Методическое пособие 388

91

Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Основные понятия и определения Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

y x2 С1x С2.

Следовательно, решение дифференциального уравнения 2-го порядка содержит две произвольные постоянные. Таким образом, решением ДУ второго порядка является любая дифференцируемая функция y (x,C1,C2 ) – это об-

щее решение или Ф(x, y,С1,С2 ) =0 – общий интеграл.

§ 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижения порядка

ОднимизметодовинтегрированияДУявляетсяметодпониженияпорядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстанов-

ки) данное ДУ второго порядка сводится к уравнению первого порядка.

92

1 Случай. y f (x) (правая часть уравнения содержит только независи-

мую переменнуюx ).

Введем новую переменную (сделаем замену переменной):

93

Для определения с1 воспользуемся первым начальным условием:

Воспользовавшись вторым начальным условием, получим C2 1.

Следовательно, e y 1 x.

Примечание. В дальнейшем, для сокращения записи лекций, будем использовать следующую аббревиатуру: дифференциальное уравнение –ДУ, линейное однородное дифференциальное уравнение –ЛОДУ, линейное неоднородное дифференциальное уравнение – ЛНДУ.

§ 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

В приложении к главе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения второго порядка и основные свойства их решений. Частным случаем являются линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые имеют вид

в противном случае (7.3) – неоднородным (ЛНДУ).

Согласно свойствам решений (о структуре общего решения ЛОДУ), общее решение уравнения (7.4) есть линейная комбинация двух частных линейно независимых решений y1 и y2 , т. е.

Для нахождения общего решения уравнения (7.4) достаточно найти два частных линейно независимых решения и составить линейную комбинацию этих частных решений.

Будем искать частные решения в виде y ekx , где k – некоторое посто-

янное число.

Продифференцируем это решение дважды и подставим полученные производные в уравнение (7.4):

y kekx , y k 2ekx , k 2ekx k p ekx q ekx 0 ,

94

Уравнение (7.6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ.

Этоуравнениеявляетсяквадратнымуравнениемотносительнонеизвестной k . Чтобы составить характеристическое уравнение, достаточно в уравнении

линейно независимым решением будет, например, функция y2 xekx , так как их

отношение y1 xekx x const . y2 ekx

Следовательно, в этом случае, общее решение ЛОДУ имеет вид

В этом случае частными решениями уравнения (7.6) являются функции

95

По формуле Эйлера: eiz cos z isin z , y1 e x ei x e x cos x ie x sin x ,

y2 e x e i x e x cos x ie x sin x.

В теории дифференциальных уравнений известно, что если комплексная функция является его решением, то действительная и мнимая части этой функ-

Пример. Решить уравнение y 6 y 25 0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение: k 2 6k 25 0. Находим корни уравнения: k1,2 3 4i , где 3 , 4.

По формуле (7.9) получаем общее решение данного уравнения:

y e3x (С1 cos4x С2 sin 4x).

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (7.4) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7.6) и применению формул (7.7)-(7.9) общего решения уравнения (не прибегая к интегрированию).

§ 4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)

4.1. Метод вариации произвольных постоянных

Французскому математику Лагранжу принадлежит общий метод нахождения частных решений неоднородного линейного дифференциального уравне-

ния (ЛНДУ), называемый методом вариации произвольных постоянных.

Этот метод применим как к уравнениям с постоянными коэффициентами, так и к уравнениям, в которых коэффициенты являются функциями от x , и состоит в

96

т. е. предполагаем, что постоянные C1 и С2 являются функциями независимой переменной x , при этом функции С1(х) и С2 (х) находятся из системы (см. прил.):

Полагая теперь, что C1 C1(x) и C2 C2 (x) − функции переменной x , решение уравнения будем искать в виде

Находим первые производные этих функций и частных решений y1, y2 и составляем систему:

где С3 и С4 − некоторые произвольные постоянные.

Подставляя найденные функции в (7.12), окончательно получаем

97

где первая круглая скобка является общим решением однородного уравнения, а вторая − частным решением данного неоднородного уравнения.

Это справедливо и для общего случая (свойство о структуре общего ре-

шения неоднородного уравнения), т. е. общее решение неоднородного уравне-

ния равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения y y y *, где y общее решение ЛОДУ (7.4), y * частное решение ЛНДУ (7.3).

4.2. Метод неопределенных коэффициентов

Следует отметить, что метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, так как связан с необходимостью интегрирования, поэтому в ряде случаев (если правая часть неоднородного уравнения имеет некоторый специальный вид) используют другой, более простой метод, основанный на структуре общего решения неоднородного уравнения.

Сначала находят общее решение однородного уравнения, а затем по виду правой части составляют частное решении неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами, и задача сводится к отысканию этих коэффициентов.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение

y py qy f (x),

где p и q − некоторые действительные числа.

1. Пусть правая часть уравнения представляет собой произведение показательной функции (экспоненты) на многочлен степени n :

где Pn (x) a0 xn a1xn 1 ... an 1x an .

Возможны следующие частные случаи.

Случай 1. Число не является корнем характеристического уравнения: k2 pk q 0

где Qn (x) A0 xn A1xn 1 ... An − многочлен степени n с неопределёнными

коэффициентами.

Случай 2. Число является простым корнем характеристического уравнения. В этом случае в равенстве частное решение искать в виде

98

Cлучай 3. Число является кратным корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение искать в виде

Замечание. Если степень n многочлена Pn небольшая, то удобно многочлены Qn с неопределенными коэффициентами записывать в виде

Q1(x) Ax B ,

Q2(x) Ax2 Bx C ,

Q3(x) Ax3 Bx2 Cx D

и. т. д.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y 2 y 3y (2x 1)e2x .

Решение. Здесь f (x) (2x 1)e2x , где n 1 , 2 .

y y y *.

Будем искать сначала общее решение ЛОДУ. Составим характеристическое уравнение k 2 2k 3 0 , найдем его корни: k1 1 , k2 3.

y C1ex C2e 3x .

Так как 2 k1 k2 , т. е. ни один корень характеристического урав-

нения не совпадает с , а в правой части уравнения многочлен первой степени, то частное решение данного уравнения надо искать в виде (7.14) y* (Ax B)e2x .

Находим производные:

y * Ae2x 2(Ax B)e2x ,

y * 4Ae2x 4(Ax B)e2x .

Подставляя их в данное дифференциальное уравнение и сокращая на e2x 0 , получим

8 Ax (6 A 5B) 2x 1 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , приходим к системе уравнений

8A 2,

6A 5B 1.

Находим: A 14 , 101 .

99

Таким образом, частное решение: y* (14 x 101 )e2x , а общее решение

данного уравнения:

y C1e x C2e 3x (14 x 101 )e2x .

Пример 2. Решить уравнение y 2 y 3y (x 2)e3x .

Решение. Здесь n 1 , 3. Составляем характеристическое уравнение и

находим его корни: k 2 2k 3 0 , k1 1 , k2 3. Общее решение ЛОДУ имеет вид

y C1e x C2e3x .

Так как один из корней характеристического уравнения совпадает с , то частное решение следует искать в виде

y* (Ax B)xe3x (Ax2 Bx)e3x .

Находим производные:

y* (2Ax B)e3x 3(Ax2 Bx)e3x ,

y* 2Ae3x 6(2Ax B)e3x 9(Ax2 Bx)e3x .

Подставляя последние три выражения в уравнение и сокращая на множитель e3x 0, получаем равенство

8Ax (2A 4B) x 2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему уравнений, из которой находим коэффициенты А и В:

Пример 3. Составить вид частного решения уравнения y 4y (2x2 1)e4x .

Решение. Здесь n 2 , 4 . Составляем и решаем характеристическое

100