Методическое пособие 388

(остатки ряда). Аналогично можно доказать, что если к ряду добавить конечное число членов, то полученный ряд будет сходиться.

Из этих свойств следует, что если ряд (8.12) сходится, то его остаток rn S Sn un 1 un 2 ... стремится к нулю при n , т. е.

nlim rn 0 .

Таким образом, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

§ 3. Необходимый признак сходимости ряда

Нахождение n ой частичной суммы Sn и ее предела для произвольного

ряда во многих случаях является трудной задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости: необходимый и достаточный признаки сходимости.

Рассмотрим числовой ряд

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член un стремится к нулю,

т. е. nlim un 0.

Доказательство. Пусть ряд (8.14) сходится и его сумма равна S . Рассмотрим его частичные суммы

Итак, nlim un 0 .

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера n , то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то по предыдущей теореме его общий член обязан стремиться к нулю, что противоречит условию.

111

Рассмотрим еще ряд:

(1 11)1 (1 12)2 ... (1 1n)n ...

Этот ряд тоже расходится, т. к.

lim un lim (1 1)n e 0.

n n n

Примечание. Рассмотренная теорема дает необходимое условие сходимости, но не достаточное: из условия nlim un 0 не следует, что ряд сходится. Это

означает, что существуют расходящиеся ряды, у которых limun 0 .

n

В качестве примера рассмотрим ряд, называемый гармоническим:

части неравенств, получим

1 12 ... 1n ln(n 1) , Sn ln(n 1).

§ 4. Достаточныепризнакисходимости

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных

признаков.

Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (−1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда).

112

4.1. Признаки сравнения рядов

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1. Пустьданыдвазнакоположительныхряда:

u1 u2 u3 ... un (8.16)

n 1

и

то из сходимости ряда (8.17) следует сходимость ряда (8.16), из расходимости ряда (8.16) следует расходимость ряда (8.18).

Доказательство. Обозначим n −e частичные суммы рядов (8.16) и (8.18) соответственно через Sn (u) и Sn (v) . Из неравенства (19) следует, что

Пусть теперь ряд (8.16) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, то в этом случае имеем lim Sn(u) . Тогда, с учетом неравенства (8.19), получаем

lim S (v) , т. е. ряд (8.17) расходится.

n n

Замечание. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда неравенство (8.18) выполняется не для всех членов рядов, а начиная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.

113

расходится (гармонический ряд). Имеем 31n 1n .

Следовательно, данный ряд расходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

при p 1.

Нестандартность применение признаков сравнения заключается в том, что надо не только подобрать «эталонный» ряд, но и доказать неравенство un vn (un vn ) , для чего часто требуется преобразование рядов (отбрасыва-

ние или приписывание определенного числа членов и т. п.). В ряде случаев более простым оказывается применение предельного признака сравнения.

Теорема 2. (Предельный признак сравнения). Пусть даны два зна-

менно сходятся или расходятся.

Доказательство. По определению предела последовательности для всех n , кроме, возможно, конечного числаих, длялюбого 0 выполняетсянеравенство

un A vn

или

114

Если ряд (8.16) сходится, то из левого неравенства (8.20) и теоремы 1

вытекает, что ряд (A )vn также сходится. Но тогда, согласно свойству 1

n 1

числовых рядов, ряд (8.17) сходится.

Если ряд (1.16) расходится, то из правого неравенства (8.20), теоремы 1, свойства 1 вытекает, что и ряд (8.17) расходится.

Аналогично, если ряд (8.17) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (8.16).

ческим рядом.

4.2. Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717—1783 гг., французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема 3. Пусть дан ряд un с положительными членами и сущест-

n 1

115

или un+i < q ип, п > N. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать,

основании следствия из необходимого признака ряд расходится.

Замечания.

1. Если l 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться; имеем так называемый сомнительный случай.

2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или an .

Данный ряд по признаку Даламбера расходится.

116

Пример 3. Предлагаем проверить самостоятельно, что для гармонического ряда признак Даламбера дает сомнительный случай.

4.3. Радикальный признак Коши

Иногда для исследования сходимости знакоположительного ряда удобно пользоваться радикальным признаком Коши (доказательство опускаем).

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами un и сущест-

n 1

Решение. Применим радикальный признак Коши:

Интегральный признак сходимости выражается следующей теоремой.

Теорема 5. Дан ряд с положительными членами un и несобственный

n 1

не возрастает, а в точках x n принимает значения f (n) un , т. е. имеем неравенства f (1) f (2) f (3) ..., то данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся (доказательство в приложении к главе).

Пример 1. Исследовать на сходимость или расходимость ряд 1.

1 n n

Решение. Проверяем первое условие:

1 12 13 ... .

В качестве подынтегральной функции возьмем функцию f (x) 1x .

117

Ее значения при x 1, x 2 , x 3, .... совпадают с членами ряда

1, 12 , 13,... n1 ,... .

Исследуем теперь несобственный интеграл:

Следовательно, гармонический ряд расходится, что было доказано ранее другим способом.

Решение. Очевидно, что при n 1,2,3,... члены ряда монотонно убывают:

12 15 101 ... .

Вычисляем несобственный интеграл:

Следовательно, ряд сходится.

§ 5. Ряды с членами произвольного знака

До сих пор мы рассматривали только ряды, все члены которых были положительными. Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопе-

ременными.

Пример знакопеременного ряда:

5.1. Знакочередующиеся ряды

Начнем изучение знакопеременных рядов с частного случая − знакочередующихся рядов, то есть рядов, у которых члены принимают знаки (+) и (−) поочередно.

Обозначая через u1,u2 ,...,un ,... абсолютные величины членов ряда и счи-

тая первый член положительным, знакочередующиеся ряды записываются в следующем виде:

n 1

118

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости Лейбница.

Теорема 1 (признак Лейбница). Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают:

и общий член ряда стремится к нулю: nlim un 0 , то ряд сходится и его сумма

не превосходит первого члена ряда: S u1.

Доказательство. Рассмотрим сначала частичную сумму чётного числа членов ряда при n 2m : S2m u1 u2 ... u2m 1 u2m .

Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма S2m 0 положи-

тельна и возрастает при увеличении m .

Запишем теперь эту же сумму S2m , группируя члены иным образом:

S2m u1 [(u2 u3 ) (u4 u5 ) ...(u2m 2 u2m 1 ) u2m ].

Сумма в квадратных скобках также положительная. Поэтому для любого m , S2m u1 . Таким образом, последовательность четных частичных сумм S2m

возрастает с увеличением m , оставаясь при этом ограниченной. Следовательно, S2m имеет предел nlim S2m S.

При этом, так как S2m u1 , то и S u1 . Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:

S2m 1 S2m u2m 1.

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S . Это означает, что nlim Sn S , т. е. ряд сходится.

При этом сумма ряда S не превосходит первого члена ряда. Пример 1. Исследовать ряд на сходимость или расходимость

Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница: 1) 1 12 13 ... 1n ... ;

119

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) 12 23 ... − условие не выполняется, следовательно, ряд расходится.

1) 2 32 43 ... − условие выполняется;

2) lim n 1 1 0 − условие не выполняется и ряд расходится.

n n

Геометрический смысл теоремы Лейбница. Рассмотрим знакочере-

дующийся ряд u1 u2 u3 ... ( 1)n 1un ...и его n ыe частичные суммы:

S1 u1, S2 u1 u2 S1 u1,S3 S2 u3 ,..., Sn Sn 1 un ,...

Будем откладывать на числовой оси эти частичные суммы:

u3

..........

Рис.8.1

Очевидно, что точки, соответствующие частичным суммам, будут приближаться к общей точке S , являющейся суммой данного ряда, причем поочередно с разных сторон, четные − слева, нечетные − справа.

Из рис. 8.1. вытекает еще одна оценка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница: при любом m , S2m S S2m 1.

члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Для таких рядов имеет место следующий достаточный признак сходи-

мости знакопеременного ряда.

120