Методическое пособие 388

Так как xz [dxdz ]y const MNNK tg , на основании геометрического смысла обычной производной имеем xz tg .

Аналогично yz tg , где угол, образованный с осью 0 y , касательной к линиипересеченияповерхностиплоскостью, перпендикулярнойкоси 0 y.

2.2. Дифференциал функции

Согласно (3.3) полное приращение функции двух переменных имеет вид

z f (x x, y y) f (x, y).

Проведем следующие преобразования:

z [ f (x x, y y) f (x, y y)] [ f (x, y y) f (x, y)] x z y z . (4.4)

Частные приращения x z, y z можно рассматривать как приращения

функции одной переменной.

Для функции двух переменных получаем равенства

Подставляя (4.5) в (4.4), получим

Таким образом, полное приращение представлено в виде двух частей (слагаемых) (4.6). Сумма первых двух слагаемых [ xz x yz y] представляет собой

главную часть приращения функции, а вторая часть – бесконечно малую более высокого порядка малости, чем приращения аргументов x и y .

Определение. Главная часть приращения функции z f (x, y) , линейная относительно приращений аргументов x , y , называется дифференциалом функции и обозначается символом dz или df (x, y) .

Таким образом,

61

Таким образом, дифференциал функции двух переменных равен сумме произведений ее частных производных на соответствующие дифференциалы аргументов.

2.3. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция z f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) дифференциал

dz f x(x0, y0) x f y (x0, y0) y

или

здесь Z – аппликатакасательнойплоскости, а z – аппликатаповерхности. Правые части уравнений (4.9) и (4.10) совпадают, следовательно, левые

части этих равенств тоже равны. В равенстве (4.9) левая часть есть дифференциал функции z f (x, y) в точке P0 , а в уравнении (4.10) левая часть означает

соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 4.2).

z

касательная плоскость

Рис. 4.2

2.4. Производная по направлению

Как уже отмечалось ранее, частная производная выражает скорость изменения функции в направлении соответствующей переменной (оси).

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M (x, y), l некоторое направление, задаваемое единичным вектором

e {cos ; cos }, где e cos2 cos2 1, так как 2 .

62

cos , cos направляющие косинусы вектора l (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Если MM1 l , то x l cos , y l cos ,

следовательно, l z f (x l cos , y l cos ) f (x, y) .

Определение. Производной zl по направлению l функции двух пере-

менных z f (x, y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения l при стремлении последней к нулю, т. е.

Производная zl характеризуетскоростьизмененияфункциивнаправлении l .

Очевидно, что рассмотренные ранее частные производные zx , zy пред-

ставляют производные по направлениям, параллельным соответственно осям

0x и 0y .

63

2.5.Градиент функции

Определение. Градиентом функции z f (x, y) называется вектор, проекциями которого являются частные производные функции, т. е.

grad z izx jzy .

Рассмотрим скалярное произведение вектора grad z и единичного вектора e i cos j cos . Получаем

Сравнивая равенства (4.12) и (4.13), получим, что zl (gradz,e ), т. е. про-

изводная по направлению есть скалярное произведение градиента функции и единичного вектора, определяющего это направление.

Из свойств скалярного произведения двух векторов известно, что оно принимает максимальное значение, если эти векторы одинаково направлены.

Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует макси-

мальную скорость изменения функции в этой точке.

Пример. Найти наибольшую скорость возрастания функции z x2 y 5y3 в точке P0 (2,1) .

Решение. Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента этой функции. Находим grad z 2xyi (x2 15y2 ) j , а в точке

P0 (2,1) grad z 4i 11 j . Следовательно, наибольшая скорость возрастания функции равна gradz P0 42 112 137 .

Зная градиент функции в каждой точке, можно, по крайней мере, приближенно строить линии уровня функции. Линии уровня можно построить следующим образом. Предположим, мы начинаем с точки M 0 (x0 , y0 ). Построим

градиент в этой точке. Задаем направление, перпендикулярное этому градиенту. Оно позволяет построить малую часть линии уровня. Далее рассматриваем близкую к ней точку M1(x1, y1) и строим градиент в этой точке.

Продолжая процесс, можно с определенной погрешностью построить линии уровня.

§ 3. Экстремум функций двух переменных

Понятия максимума и минимума для функции двух переменных аналогичны этим понятиям для функции одной переменной.

Пусть функция двух переменных z f (x, y) задана в некоторой области D.

64

Определение. Наибольшее (наименьшее) значение функции z f (x, y) в окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) называется максимумом (минимумом) функции в

этой точке, т. е. для всех точек из данной окрестности выполняется неравенство f (M ) f (M 0 ) ( f (M ) (M 0 )) .

Точка M 0 называется точкой максимума (минимума). Максимум и мини-

мумназываютэкстремумом(локальным), аточку M 0 – точкойэкстремума.

Теорема (необходимый признак существования экстремума). В точке экстремума дифференцируемой функции z f (x, y) все ее частные производ-

ные равны нулю

Доказательство. Частная производная функции z f (x, y) по x в точке M 0 (x0 , y0 ) есть производная функции одной переменной (x) f (x, y0 ) в точке x x0. Но в этой точке функция (x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, (x0 ) 0 , то есть fx (x0 y0 ) 0 . Аналогично можно показать,

что f y (x0 , y0 ).

Заметим, что функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция

z x2 y 2 имеет минимум в точке 0(0, 0), но не имеет в этой точке частных

производных.

Точки, в которых первые частные производные функции обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Из сказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди её критических точек. Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума. Например, для функции z xy её первые частные произ-

водные zx y , z y x обращаются в нуль в точке M 0 (0,0) , следовательно это

критическая точка. Но в этой точке экстремума нет, так как в любой окрестности этой точки функция принимает как положительные так и отрицательные значения.

Этотпримерпоказывает, чторассмотренныйпризнакнеявляетсядостаточным. Теорема (достаточный признак существования экстремума). Пусть первые частные производные функции z f (x, y) в точке M 0(x0 , y0 ) равны нулю

( M 0 (x0 , y0 ) критическая точка), а вторые принимают значения

65

При (M 0 ) 0 в точке M 0 экстремума нет.

В случае (M 0 ) 0 точка M 0 может быть, а может не быть точкой экс-

тремума (сомнительный случай). В этом случае необходимы дополнительные исследования (теорему оставляем без доказательства).

Пример. Найти экстремумы функции f (x, y) x3 3xy2 30x 18y. Решение. Находим первые частные производные:

точках M 2 , M 3 экстремумов нет.

Минимум f (M1 ) 72, максимум f (M 4 ) 72.

3.1. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Пусть функция z f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой облас-

ти D и дифференцируема внутри этой области.

Теорема. Функция z f (x, y) в области D достигает наименьшего и

наибольшего значения либо внутри области, либо на ее границе. Если наименьшее и наибольшее значения функция принимает внутри области, то эти точки будут точками экстремума этой функции. Точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения, будут либо точками экстремума (критическими), либо граничными точками области D .

Таким образом, для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной замкнутой области D , следует найти значения функции в критических точках, а также её наибольшее и наименьшее значения на границе области. Наибольшее из всех этих значений будет наибольшим значением функции z f (x, y) в области, самое маленькое – наименьшим значением.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z f (x, y) состоит в следующем.

1.Найти все критические точки функции, принадлежащие области D и вычислить значения функции в них.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y) на гра-

нице области.

3. Сравнить все найденные значения и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m .

66

§ 4. Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов

Вестествознании, в частности в физических, химических, биологических,

аособенно в экономических науках, при обработке результатов наблюдений часто встречается следующая задача: получен ряд значений переменных x и y ,

например, в виде некоторой таблицы, однако характер функциональной зависимости между ними остается неизвестным. По полученным данным требуется найти аналитическое выражение зависимости между этими переменными. Формулы, получаемые при решении таких задач, называются эмпирическими. Один из наиболее эффективных методов получения таких формул – это метод наименьших квадратов.

Пусть мы хотим установить зависимость между величинами x и y (на-

пример, между температурой и длиной металлического стержня). Производим измерения и результаты заносим в табл. 5:

плоскости. Предположим, что точки, изображённые на плоскости соответствующими координатами, лежат почти на некоторой прямой (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Естественно в этом случае считать, что между переменными существует приблизительно линейная зависимость, то есть что y есть линейная функция

от x , выражающаяся формулой

где a и b – некоторыепостоянныекоэффициенты, подлежащиеопределению. Перепишем формулу (3. 35) в другом виде:

Поскольку точки M k (xk , yk ) только приближенно лежат на прямой, определяемой уравнением (4. 16), то и формула эта будет приближённой.

67

Следовательно, подставляя в левую часть формулы (4. 16) вместо x и y их значения xk , yk (k 1,2,3,...n) , взятые из данной таблицы 4, получаем систему равенств

возможности малыми по абсолютной величине. Метод наименьших квадратов состоит в следующем: нужно подобрать коэффициенты a и b так, чтобы сумма квадратов уклонений (погрешностей), то есть

была наименьшей. Если эта сумма окажется достаточно малой, то и сами уклонения будут малыми по абсолютной величине.

Подставляя равенства (4.18) в формулу (4.17), получаем

u (ax1 d y1 )2 (ax2 b y2 )2 ... (axn b yn )2 . (4. 19)

Переменная величина u является функцией двух переменных a и b, которые подлежат определению.

Подберем параметры (неизвестные) a и b так, чтобы функция u получила наименьшее значение, то есть минимум. Для этого необходимо, чтобы ее частные производные равнялись нулю:

u 0, u 0.

x y

Находя частные производные функции u по a è b и приравнивая их к нулю, получаем следующую систему уравнений:

из которой определяют параметры a и b эмпирической формулы (4. 15) и подставляют их в формулу (4.20).

§ 5. Функции нескольких переменных в экономике

Рассмотрим некоторые приложения функций нескольких переменных в экономической теории.

68

Значительная часть экономических механизмов иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня функции двух переменных z f (x.y) .

y

факторов x и y . На рис. 4.5 линии уровня f (x, y) Q изображены сплошными

линиями, а штриховкой выделена так называемая экономическая область, которая характеризуется тем, что высекаемые ею части изоквант представляют собой графики убывающих функций, т. е. увеличение количества одного фактора позволяет уменьшить количество другого, не меняя размера выпуска. Иными словами, экономическая область – это множество значений факторов, допускающих замещение одного из них другим.

Очевидно, что все «разумные» значения x и y принадлежат экономиче-

ской области.

Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об

оптимальном распределении ресурсов.

Линии уровня функции полезности, называемые кривыми безразличия,

также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении.

Понятие частной производной также находит применение в экономической теории. Ранее было введено понятие эластичности функции одной переменной Ex ( y) . Аналогично можно ввести понятие частной эластичности

функции нескольких переменных z f (x1, x2 ,...xn ) относительно переменной xi :

69

Так, например, в производственной функции Кобба-Дугласа z b0 xb1 yb2 , как легко убедиться, Ex (z) b1, Ey (z) b2 , т. е. показатели b1 и b2 приближенно

показывают, на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда x или только объема производственных фондов y на 1 %.

ПРИЛОЖЕНИЕ § 6. Производная функции по направлению в скалярном поле

Рассмотрим функцию u F(x, y, z) , определенную и дифференцируемую в некоторой области D . Возьмем точку M (x, y, z) в этой области и про-

ведём вектор l , выходящий из этой точки MN l , образующий с координатными осями углы , . соответственно. Пусть точка N имеет координаты

N(x x, y y, z z) .

Назовем приращением этой функции в направлении l разность

u F(x x, y y, z z) F(x, y, z) .

Определение. Производной функции u F(x, y, z) по направлению l

Производная функции по направлению равна сумме произведений её ча-

стных производных на направляющие косинусы.

Замечание. Для плоского поля, т. е. для функции двух переменных z f (x, y) формула (4.22) принимает более простой вид.

Так как cos cos( 2 ) sin , то

где i 0,i 1,2,3 при x 0, y 0, z 0 .

70