Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 672

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

x t x t0 t V t dt.

По этой формуле можно определить координату точки x в любой момент времени t t0 :

x t x t0 t V t dt.

Если известно ускорение точки a a t , то аналогично можно определить значение скорости V t в каждый момент времени t t0 :

V t V t0 t a t dt.

Пример. Точка движется по прямой OX с постоянным ускорением a const. Найти скорость и координату этой точки как функцию времени t. Движение начинается с момента t t0 .

Решение.

V t V t0 t

adt V t0 a t t0

или

V t V t0 a t t0 ,

x t x t

V t dt x t

V t

a t t

x t

V t

at t

x t0 V t0 t t0 a2 t2 t02 at0 t t0 .

Или

x t x t0 V t0 at0 t t0 a2 t2 t02 .

Если t0 0, то

x t x 0 V 0 t at22 .

110

6.7. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке a; b задана непрерывная функция	f x 0. Геомет-
рическая фигура, ограниченная сверху графиком функции	f x , снизу осью

OX , слева и справа прямыми x a и x b, называется криволинейной трапе-

цией (рис. 6.2).

у	K	L B
	K	L B
y f x	K

		L
A
S(x)		S x

N M

x x b

Рис. 6.2. Криволинейная трапеция

Докажем, что площадь этой трапеции SABba вычисляется по фор-

муле

			b
			SABba f x dx F b F a ,
			a
где F x ‒ первообразная для функции				f x на отрезке	a; b .
Рассмотрим часть криволинейной трапеции ABba, которая расположена
левее точки	x a;b		(рис. 6.2). Площадь такой фигуры есть функция от x.
Обозначим	ее	S x ,	так что S a 0	и S b SABba .	Приращение функции
S x в точке x		имеет вид

S x S x x S x

и равно площади криволинейной трапеции SK LM N (см. рис. 6.2):

111

S x SK LM N .

Для площади SK LM N справедливо двойное неравенство:

SK L M N SK LM N SK LMN .

Площади прямоугольников KLMN и KLMN определяются формулами

SKL MN f x x; SK LMN f x x x.

Поэтому последнее неравенство можно переписать так: f x x S x f x x x

или при x 0

f x	S x	f x x .
	x

Так как f x по условию	непрерывная функция на отрезке a; b , то

есть

lim f x x f x ,

x 0

lim f x f x ,

x 0

то по теореме 3.4, переходя к пределу при x 0 в последнем двойном неравенстве, получим

lim S x f x S x .

x 0 x

Следовательно, функция S x есть первообразная для функции f x и

по теореме 6.1

S x F x C .

Так как S a 0 и S a F a C, то

C F a

S x F x F a .

Отсюда для площади криволинейной трапеции ABba имеем при x b

SABba S b F b F a ,

что и требовалось доказать.

112

Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x 1, x 3 и f x x2 .

Решение.

Криволинейная трапеция имеет вид, изображенный на рис. 6.3. Определим е площадь.

S 3 x2dx	x3	3	1	27 1	26	8	2.


1	3	1	3		3		3

уy x2

0 1

Рис. 6.3. Криволинейная трапеция, ограниченная заданными линиями

6.8. Свойства определенного интеграла

1) b f x dx b f z dz b f t dt,

то есть определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Предлагаем доказать это самостоятельно.

b	a	a
2) f x dx f x dx и		f x dx 0.
a	b	a

Эти свойства следуют из формулы Ньютона-Лейбница:

b f x dx F a F b F b F a a f x dx;

113

f x dx F(a) F(a) 0.

Здесь F x ‒ первообразная функции							f x .
	x
				f x .
3)	f t dt			f x .
a
			x
Действительно,			f		F x F a F x f x .
Действительно,			f	t dt	F x F a F x f x .
		a
Замечание.			Интеграл		x	f t dt	называется интегралом с переменным
верхним пределом.					a
верхним пределом.

Свойства определенных интегралов аналогичны свойствам неопределенных интегралов:

1) b f x dx b f x dx, где const;

2) b f x g x dx b f x dx b g x dx;

3)udv u vba vdu формула интегрирования по частям;

b
4)	f x dx f				t t dt				формула замены переменной x t ),
a
где a и b .
Примеры
2	dx		1			x	2	1	2		( 2)
2	dx		1			x	2	1	2		( 2)
1)				arctg				arctg		arctg
1)		2		arctg				arctg		arctg
2	4 x		2		2		2	2	2		2
2	4 x		2		2		2	2	2		2

		1	arctg1 arctg( 1)			1						;
		2	arctg1 arctg( 1)			2			4		4	;
		2				2	4		4		4
	u x;du dx
2					x cosx					2
2) x sinxdx	dv sinxdx;			v cosx					( cosx)dx
								02
								02
0										0
0										0

114

2 cos 2 0 cos0 sinx02 sin 2 sin0 1;

lnx t;

xlnx

если x e,то t 1;

если x e

,то t 2

ln2 ln1 ln2.

6.9.Задания для самостоятельной работы

6.1.Найдите первообразные для данных функций:

f x

;

2) f x 4x 5;

f x

;

4) f x x3 ;

f x

;

6) f x 5ex ;

7) f x axlna ;

8) f x 3

;

f x sin( x);

10) f x cos6x;

11)

f x 104 ;

12) f x 5

6.2. Найдите неопределенные интегралы:

;

4 x

x 3

1 x

cos

5) e2xdx;

6) e5xdx;

;

8) dxx

;

16 x

10) dxx ;

9) 10xdx;

11) ex cosxdx;

12) xlnxdx.

6.3. Вычислите данные определенные интегралы:

1) 1 exdx;

2)2

2xdx;

3)1

;

x 1

xdx

4) 2

;

5) 2 cosxdx;

sinxdx.

1 x 1

115

6.4. Вычислите площади геометрических фигур, ограниченных указанными ниже прямыми x a, x b осью OX и графиками функций, определенных на a;b . Сделать рисунок к каждому упражнению.

1) 1;4 и y		;	2) 1;8 и y 3		;	3) 2;1 и y x2 ;
	x			x

4)1;1 и y x12 ; 5) 0;3 и y x x .

6.5.Вычислите площади геометрических фигур, ограниченных линиями. Сделать рисунок к каждому упражнению.

1)	y x2 и y x;				2) y x3 и y x2 ;					3) y 2x 1, x 1иy x 1;
4)	y x2 и y			;	5) y x2 и y x;					6) y x2 2x 2 и y x 2.
4)	y x2 и y		x	;	5) y x2 и y x;					6) y x2 2x 2 и y x 2.
		6.6. Вычислите определенные интегралы:
	10					a 2					1
1)		xdx;			2)			dx;		3)			3x2		x
1)		xdx;			2)			dx;		3)			3x2		x		1 dx;
	0					a 2					0
4) 2 x3dx;					5) 3		x4		dx;	6) 1				x5		x6		dx;
4) 2 x3dx;					5) 3				dx;	6) 1								dx;
	0					0		3			0	7			6
	1
7)	e2xdx;				8) ex cosxdx.
	0					0

7.ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ

ИСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

7.1.Вычислить следующие пределы:

а) lim

2x3 3x2

;

б)lim

x2 3x 2

;

в)

lim

arcsin3x

x4 5x3

x2 4

sin2x

x 2

x 0

а) lim

x3 2

;

б) lim

x2 6x 7

;

в)

lim

1 cosx

2x3 8x

x2 9x 14

5x2

x 7

x 0

116

а) lim

3x3 3x2

;

2x3 x 2

а) lim3x4 x2 6

;

2x4 x 2

а) lim

2x2 6x 5

;

5x2 x 1

а) lim

3 x 5x4

;

x x4 12x 1

а) lim

x 2x2 5x4

;

2 3x x4

а) lim5x2 3x 1

;

3x2 x 5

а) lim

7x4 2x3

;

x4 3

10.

а) lim

8x5 3x2 9

;

2x5 2x2 5

11.

а) lim

x3 5

;

x x3 8x 1

12.

а) lim

5x4 2x3 1

;

x4 2x2

13.

а) lim

x3 2x 8

;

2x3 x 6

14.

а) lim

3x4 3x 2;

x4 3x3

б) lim	x2 x 2	;	в) lim	1 cos7x	.
	x2 x			xsin7x
x 1			x 0

б)

lim

x2 9

;

в) lim

arctg3x

x2 2x

x 3

x 0

б)

lim

3x 6 ;

в)

lim

tg3x

x 2

x3 8

x 0

2sinx

б)

lim

3x2 5x 2

;

в) lim

tg2x

x2 1

x 1

x 0

sin3x

б)

lim

6 5x x2

;

в)

lim

1 cos3x

x3 8

sin2x

x 2

x 0

б)

lim

x2 9

;

в)

lim

tg22x

x2 3x

x 3

x 0

б)

lim

x2 10x 25

;

в)

lim

1 cos4x

x2 4x 5

x 5

x 0

б)

lim

x3 8

;

в)

lim

sin7x

x2 x 2

sin5x

x 2

x 0

б)

lim

x2 2x 3

;

в)

lim

x2 9

sin3x

x 3

x 0

б)

lim

x2 4x 5

;

в)

lim

sinx

x2 25

arctg2x

x 5

x 0

б)

lim

x2 4x 4

;

в)

lim

cos2x 1

x2 3x

x sinx

x 2

x 0

б)

lim

x2 3x 2

;

в)

lim

tgx

x2 4x

sin2x

x 1

x 0

117

15. а) lim

16. а) lim

17. а) lim

18. а) lim

19. а) lim

20. а) lim

7.2.

24xx33 xx2 5x;

3xx33 154x ;

8x2x3 6x8 1;

24xx33 xx2 7x;

x4 18x 1; 4x4 3x

x3 8x 11; 2x3 16x

Найдите производные

б) lim	x2 4	;
	x2 x 2
x 2

б) limx xx22 5xx 66;


б) lim			x2	4x 4		;

x 2 x2 3x 2
б) lim	x2			1	;

x 1 x3				1
б) lim		x2		4x 3		;

x 3 x2 x 6

б) xlim3 x2 x22x9 3;

заданных функций:

в)	lim	x2	.
		arctg2x
	x 0

в) limarcsinx.

x 0 5x

в) limx cos3x2x 1.

в) limx sin3x2x2 .

в) lim		x2	.
	1	cos4x
x 0

в) limarcsin3x. x 0 arctgx

а)

y sin(3x 5) ;

б)

y x arcsin x3;

1 e

г)

;

д)

y 5sinx ;

y ln

а)

y (lgx)3;

б)

y x 4 x ;

г)

y x2 log2

2x;

д)

y arccos 1 3x ;

а)

;

б)

y cos arcsin x ;

г)

y ex sin 3x;

д)

y 5sinx 2x;

в)

е)

в)

е)

в)

y ln x ;

y5x3 x 4x.

yxctgx2 1;

y 3 x5 4x3 10.

y 3x2 1; sin x

yx 4 ln(2x 1).

x32

118

4.а)

г)

5.а)

г)

6.а)

г)

7.а)

г)

8.а)

г)

9.а)

г)

10.а)

г)

11.а)

г)

12.а)

y2x2 ;

yx 11 xx2 ;

y10tgx;

б)	y log5 x 1 ;	в)	y 1 tg2x ;
д)	y (x2 1)arccos x;	e)	y e4x 5
						.
					x	.
б)	y x2 log3 x;	в)	y sin(ex)	;
			x 1

y arcsin x 2;	д) y	e x2	;
		3 x

y 3 x 1 5 x 1 ;	б) y tg x2 5 ;

y x cos2 x 1 ;

ylog3 tgx ;

yx arctgx;

y(cos2x)3;

y	x5
			;
	x3
		2

д)	y		8sin3x				;
					5x

б)	y			1		x
				3		;

д)	y	1 ln x					;
				lgx

б) y lg x sin x ;

д) y 35xx2 ;

e) y 2x5 x73 3x 6.

в) y 11 lnlnxx;

e) y 2 3x6 sin4x.

в) y 1 x3 ; 1 x3

e) y arcsin5 ex .

в) y arctg x;

e) y lg(x2 5x) e3.

y x arctg				x 1;	б)	y arccosx ;
	sin x						x
y				;	д)	y x 10 x ;
	1 cosx

y lg x2		1 ;			б)	y x sin x3;
y	2x		;		д)	y	1 cosx	;
	arctgx
							sin x
y tg x sin x ;					б)	y lgx xarccosx;
y	1 x3		;		д)	y arctg 1 x ;
	x

y arctg(sinx);					б)	y	log3 x ;

в) y

log2 x 5

;

e) y 6x2 3 (x 2)2 .

в) y 5tgx;

3x 2

в)

y cos2x ;

3x34

в)

y x 5x;

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.71 Mб3Методическое пособие 669.pdf
#
30.04.2022730.62 Кб22Методическое пособие 67.doc
#
30.04.2022340.58 Кб6Методическое пособие 67.pdf
#
30.04.20223.72 Mб5Методическое пособие 670.pdf
#
30.04.20223.72 Mб7Методическое пособие 671.pdf
#
30.04.20223.74 Mб5Методическое пособие 672.pdf
#
30.04.20223.74 Mб1Методическое пособие 673.pdf
#
30.04.20223.79 Mб4Методическое пособие 674.pdf
#
30.04.20223.93 Mб5Методическое пособие 675.pdf
#
30.04.20223.93 Mб54Методическое пособие 676.pdf
#
30.04.20223.97 Mб4Методическое пособие 677.pdf