Методическое пособие 388

то lim ul l 0 ux cos uy cos uz cos .

Таким образом, мы получили формулу для вычисления производной функции по направлению:

Производная функции по направлению равна сумме произведений её ча-

стных производных на направляющие косинусы.

Замечание 1. Частные производные функции являются частным случаем производной по направлению.

Например, если 0, 2 , то есть l i , то

6.1. Градиент скалярного поля

При изучении скалярных полей наряду с функцией поля (потенциалом) u F (x, y, z) рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функ-

цией – градиент скалярного поля.

Определение. Градиентом скалярного поля в точке P(x, y, z) , заданного дифференцируемой функцией u F(x, y, z) , называется вектор, равный

gradF(x, y, z) gradF(P) Fx (x, y, z)i Fy (x, y, z) j Fz (x, y, z)k

Другими словами, градиент функции – это вектор, проекциями которого являются частные производные данной функции в данной точке.

Таким образом, в каждой точке пространства задаётся вполне определённый вектор – gradu (векторное поле):

Пример. Найти градиент функции u x2 2y2 z 2 5 в точке P(2, 1,1).

71

Решение. Находим частные производные функции

ux 2x, uy 4y, uz 2z , xux(P) 4,uy(P) 4,uz( p) 2. grad u(P) 4i 4 j 2k.

Между градиентом функции u F(x, y, z) в данной точке и производной по направлению ul в той же точке имеется связь, которая устанавливается

следующей теоремой.

Теорема. Производная функции u u(x, y, z) по направлению вектора l равна проекции градиента этой функции на этот вектор.

Следствие. Производная функции в точке по направлению вектора l имеет наибольшее значение, если этот вектор совпадает с направлением градиента.

Это наибольшее значение равно модулю вектора grad u.

Действительно, из равенства (3.29) видно, что наибольшее значение производной по направлению достигается при 0 . В этом случае

Другими словами, в направлении градиента скалярная функция изменяется быстрее, чем в других направлениях.

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: gradu – есть вектор,

указывающий направление наибольшего возрастания скалярного поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

72

4. Найдите размеры открытого прямоугольного бассейна объёма V , на облицовку которого надо затратить минимум материала.

[x y 3 2V , H 3 22V , где x, y, H – длина, ширина, высота бассейна].

5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 y xy2 xy

взамкнутой области, ограниченной линиями.

Глава 5. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Понятие двойного интеграла 1.1. Задача об объеме криволинейного цилиндра.

73

Рассмотрим тело, ограниченное областью x0y , цилиндрической поверхностью С с направляющей и с образующими, параллельными оси 0z и поверхностью S, уравнение которой z f (x, y) (рис. 5.1).

Для решения поставленной задачи разобьем область произвольным образом на n элементарных (малых) площадок 1 , 2 ,... n . Внутри каждой из

этих площадок выберем по произвольной точке Pk (xk , yk ) , проведем аппликату,

равную значению функции в этой точке, т. е. zk f (Pk ) f (xk , yk )

и построим цилиндр с основанием, равным площади k , а высотой,

равной zk f (Pk ) .

Объем этого цилиндра равен Vk f (xk , yk ) k .

Тело, построенное из таких цилиндров, представляет собой ступенчатое цилиндрическое тело, а его объем V приблизительно равен объему данного

цилиндроида:

n

V V f (xk yk ) k .

k 1

За точное значение объема криволинейного цилиндра примем предел этой интегральной суммы при условии, что число элементарных площадок неограниченно увеличивается, а каждая площадка стягивается в точку:

n

V lim f (xk yk ) k . (5.1)

n k 1

Итак, задача о вычислении объема V цилиндрического тела свелась к нахождению предела некоторой интегральной суммы (5.1).

1.2. Понятие и определение двойного интеграла

Отвлечемся теперь от конкретного содержания задачи и проведем аналогичные рассуждения в общем виде.

Итак, пусть в области плоскости x0y , ограниченной замкнутой линией, задана функция z f (x, y).

Выполним следующие действия.

1. Разобьем область на n малых площадок 1 , 2 ,..., n так, чтобы

сумма площадей этих площадок была равна площади всей области .

2. В каждой малой площадке k выберем произвольную точку Pk (xk , yk ).

Такая сумма называется интегральной суммой, составленной для функ-

ции z f (x, y) .

74

4. Рассмотрим предел интегральной суммы (5.2) при неограниченном увеличении числа n малых площадок и при стягивании каждой из них в точку. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на малые элементарные области k , ни от выбора в каждой из них точек

Функция f (x, y) называется подынтегральной функцией, f (x, y)d по-

дынтегральным выражением, область – областью интегрирования, d – дифференциалом площади.

Если существует конечный предел (5.3), то функция z f (x, y) называет-

ся интегрируемой в области .

Возвращаясь теперь к задаче об объеме, мы видим, что объем криволинейного цилиндра численно равен двойному интегралу от функции z f (x, y) , взя-

1.3. Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Приведем основные свойства двойного интеграла.

1. Если функции f1(x, y) и f2 (x, y) интегрируемые в области , то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем

[ f1(x, y) f2 (x, y)]d f1 (x, y)d f2 (x, y)d .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

kf (x, y)d k f (x, y)d .

3. Если область интегрирования разбита на две непересекающиеся области 1 и 2 , то

f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .

75

5.f (x, y)d f (x, y)d .

§ 2. Вычисление двойного интеграла 2.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Двойной интеграл является пределом интегральной суммы, который не

зависит ни от способа разбиения области интегрирования на элементарные, ни от выбора точки внутри каждой из них. Поэтому область можно разбить на простейшие области прямыми, параллельными осям координат. В этом случае эти области k , кроме пограничных, являются прямоугольниками со сторона-

ми xk è yk (рис. 5.2), а площадь равна k xk yk .

При неограниченном увеличении числа разбиений, то есть при n , элемент площади будет иметь вид d dxdy , а двойной интеграл в декартовых

координатах записывают в виде f (x, y)d f (x, y)dxdy .

y

yk k

xk

Рис. 5.2

2.2. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области

Для вычисления двойного интеграла имеется двумерный аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл

Предположим, что функция f (x, y) непрерывна в этом прямоугольнике и

принимает в нем неотрицательные значения, тогда двойной интеграл равен объему тела с основанием , ограниченного сверху поверхностью z f (x, y) , с бо-

76

z

z f (x, y)

x

b

x

Рис. 5.3

В теории определенного интеграла известна формула, позволяющая вычислять объем тела по известной площади поперечного сечения:

b

V S(x)dx ,

a

где S (x) − площадь поперечного сечения данного тела, проходящего через точку x (a x b) и перпендикулярного к оси 0x . Так как рассматриваемое сече-

ние является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции z f (x, y) , где x фиксировано, c y d , то будем иметь

c

Из этих трёх равенств (5.6 – 5.8) следует, что

Итак, вычисление двойного интеграла свелось к вычислению двух определённых интегралов; при вычислении внутреннего интеграла (записанного в квадратных скобках) переменная x считается постоянной.

Правая часть формулы (5.9) называется повторным интегралом и обозначается так:

77

Аналогично можно показать, что

Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

2.3. Вычисление двойного интеграла по произвольной области

Определение. Область называют правильной областью (стандартной),

если ее граница состоит из графиков двух непрерывных функций y y1(x) и y y2 (x) , определенных на отрезке [a,b] и таких, что y1(x) y2 (x) и из отрезков прямых x a и x b (рис. 5.4).

y

y y1(x)

y y2 (x)

Рис. 5.4

Теорема. Если функция z f (x, y) непрерывна в области , то

Поясним смысл этой формулы. Для того, чтобы вычислить двойной интеграл в декартовых координатах f (x, y)d f (x, y)dxdy , нужно сначала вы-

y (x)

Этот интеграл называется внутренним интегралом ( y меняется от линии y1 (x) до линии y2 (x) , поэтому результат вычисления этого внутреннего интеграла

является функцией переменной x ). Интегрируя теперь эту функцию (вычисляем внешний интеграл) в пределах от a до b , получим значение двойного интеграла.

78

Пример. Вычислить двойной интеграл x2 ydxdy , где – область, огра-

ниченная линиями y x2 , x y2 .

Решение. Изобразим область в системе координат (рис. 5.5). y

Рис. 5.5

Данные линии пересекаются в двух точках: 0(0,0) ,M(1, 1) .

Область является правильной. В этом случае получаем следующие пределы интегрирования:

Двойные и повторные интегралы находят свое применение во многих разделахматематики, имеющихнепосредственныеэкономическиеприложения.

79

Вшкольном курсе математики мы уже встречались с понятием уравнения: алгебраические, логарифмические, тригонометрические уравнения и др.

На основании условий задачи составляли соотношение, связывающее неизвестную величину с данными величинами. Такое соотношение называли уравнением. Решая его, находили неизвестную величину.

Вматематическом анализе при решении многих задач встречаются соотношения, в которые входят неизвестная функция и ее производные или дифференциалы. Задача состоит в том, чтобы найти эту неизвестную функцию. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями.

Определение. Уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Примеры.

1. y 2xy sin x.

2.y 3y 5x3.

Если искомая функция y является функцией одной переменной x , то

дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то оно называется уравнением в частных производных.

Мы будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

80