Методическое пособие 388

§ 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

В элементарной геометрии рассматривались задачи о площади плоских фигур, ограниченных прямолинейными отрезками, а также площади круга и его частей.

Поставим задачу о вычислении площади плоской фигуры, ограниченной произвольной замкнутой линией. Такая задача может быть решена только средствами математического анализа.

1.1. Задача о площади криволинейной трапеции

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограни-

ченная осью 0x, графиком функции (кривой) y f (x) , и отрезками прямых, параллельных оси 0y: x a , x b .

Задача. Вычислить площадь криволинейной трапеции.

Пусть y f (x) – непрерывная и положительная функция на отрезке

[ a,b ] (рис. 3.1).

Разобьем отрезок [ a,b ] произвольным образом точками xk на n элемен-

тарных отрезков: a x0 x1 x2 ... xk xk 1 ... xn b ,

[a, x1 ],[x1x2 ],...[xk , xk 1 ]...[xn 1,b], длины которых обозначим через xk .

В каждом из отрезков [xk , xk 1 ] выберем произвольным образом точку ck и вычислим в ней значение данной функции f (ck ) . Произведение f (ck ) xk выражает площадь прямоугольника с основанием xk и высотой f (ck ) .

y

y f (x)

f (ck )

Рис. 3.1

Составим сумму всех таких произведений:

31

Эта сумма называется интегральной суммой функции y f (x) на отрезке [a,b] и она выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямо-

угольников и приближенно равняется площади криволинейной трапеции. Очевидно, что сумма (3.1) зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на

элементарные отрезки и от выбора точек ck .

Предположим, что рассматриваемая сумма (3.1) имеет предел, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю. Этот предел называется площадью криволинейной трапеции, т. е.

1.2. Задача об объеме произведенной продукции

Пусть функция z f (t) описывает изменение производительности неко-

торого производства с течением времени. Найдем объем продукции u , произведенной за промежуток времени [0,T ].

Заметим, что если на производстве производительность труда не изменяется с течением времени, то есть z f (t) постоянная функция, то объем про-

дукции u , произведенной за промежуток времени t , вычисляется по формуле u f (t) t . В общем случае это равенство нельзя применить.

Разобьем отрезок [0, T] на n элементарных промежутков времени tk точками tk : 0 t0 t1 t2 ... tk ... tn T . Выберем в каждом промежутке времени tk определенный момент времени k , производительность в котором равна f ( k ) , а объем uk произведенной продукции за промежуток времени

Эта сумма называется интегральной суммой для функции z f (t) на промежутке [0,T ] . При стремлении n и max tk к нулю каждое из

приближенных равенств (3.3) становится все более точным, поэтому объем произведенной продукции вычисляется по формуле

n

u lim f ( k ) tk . (3.4)

n k 1

32

1.3. Понятие и определение определенного интеграла

Если отвлечься от конкретного содержания рассмотренных задач, то легко заметить, что при их решении применялся один и тот же прием – нахождение предела интегральной суммы для некоторой функции на данном отрезке: функции, определяющей площадь криволинейной трапеции в первой задаче и объемом продукции во второй задаче.

Поэтому вполне естественно распространить эти рассуждения и операции на произвольную функцию, не связанную с конкретным содержанием задачи.

Пусть на отрезке [ a,b ] задана некоторая непрерывная функция y f (x) .

Выполним следующие действия.

1. Разобьем отрезок [ a,b ] точками x1, x2 ,...xn на n элементарных отрез-

ков: [ a, x1 ],[ x1 , x2 ],….[ xn ,b ].

2.В каждом из этих отрезков выберем произвольным образом по точке

xk ck xk 1, вычислим в каждой из них значение заданной функции f (ck ) и

произведения f (ck ) xk .

3. Составим сумму всех таких произведений:

n

Sn = f (x1 ) x1 f (x2 ) x2 ... f (xn ) xn = f (xk ) xk .

k 1

Эта сумма является интегральной суммой для функции y f (x) на отрезке [ a,b ].

4. Обозначим max xk = , при этом будем считать, что если число разбие-

ний неограниченно увеличивается, т. е. n , то 0 .

Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a,b ] на элементарные, ни от выбора точки внут-

ри каждого из них, то этот предел называется определенным интегралом от

b

функции f (x) на отрезке [ a,b ] и обозначается символом f (x)dx (читается

a

так: определенный интеграл от a до b от f (x) на dx ).

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, [ a,b ] − отрезком (путем) интегрирования.

Определение. Определенным интегралом называется предел инте-

гральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений, независящий ни от способа разбиения отрезка на элементарные, ни от выбора точки внутри каждого из них.

Функция f (x) , для которой на отрезке [ a,b ] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

33

Отметим ряд важных утверждений, верных для определенного интеграла. Еслифункция f (x) непрерывнанаотрезке[a,b ], тоонаинтегрируемананем.

Если функция f (x) имеет на отрезке [ a,b ] конечное число точек разрыва

первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Операциявычисленияопределенногоинтеграланазываетсяинтегрированием. Определенный интеграл не зависит от того, какой буквой обозначен ар-

гумент данной функции (переменная интегрирования):

1.4. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла

1. Решая задачу о площади криволинейной трапеции (1.1), мы показали, что площадь равна пределу интегральной суммы (3.2). Следовательно,

a

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла.

2. Учитывая определение определенного интеграла и задачу об объеме продукции, который вычисляется по формуле (3.4), окончательно получаем

т. е. если f (t) – производительность труда в момент времени t , то определен-

ный интеграл T f (t)dt есть объем выпускаемой продукции за промежуток вре-

0

мени [0,T ]. В этом состоит экономический смысл определенного интеграла.

§ 2. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определённого интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Существует метод, устанавливающий связь определённого интеграла с неопределенным и позволяющий вычислять определенный интеграл, минуя суммирование и переход к пределу.

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования, то есть

34

где F(x) – любая первообразная функции f (x).

В теории приводятся различные доказательства этой теоремы. Одно из них излагается в приложении к главе.

Равенство (3.9) называется формулой Ньютона-Лейбница. Она позволяет вычислять определённый интеграл через неопределённый. Чтобы вычислить определённый интеграл от непрерывной функции f (x) на отрезке [a,b] , надо

найти её первообразную функцию F(x) и вычислить разность её значений на концах этого отрезка F(b) F(a) .

Примеры.

§ 3. Свойства определенного интеграла

Пусть функция y f (x) интегрируема на [a,b].

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.

Доказательство.

Пусть F(x) - первообразная функции f (x) , то есть F (x) f (x). Так как (kF) kF kf (x) , то kF , F – первообразная функции kf . Cледовательно,

2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

35

a

3. f (x)dx 0.

a

5. Если отрезок интегрирования разбит на конечное число отрезков, то интегралнавсемотрезкеравенсуммеинтеграловдлякаждогоизотрезковразбиения:

ти неравенства можно интегрировать (отметим, что дифференцировать неравенства нельзя).

7. «Теорема о среднем»

Если f (x) непрерывнана[a,b ], тона[a,b ] найдетсятакаяточка c [a,b], что

36

b

Из рисунка (3.2) видно, что f (x)dx SaDBb.

a

Площадь прямоугольника aACb равна S f (c)(b a) .

Таким образом: b f (x)dx f (c)(b a) , т. е. площадь криволинейной тра-

a

пеции равна площади прямоугольника с тем же основанием, а высотой, равной ординате кривой в некоторой промежуточной точке c [a,.b].

8. Теорема об оценке определенного интеграла.

Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a,b ] и для всех x [a,b] выполняется неравенство m(b a) f (x) M (b a) , то

Таким образом, m(b a) b f (x)dx M (b a) .

a

Двойное неравенство (3.15) означает, что площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников с тем же основанием a;b , а высо-

тами, равныминаименьшему m инаибольшему M значениямфункциинаотрезке.

§ 4. Методы вычисление определенного интеграла 4.1. Замена переменной в определенном интеграле

Как и в случае неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла можно упростить с помощью замены переменной.

Теорема. Предположим, что нужно вычислить определённый интеграл

b f (x)dx , где f (x) – непрерывная функция на отрезке [ a,b ].

a

Перейдём от переменной x к переменной t , полагая x (t) .

Пусть значениям t и t по формуле x (t) соответствуют значения x a и x b , то есть ( ) a ,

Тогда при изменении t от до переменная x меняется от a до b , a x b .

37

Имеет место следующая формула замены переменной в определённом интеграле:

b f (x)dx F(b) F(a) .

a

Теперь, если в первообразной F(x) положить x (t) , то функция F[ (t)] будет первообразной для подынтегральной функции преобразованно-

4.2. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции u u(x) и v v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a,b ], то справедлива формула

38

§ 5. Геометрические приложения определенного интеграла

5.1.Вычисление площадей плоских фигур

1.Как мы установили выше (задача о площади криволинейной трапеции), если на отрезке [ a,b ] функция y f (x) непрерывна и положительна, то площадь

криволинейной трапеции с основанием [ a,b ], ограниченной сверху графиком этой функции, можно вычислить по формуле

2. Если f (x) 0 на отрезке [ a,b ], то

a

Формулы (3.18) и (3.19) можно объединить в одну:

Эта формула остается справедливой и в том случае, когда функция f (x) на отрезке [ a,b ] меняет знак, т. е. принимает на этом отрезке как положитель-

ные так и отрицательные значения.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной косинусоидой y cos x , осямикоординатипрямой x (рис. 3.3).

y

39

Решение. По формуле (3.20) имеем S cos xdx . Так как функция cos x

0

в интервале (0, 2 ) положительна, а в интервале ( 2 , ) отрицательна, то

Вболееобщемслучаекриволинейнуюфигуруразбиваютначасти, площадикоторыхвычисляютсяпоприведеннымформуламилиопределяютсянепосредственно.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис 3.6): x 0, x 2 y 2x , y 2x x2 .

y 4

40