2 12, x3 13,...,x10 101 ,...,x127 1271 ;

x1 12, x2 23, x3 43,...,x23 2423,...,x243 244243;

3) xn 3,

в данной последовательности все члены одинаковы и равны числу 3:

25

Как и все функции, любую последовательность Хп можно изобразить графически на координатной плоскости точками

(1, x1),(2,x2),(3,x3),...,(n, xn),....

Это множество точек называется графиком последовательности xn . Можно также изобразить члены последовательности xn точками на числовой прямой, отмечая их соответствующими символами

x1, x2,x3,...,xn,...

На рис. 2.1, а, б приведены два описанных выше способа изображения

26

xn

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

а)

б)

Рис. 2.1. Изображение последовательности Хп п6 : а) графически; б) точками на числовой прямой

Изображения данной последовательности приведены на рис. 2.2. Различные масштабы взяты для удобства. Пунктирные линии к графику не относятся и являются вспомогательными.

27

xп

1

а)

если существуют такие два числа M и т, что для всех п выполняется двойное неравенство

mxn M .

Пример. Является ли данные последовательности ограниченными?

1. xn n2n1.

Так как

xn 1 n2n1 1 nn 11 0;

и

28

xn 2 n2n1 2 n 21 0,

то при всех n выполняется неравенство

1xn 2.

Следовательно, данная последовательность ограничена.

Так как какое бы большее число M мы ни взяли, всегда найдется такое натуральное число N 5M , что для всех n N выполняется

то есть

xn M .

2.2. Предел последовательности

число N, что при всех n N выполняется неравенство xn a ε.

В этом случае говорят, что последовательность xn имеет пределом число a и пишут:

limn xn a,

или говорят, что последовательность сходится к a, и пишут: xn a при n .

Замечание. Число N в определении 2.4 последовательности зависит как

29