Методическое пособие 672

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Следствие. Если функции f1 x ,

f2 x ,..., fn x имеют производные, то

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке a;b

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем некоторые из них, не приводя доказательство.

I.Функция, непрерывная на отрезке a; b , ограничена на нем.

II.Функция, непрерывная на отрезке a; b , достигает на нем своего

наименьшего fнаим и наибольшего fнаиб значения.

III.Функция, непрерывная на отрезке a;b , хотя бы один раз пробегает все свои промежуточные значения между fнаим и fнаиб , рис. 4.1.

Рис. 4.1. Функция, непрерывная на отрезке a; b

Последнее свойство широко используется для приближенного решения уравнений. Без ущерба общности можно считать, что мы решаем уравнение f(x) 0, где f (x) непрерывная функция.

Предположим, что нам удалось найти отрезок a; b , на концах которого данная непрерывная функция принимает значения разных знаков f(a)f(b) 0.

Так как нулевое значение расположено между отрицательным и положитель-

ным значениями, то по последнему III свойству, найдется точка																															x0 (a;b)				та-
кая, что	f (x0) 0. Простейшим из методов нахождения решения x0																																с требуе-
мой точностью					является деление отрезка пополам																и		оставление той его по-
ловины, на концах которой у функции опять значения будут разных знаков.
Пример. Найти решение уравнения																	f (x) x3				x 1			с точностью до 0,1.
Решение. В нашем случае											f (x) x3 x 1									и			f(0) 1, очевидно, что
при x 0		f(x) 0 и решения уравнения надо искать среди																							x 0.
Вычислим f( 1) 1 1 1 1 0.													Так как					f( 1)f(0) 1, то исходный от-
резок	будет						1;0		(a 1,				b 0).					Возьмем						середину										отрезка
c a b	1 0					1		и вычислим					f (		1) 1					1	1 3			0.					Следовательно,
2			2			2									2			8		2			8
корень	x 1, 1 ,							на концах которого										f ( 1)f ( 1)									3			0.				Поэтому
корень	x 1, 1 ,							на концах которого										f ( 1)f ( 1)												0.				Поэтому
	0				2																		2			16
					2																		2			16
выберем	a		1, b			1 и вычислим
		2			2			2
										1
			a		b			1		2						3			27		3				11
			f	2	2			f		2			f									1							0.
			f	2	2			f	2				f			4			64		4	1			64				0.
					2				2							4			64		4				64
																							1 0,25 0,1 больше
Поэтому корень					x			3, 1 ,			длина отрезка равна												1 0,25 0,1 больше
					0																		4
требуемой точности.								4	2														4
требуемой точности.																													3			1
																													3			1
Наконец, возьмем середину померенного отрезка																								x				4				2		5	и
Наконец, возьмем середину померенного отрезка																								x										5	и
																								0					2				8
																													2				8
вычислим			f		5 125 5 1							67		0.			Поэтому решение													x		3,			5 .
вычислим			f		5 125 5 1									0.			Поэтому решение													x		3,			5 .
								512	8		512																		0				4
					8			512	8		512					3		5															4		8
																3		5
Найдем опять середину отрезка													x		4			8	11 0,6875.												Так как это
Найдем опять середину отрезка													x						11 0,6875.												Так как это
													0				2			16
										1							2			16
значение лежит на расстоянии										1	0,1 от концов отрезка,													то это и будет отве-
значение лежит на расстоянии											0,1 от концов отрезка,													то это и будет отве-
том.									16
том.					( 0,6875)3				0,6875 1 0,01245,																		f(x) содержит в
Проверка.					( 0,6875)3				0,6875 1 0,01245,												так как						f(x) содержит в

сумме x, а мы получили расхождение с нулем на порядок меньше, то полученный ответ обладает точностью порядка 0,01.

4.5.Задания для самостоятельной работы

4.1.Установите непрерывность данных функций:

1)	f x 3x 1 в точках x=0 и x=1;
2)	f x x2 2x 7; x R;

3)x 11, если x 1,

0, если x 1;

4)f x xx22 5xx 6,x R;

2 2x2

5x 6

если

x 3;

x 3

f x

если

x 3;

f x x 3 sinx;

x R;

f x secx 1 cos

x ;

;

cosecx;

x 1; ;

f x

x 5 ctgx

f x x

(целая часть числа x)

в точках x 1 и

;

10)

f x x (дробная часть числа x)

в точках x 2

и x 2,5.

5.ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ

КИСЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

5.1.Определение производной функции

	Определение 5.1. Производной функции y f x в точке x0								называется
предел		отношения	приращения		функции		f x	в	точке	x0
f x f x f x0			к приращению аргумента x x x0 , когда приращение
x стремится к 0, то есть					f x
				lim	f x	.
				lim		.
				x 0	x
	Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Производную функцию y				f x обычно обозначают			f x	(эф штрих от икс),
или y		(игрек штрих),	или	dy
или y		(игрек штрих),	или	dx (дэ игрек по дэ икс). Кроме этого, приняты сле-

дующие обозначения:			fx и	yx . Индекс x внизу показывает, что f					или y	есть

функция от аргумента x. Такое обозначение удобно в случае дифференцирования сложной функции y f g x .

Используя обозначение f x , запишем определение производной функции в точке x0 :

f x lim	f x			lim	f x f x0		lim	f x0	x f x0	.
					x x
x 0		x		x 0			x 0		x
						0
Определение 5. 2.			Если функция			f x определена и имеет производную
в каждой точке числового промежутка						X , то она называется дифференцируе-
мой в промежутке X .
Из теоремы 3.1		о единственности предела и определений 4.1 и 4.2 следу-
ет, что для функции		f x , дифференцируемой на промежутке X , производ-
ная f x тоже является функцией, определенной в промежутке X .
Приведем примеры непосредственного вычисления производных.
Пример. Найти производную функции							f x C ,		где C постоянная ве-

личина C сonst на всей области определения функции f x .

Решение. Определим приращение функции f x для приращения аргумента x. Так как

f x x f x C,

то

f x C C 0.

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

f x

Вычислим предел этого отношения:

lim

f x

lim 0.

x 0

Следовательно, производная постоянной функции равна 0.

Пример.

Вычислить производную функции f x x;

x R.

Решение.

f x f x x f x x x x x;

f x lim

f x

lim

lim1 1;

x 0

x 1.

Пример. Найдем производную функции f x x2; x R.

Решение.

f x f x x f x x x 2 x2 2x x x 2 ;


f x lim	f x	lim	2x x x 2		lim2x lim x 2x;
	x
x 0		x 0		x	x 0	x 0
				x2 2x.

Пример. Найдем производную функции f x sinx; x R.

Решение.

f x f x x f x sin(x x) sinx 2sin 2xcos x 2x

			2sin	x		x
	f x			2	cos x	2
f x lim		lim
	x				x
x 0		x 0

sin x

sinx cosx.

lim

limcos x

cosx;

x 0

5.2. Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема 5.1. Если функция

f x имеет производную в точке x0 ,

то она

непрерывна в этой точке.

Доказательство. Для установления непрерывности f x в точке x0 до-

кажем, что f x 0

при

x 0.

lim f x

lim

f x x

lim

f x

lim x f x 0 0.

x 0

Теорема доказана.

Обратное утверждение не верно. Например, функция f x

график

которой изображен на рис. 5.1,

в точке x 0 непрерывна, но производной в

этой точке не имеет, так как в ее окрестности

и предел lim

x 0

f x

при x 0,

x 0

f x

не существует (см. раздел 3, пример в п. 3.1).

Рис. 5.1. График функции y x

Теорема 5.2. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного для двух функций.

Если функции f x и g x имеют производные, то: 1. f x g x f x g x ;

2. f x g x f x g x f x g x ;

3.	kf x kf x , где k const;
		f x		x g x f x g	x
4.			f			, если	g x 0.

		g x		g2 x

Доказательство Правило 1. Составим приращение функции

x f x g x ;

x x x x f x x g x x f x g x f x g x .

Из этого равенства следует, что

x	f x g x	f x	g x	.
x	x	x
			x

Переходя в последнем равенстве к пределу при x 0, получим

lim

f x

g x

lim

f x

lim

g x

x 0

или

x f x g x f x g x .

Аналогично доказывается правило и для производной разности двух функцийf x g x . Правило 1 доказано.

Это следствие можно доказать методом математической индукции.

Пример. Найти производную функции f x x sinx; x R.

Решение. Пользуясь правилом дифференцирования суммы двух функций, получим

f x x sinx x sinx 1 cosx.

Правило 2. Составим приращение функции x f x g x .

x f x x g x x f x g x

f x

f x g

g x f x g x

f x g x g x f x f x g x .

Найдем предел отношения

при

x 0:

g x

f x

f x g x x

lim

f x

g x

x x

x 0

f x lim

g x

g x lim

f x

lim

f x

lim

g x

lim x

x 0

f x g x g x f x f x g x 0.

Следовательно,

x f x g x f x g x f x g x .

Правило 2 доказано.

Правило 3 следует из правила 2 при g x С const.

Пример. Найти производную функции y x2 sinx;

x R.

Решение. По правилу 2 имеем

y x2 sinx x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2 cosx.

Следовательно,

x2 sinx x 2sinx xcosx .

Пример. Найти производную функции y kx; x R. Решение. По правилу 3 имеем

y kx k x k .

Следовательно,

kx k .

Пример. Пусть y xn ; x R; n N. Доказать, что y xn nxn 1.

Доказательство. Докажем это утверждение методом математической индукции.

1. При n 1 и n 2 это утверждение правильно, так как x 1 и

x2 2x (см. примеры рассмотренные выше).

2.Предположим, что при n k утверждение правильно, то есть

xk kxk 1,

тогда

xk 1 xk x xk x xk x kxk 1 x xk 1 k 1 xk .

Отсюда заключаем, что утверждение правильно для любого n N:

xn nxn 1.

Замечание. Это утверждение справедливо не только для натурального показателя, но и для любого действительного показателя z R:

xz zxz 1.

Здесь x принадлежит области определения функции y x2 . Это утверждение приводится без доказательства.

Пример. Найти производную функции y x ; x 0.

Решение.

			1	1
				1 x2	1		1				1
y	x				1				x				.
		x2

						2		x		2		x
				2		2		x		2		x

Пример. Найти производную функции y x12 ; x R; x 0.

Решение.

	1			2			1		2
			x 2 2x 2 1 2x 3
y					3					3 .
		2		x				2	x
x						x

Правило 3. Составим приращение функции x gf xx .

x		f x x	f x	f x f x	f x
				g x g x	g x
		g x x	g x
	f x g x g x f x f x g x f x g x

		g x g x g x

g x f x f x g x , g2 x g x g x

Поэтому

lim

g x

f x

x 0

x 0 g

x g x g x

Так как

f x

lim g

x f x

;

x 0

lim f

g x

x g x

;

x 0

g2 x g x g x lim

g x

lim

g2 x

g x x

x 0

g2 x g x g x 0 g2 x ,

то

x g

lim

x f x g

g2 x

x 0

или

x g x

f x g

x .

g x

g2 x

Правило 3 доказано.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.71 Mб3Методическое пособие 669.pdf
#
30.04.2022730.62 Кб22Методическое пособие 67.doc
#
30.04.2022340.58 Кб6Методическое пособие 67.pdf
#
30.04.20223.72 Mб5Методическое пособие 670.pdf
#
30.04.20223.72 Mб7Методическое пособие 671.pdf
#
30.04.20223.74 Mб5Методическое пособие 672.pdf
#
30.04.20223.74 Mб1Методическое пособие 673.pdf
#
30.04.20223.79 Mб4Методическое пособие 674.pdf
#
30.04.20223.93 Mб5Методическое пособие 675.pdf
#
30.04.20223.93 Mб54Методическое пособие 676.pdf
#
30.04.20223.97 Mб4Методическое пособие 677.pdf