Методическое пособие 672

f x f x при любом

х Х.

Функции у х2,

y cosx,

y

1 x2 является четными.

График четной функции y f x

симметричен относительно оси орди-

нат, так как для любого

х Х

точки плоскости x, f (x) и

x, f ( x)

симметричны относительно оси OY .

и f x f x

при любом

х Х.

3

1

Функции

y

x,

y

x,

y s i n

x,

y a r c t,g x x

yявляются не-

четными.

График нечетной функции y f x

симметричен относительно начала

координат,

так

как

для

любого

х Х

точки плоскости

x,

f (x)

и

x,

f ( x) симметричны относительно начала координат.

Наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся

ни

теми,

ни

другими,

например

функции

у 2x,

у log3 x,

y arccosx,

y

.

x

Определение 1.8. Функция y f x

называется периодической, если су-

ществует число

T 0 такое, что для любого

x из области определения функ-

ции числа x T

и

x T

также входят в область определения и справедли-

во равенство

f x T f (x)

f x T f (x) .

Теорема 1.1. Если число T есть период функции

y f x , то и число

mT,

где m любое фиксированное,

отличное от нуля целое число,

будет пе-

Функция y sinx

имеет период T 2 , так как для любого

x числа

x 2

и

x 2

входят

в область

определения этой функции

и

sin x 2 sinx. Так как значение

sin

1 может повторятся не ранее чем

2

через T

2

(при полном обороте на единичной окружности), то T

2

бу-

дет основным периодом функции

y

sinx.

Функция y sin

не является периодической, так как, например, для

x 0

x

число x T (если T 0) или число

x T (если T 0) не принадлежит

области существования этой функции.

Определение 1.9. Функция y f x

называется строго возрастающей

на числовом множестве

Х ,

если для любых

х1 Х и х2 Х из неравенства

х1 х2 следует неравенство

f x1 f x2

Определение

1.10. Функция y f x называется строго убывающей на

числовом множестве Х , если для любых х1 Х

и х2 Х из неравенства х1 х2

следует неравенство

f x1 f x2 .

Функция у х 1 является возрастающей на множестве R, а функция

у 1

является убывающей на множестве ;0 и на множестве 0; (см.

х

рис. 1.2).

Определение

1.11. Функция y f x называется неубывающей на чи-

словом множестве Х , если для любых х1 Х

и х2 Х из неравенства х1 х2

следует, что f x1 f x2 .

Определение

1.12. Функция y f x

называется невозрастающей на

числовом множестве Х , если для любых х1 Х

и х2 Х из неравенства х1 х2

следует, что f x1 f x2 .

у

Например, функция

x

x

является неубывающей на промежутке

; , а функция у

2

,для x

0, является невозрастающей на проме-

x

0,для x 0

Определение 1.13. Точка

х0 Х называется точкой максимума функ-

ции y f x , если можно указать такой интервал а;b , содержащий точку х0 ,

что f x f x0 для всех х х0

из интервала а;b .

О

х x0

х

Если прямая функция

y

f(x)

строго монотонна и непрерывна (поня-

тие непрерывности функции рассмотрим позже) на множестве X, то у не су-

ществует обратная функция

x

f 1(y). Чтобы построить хорошую обратную

функцию при выборе множества X руководствуются следующими правилами:

1)

на множестве X функция y

f(x) строго монотонна;

2)

она пробегает все свои возможные значения;

3)

если это возможно, то 0

X .

Например, для функции y

sinx в качестве множества X выбирается отрезок

;

,

а функцию, обратную к синусу на данном отрезке, называют аркси-

2

2

нусом (y

arcsinx).

y

f(x) и x

f 1(y)

на одном графике, то они будут симметричны относи-

тельно прямой

y x.

y 2x 1

Пример.

Найти

обратную функцию

для функции

при

x 5, то есть выбрана суженная область

3

2

определения функции X(2;5).

ляется функция х 3х 1. Область определения этой функции: Y(1;3), а мно-

2

жество значений: X(2;5). Заменив обозначения х на у и у на х, запишем об-

ратную функцию в привычном для нас виде:

у 3х 1,

x (1;3).

2

Пусть заданы две функции y f x и

z g x ,

так что область опреде-

ления функции y f z

содержит множество значений функции z g x . То-

гда соответствие y f g x называется сложной функцией.

y sin ln x ; y tg3 x; y

1 x2 .

1. Степенная функция y xn,

n R. Примеры графиков степенных

Графики тригонометрических функций имеют вид,

показанный на рис.1.8 ‒

1.11.

5. Обратные тригонометрические функции

y arcsinx,

y arccosx,