Методическое пособие 388

В общем случае дифференциальное уравнение n − го порядка может быть записано в виде

Если уравнение (6.1) удаётся разрешить относительно старшей производной, то получаем уравнение в нормальной форме:

Решением дифференциального уравнения (6.1) или (6.2) называется любая действительная функция y f (x) вместе со своими производными, обра-

щающая данное дифференциальное уравнение в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется

интегрированием дифференциального уравнения.

Пусть дано дифференциальное уравнение y 3x2. , dydx 3x2 , dy 3x2dx, dy 3x2dx, y x3 C.

Из этого примера видно, что решение y x3 C представляет собой бес-

численное множество функций (решений). Такая совокупность функций называется общим решением. Если известно значение произвольной константы С, то решение называется частным.

Например, найдем то частное решение уравнения, которое соответствует функции, проходящей через точку М( 1,2) :

y x3 C , 2 ( 1)3 C ,C 3, y x3 3.

Графикрешениядифференциальногоуравненияназываетсяинтегральнойкривой. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения представляет собой бесчисленное множество интегральных кривых. Частное решение

есть одна интегральная кривая.

§ 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 2.1. Задача о демографическом процессе

Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности k1 и k2 соот-

ветственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени (описать протекание демографического процесса).

Решение. Пусть y y(t) число жителей региона в момент времени t . Прирост населения y за время t равен разности между числом родив-

шихся и умерших за это время, т. е.

y k1 y t k2 y t .

81

где С − постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени): y(t t0 ) y0.

2.2. Задача о свободном падении тела

Найти закон движения свободно падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t 0 и начальная скорость падения равна нулю.

Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой v gt . Решение. Скорость прямолинейного движения есть производная пути по

Подставляя эти значения в последнее равенство, находим C 0. Окончательно получаем

s gt 2 . 2

В приведенных задачах мы получили простейшие дифференциальные уравнения. Однако в большинстве случаев естественные и технические процессы описываются гораздо более сложными дифференциальными уравнениями.

Решением дифференциального уравнения (6.4) или (6.5) является некоторая функция y (x) , удовлетворяющая этому уравнению. Так как отыскание

82

решения связано с интегрированием, то таких функций имеется бесчисленное множество:

где С – произвольная постоянная.

Это множество решений называется общим решением дифференциального уравнения. Если оно получено в неявном виде, то называется общим

интегралом.

Теорема Коши. Если в уравнении y f (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная f y (x, y) непрерывны в точке M 0 (x0 , y0 ) некоторой окрестности точки D , то существует единственное решение y f (x) этого уравнения, удовлетворяющее условию

Условие (6.7) называется начальным условием задачи (уравнения), а задача нахождения частного решения уравнения (6.5) – задачей Коши.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что через любую точку M 0 (x0 , y0 ) области D проходитоднаединственнаяинтегральнаякривая.

Таким образом, чтобы из бесчисленного множества интегральных кривых выделить одну, надо в общее решение (или общий интеграл) подставить вместо x и y их значения x0 и y0 и найти константу С. Геометрически это означает,

что среди всего множества интегральных кривых надо найти ту, которая прохо-

дит через точку M 0 (x0 , y0 ).

Примечание. С целью упрощения в дальнейшем будем довольно часто использовать для дифференциального уравнения аббревиатуру: ДУ.

3.2. Поле направлений. Изоклины

Дифференциальное уравнение y f (x, y) имеет следующее геометриче-

ское истолкование. Это ДУ устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y касательной к кривой, про-

ходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y f (x, y) определяет совокупность касательных (поле направлений) на плоскости 0xy.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближённого построения интегральных кривых, т. е. геометрического решения ДУ. Уравнение изоклины можно получить, если положить y c , т. е. f (x, y) c.

Пример. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых дифференциального уравнения y 2x.

Решение. Уравнением изоклин этого ДУ будет 2x c , т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси 0y : x 2c (рис. 6.1).

83

y

при c 2 , x 1 , tg 2 , arctg2 63o и т. д.

Построив изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси 0x под определенным углом, по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

§ 4. Типы дифференциальных уравнений первого порядка 4.1. Дифференциальныеуравнениясразделяющимисяпеременными

Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида

В этом уравнении одно слагаемое содержит только x , а другое только y .

Такие ДУ называют дифференциальными уравнениями с разделенными

переменными.

Проинтегрировав обе части этого равенства, получаем

M (x)dx N ( y)dy C,

(x) ( y) C.

Получили общий интеграл уравнения.

84

Пример. Решить дифференциальное уравнение: cos xdx dyy 0.

Решение. Данное ДУ с разделёнными переменными, поэтому

Получили общий интеграл данного ДУ. Если разрешить полученное решение относительно y , то получим общее решение, т. е.

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Этот вид ДУ характеризуется тем, что коэффициенты при дифференциалах dx, dy представляют собой произведения двух функций, одна из которых

зависит только от x , а другая – только от y .

Будем называть функцию лишней, если ее аргумент отличается от аргумента (переменной), который стоит под знаком дифференциала. В уравнении (6.9) N1 ( y) и M 2 (x) являются лишними функциями.

Уравнение (6.9) приводится к уравнению (6.8), если поделить обе части уравнения (6.9) на произведение лишних функций N1( y) M 2 (x) 0 .

т. е. общий интеграл уравнения.

При делении ДУ на лишние функции могут быть потеряны некоторые решения, поэтому следует отдельно решить уравнение

N1( y) M 2 (x) 0

и установить те решения, которые не могут быть получены из общего решения, так называемые особые решения.

Уравнение вида y f1(x) f2 ( y) также сводится к ДУ с разделенными пере-

менными. Дляэтогодостаточноположить y dydx иразделитьпеременные.

Примечание. В уравнении (6.9) переменные можно разделить также, пользуясь свойством равенства двух отношений (пропорций):

ba dc ad bc .

85

Пример 1. Решить ДУ: x3 (1 y2 ) x2 ydy 0 .

Решение. Здесь (1 y2 ) и x2 – лишние функции. Разделим обе части на их произведение. Получим ДУ с разделёнными переменными:

x ln x ln y y C , ln xy x y C.

Получили общий интеграл. Здесь уравнение xy 0 (произведение лишних функций), имеет решения: x 0 , y 0. Они не входят в общий интеграл, поэтому являются особыми решениями. Подставляем в общий интеграл на-

чальные условия: ln 2 12 2 12 C , C 32 . Таким образом, частным интегралом является функция ln xy x y 32 .

4.2. Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция f (x, y) называется однородной функцией n го порядка однородности, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на n , т. е. выполняется равенство

называется однородным, если функция f (x, y) является функцией однородной нулевого порядка.

Покажем, что ДУ (6.12) можно записать в виде y y .

x

86

Однородное ДУ (6.12) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки):

xy u или, что то же самое,

где P(x, y) , Q(x, y) функции однородныеодинакового порядка однородности.

Переписав уравнение (6.15) в виде dy P(x, y) , получаем ДУ вида (6.12). dx Q(x, y)

При интегрировании уравнений вида (6.15) можно непосредственно сделать подстановку (6.13) – (6.14) и привести уравнение к ДУ с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение 2xy x2 y2 .

87

4.3. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Особенностью линейного ДУ является то, что искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени.

Рассмотрим метод решения линейных уравнений (метод Бернулли), который заключается в том, что решение уравнения (6.17) ищется в виде произведения двух функций u u(x), v v(x) , т. е.

Так как y u v uv , то подстановка этих выражений в уравнение (6.17) приводят его к виду

Подберем функцию v v(x) так, чтобы выражение в квадратных скобках было равно нулю, т. е. решим уравнение

Уравнение (6.20) с разделяющимися переменными, решая которое находим функцию v(x) :

88

Подставляя найденную функцию (6.21) в (6.22), получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Окончательно получаем общее решение данного ДУ:

Окончательно записываем общее решение данного уравнения: y uv ex2 С e x2 , y 1 С e x2 .

ПРИЛОЖЕНИЕ § 5. Метод вариации произвольной постоянной

Сноваобратимсяклинейномудифференциальномууравнениюпервогопорядка:

называется однородным дифференциальным уравнением или дифференциаль-

ным уравнением без правой части.

Общее решение уравнения (6.24) можно найти методом вариации про-

извольной постоянной, который называется также методом Лагранжа.

Решаем сначала однородное дифференциальное уравнение (6.25),

89

Получили общее решение однородного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (6.24) будем

искать в таком же виде, что и (6.26), но для этого постоянную C в полученном решении (6.26) заменяем функцией C(x) , т. е. полагаем C C(x) . Таким образом,

задача состоит в том, чтобы найти такую функцию C(x) , чтобы функция

Подставляя эту функцию в равенство (6.27), получим общее решение данного уравнения (6.24):

называется уравнением Бернулли.

Если n 1, уравнение (6.28) является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

dyy [ f (x) p(x)]dx.

Если n 0 , то уравнение приводится к линейному дифференциальному уравнению (6.24). Уравнения Бернулли можно решать заменой: y uv .

90