Методическое пособие 388

ниями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты.

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение. Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

.........................................

Отсюда находим с2 с4 ... 0, с3 31!, с5 51!, с7 71!,....

Получили искомое частное решение уравнения y sin x .

141

142

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Символика обозначений

N множество натуральных чисел; Z множество целых чисел;

Q множество рациональных чисел;

R множество действительных чисел;a,b,c,... элементы множества;

Ш – пустое множество;

[a,b] замкнутый промежуток (отрезок) с началом a и концом b , причём a и b

принадлежат промежутку;

(a,b) интервал с началом a и b , причем a ,b не принадлежат промежутку; (a, b] , [a, b) полуоткрытые интервалы, где в первом – конец a,

а во втором конец b не принадлежит интервалу; ( , ) бесконечный интервал;

[a, ) , (a, ), ( , a], ( , a) полубесконечные интервалы, где конец a, стоящий у квадратной скобки, принадлежит интервалу;

следует;

, равносильность;

dy df (x) f (x)dx – дифференциал функции f (x) ;n сумма элементов от 1 до n;

k1

f (x)dx неопределённый интеграл от функции f (x) ;

143

3. Свойства натуральных логарифмов

рифмов к натуральным и наоборот.

144

Библиографический список

1.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 3 т;

т. 1-2. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1968. – 748 с.

2.Шнейдер, В.Е. Краткий курс высшей математики / В.Е. Шнейдер, Ф.И. Слуцкий, А.И. Шумов. – М.: Высшая школа, 1972. – 473 с.

3.Кудрявцев, В.А.Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев. –

М.: Наука, 1989. – 655 с.

4.Щипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для втузов / В.С. Щипачёв. – М. : Высшая школа, 1996. – 231 с.

5.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – М.: Айри-пресс, 2004. – 608 с.

6.Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант. –

М.: Наука, 1967, – 383 с.

7.Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г.И. Запорожец. – М. : Наука, 1964. – 684 с.

8.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч; ч. 2. / П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я Кожевникова. – М.:

ООО Издат. дом «ОНИКС», 2003. – 416 с.

9.Муштенко, В. С. Интегрирование : курс лекций /В. С. Муштенко; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. − Воронеж, 2006. − 128 с.

10.Муштенко, В. С. Неопределенный и определенный интегралы : метод. указания и задания по математике / Воронеж. гос. арх.- строит. ун-т; сост.: В. С. Муштенко, Л. В. Стенюхин, Л. В. Акчурина. Воронеж, 2003. −46 с.

145

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ТЕМА 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……………………….. 4

Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА………………….......................... 4

§1. Комплексные числа и действия над ними…………………….......... 4 1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел…………………........... 4 1.2. Геометрическая форма комплексных чисел……………………....... 5 1.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел………………....... 6 1.4. Показательная форма комплексных чисел…………………............. 8

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………...... 9

§2. Разложение многочленов на множители……………………............ 9

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………...................... 10 Глава 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ…................................... 10

§1. Первообразная функции и неопределенный интеграл…….............. 11 1.1. Свойства неопределенного интеграла………………………............ 12 1.2. Таблица основных неопределенных интегралов…………............... 13

§2. Основные методы интегрирования……………………..................... 15 2.1. Метод разложения………………………………………..................... 16 2.2. Метод замены переменной…………………………………………... 16 2.3. Интегрирование по частям…………………………………………... 17

2.4. Интегрирование рациональных функций…………………............... 19 2.5. Интегралы от тригонометрических функций………………………. 20 2.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций………........ 21

2.7. «Неберущиеся интегралы»………………………………………....... 22 ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………….................. 23

§3. Некоторые методы интегрирования функций………….................... 23 3.1. Интегрирование выражений,

содержащих квадратные трёхчлены…....................................................... 24

3.2. Интегрирование рациональных функций………………………....... 24 3.3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций……..... 27

УПРАЖНЕНИЯ…………………………………….................................. 29

Глава 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ……………………............. 30

§1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла…........... 31

1.1. Задача о площади криволинейной трапеции…….............................. 31 1.2. Задача об объеме произведенной продукции…................................. 32

1.3. Понятие и определение определенного интеграла……………........ 33 1.4. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла…….................................................................... 34

§2. Связь определённого интеграла с неопределённым.

Формула Ньютона-Лейбница……………………….................................. 34

§3. Свойства определенного интеграла……………………..................... 35

§4. Методы вычисление определенного интеграла................................. 37 4.1. Замена переменной в определенном интеграле………………......... 37

146

4.2. Интегрирование по частям в определенном интеграле ……............ 38

§5. Геометрические приложения определенного интеграла………....... 39

5.1. Вычисление площадей плоских фигур……………........................... 39

5.2. Дифференциальный подход к решению прикладных задач……..... 41

5.3. Вычисление объемов тел вращения…................................................ 41

§6. Несобственные интегралы………………............................................ 43

6.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами………….... 43 6.2. Несобственные интегралы от разрывных функций…………........... 45

§7. Приближенное вычисление определенных интегралов………........ 46

7.1. Формула трапеций……………………………..................................... 47

§8. Использование определенного интеграла в экономике………….... 48

ПРИЛОЖЕНИЕ…….................................................................................. 50

§9. Другие задачи, приводящие к понятию

9.1.Задача о длине пути неравномерного движения……........................ 50

9.2.Задача о работе переменной силы……………………....................... 50

§ 10. Связь определенного интеграла с неопределенным.

Формула Ньютона-Лейбница…………………………….......................... 51 § 11. Формула парабол (Симпсона) ……………………........................... 52 УПРАЖНЕНИЯ…….................................................................................. 54

ТЕМА 2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ……............ 55 Глава 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ……………................... 55

§ 1. Основные понятия функции нескольких переменных……….......... 55

1.1.Функции двух переменных…………………….................................... 56

1.2.Предел и непрерывность функции двух переменных…………....... 58 § 2. Частные производные функции двух переменных…………………….......................................................... 59

2.1.Геометрический смысл частных производных……………….......... 60

2.2.Дифференциал функции……………………....................................... 61

2.3.Геометрический смысл дифференциала……………………............. 62

2.4.Производная по направлению………………….................................. 62

2.5.Градиент функции……………………………..................................... 64

§ 3. Экстремум функций двух переменных………………………........... 64

3.1.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных…...................................................................... 66

§ 4. Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов………..... 67 § 5. Функции нескольких переменных в экономике……………............. 68

ПРИЛОЖЕНИЕ……….............................................................................. 70

§ 6. Производная функции по направлению в скалярном поле………... 70

6.1.Градиент скалярного поля…………………………………................ 71 УПРАЖНЕНИЯ………………………………………….......................... 73

Глава 5. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА………………........ 73

§ 1. Понятие двойного интеграла………………………........................... 73

147

1.1.Задача об объеме криволинейного цилиндра…………………......... 73

1.2.Понятие и определение двойного интеграла………………….......... 74

1.3.Свойства двойного интеграла…………………………….................. 75

§1. Основные понятия и определения………………………................... 80

§2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям……........... 81

3.1.Основные понятия и определения……………………………............. 82

3.2.Поле направлений. Изоклины……………………………….............. 83

сразделяющимися переменными……....................................................... 84

4.2. Однородные дифференциальные уравнения ………………............. 86 4.3. Линейные уравнения первого порядка………………………........... 88

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………...... 89

§ 5. Метод вариации произвольной постоянной………………............... 89

5.1. Уравнения Бернулли………………………………………................. 90 УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………………….......... 90

Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА…........................................................................... 92

§ 1. Основные понятия и определения…………………………............... 92

§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка допускающие понижения порядка……………………………................. 92

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами (ЛОДУ)………………………............. 94

5.1.Метод вариации произвольных постоянных ……………………..... 104

5.2.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

148

второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)………........... 105

УПРАЖНЕНИЯ………………………………………………………….. 106

§1. Геометрическая прогрессия………………………………................. 107

§2. Числовые ряды……………………………………………….............. 108

2.1. Основные понятия и определения……………………………........... 108 2.2. Простейшие свойства числовых рядов………………………........... 109

§3. Необходимый признак сходимости ряда……………………............ 111

§4. Достаточныепризнакисходимости………………………………........... 112

4.1. Признаки сравнения рядов………………………………………….. 113 4.2. Признак Даламбера…………………………………………………... 115 4.3. Радикальный признак Коши…………………………………....... 117

§5. Ряды с членами произвольного знака…………………..................... 118 5.1. Знакочередующиеся ряды.................................................................... 118 5.2. Знакопеременные ряды…………………………………………......... 120 ПРИЛОЖЕНИЕ……………...................................................................... 122

§6. Геометрическая прогрессия………………………………………..... 122

§7. Интегральный признак сходимости…………………….................... 123 УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………...................... 124 Глава 9. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ……………………………………........ 126

§1. Функциональные ряды……………………………............................. 126 1.1. Основные понятия……………………………………………............. 126

§2. Степенные ряды………………………………………………............ 127

2.1. Интервал и радиус сходимости степенного ряда…………………... 128

2.2. Свойства степенных рядов………………………………………....... 131

§3. Разложение функций в степенные ряды…………………................. 132 3.1. Разложение в степенные ряды некоторых функций……………...... 132

§4. Ряды Тейлора и Маклорена……………………………...................... 132

4.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена………............................................................................... 134

§5. Приложения степенных рядов…………………………..................... 136

5.1. Приближённое вычисление значений функций………………......... 137 5.2. Приближённое вычисление определённых интегралов………........ 138 5.3. Приближённое решение дифференциальных уравнений………….. 139

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………….............. 140

§6. Способ неопределенных коэффициентов решения

Оглавление……………………………………………………………….... 146

149