Методическое пособие 388

Следовательно, интервалом сходимости является интервал

2 x 2 2 или 4 x 0 .

Теперь надо исследовать поведение ряда на концах интервала.

ский ряд.

Следовательно, областью сходимости является полуинтервал [ 4,0) .

2.2. Свойства степенных рядов

В дальнейшем мы будем пользоваться основными свойствами степенных рядов, которые приведём без доказательства.

1. Сумма S(x) степенного ряда (9.4) является непрерывной функцией в интервале сходимости ( R , R ).

ответственно R1 и R 2 , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Ра-

диус сходимости суммы, разности и произведения этих рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R 2 .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

при R x R выполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (9.4) приR x R выполняется равенство

Ряды (9.9) и (9.10) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Эти свойства широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях.

131

§ 3. Разложение функций в степенные ряды 3.1. Разложение в степенные ряды элементарных функций

Рассмотрим ряд xn 1 x x2 x3 ... xn . , который представляет

n 1

собой геометрическую прогрессию со знаменателем q x . Известно, что он

степенного ряда (говорят, что функция разложена в степенной ряд), радиус схо-

При x 1 ряд также сходится, а при x 1 ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда (9.13) является полуинтервал ( 1,1].

§ 4. Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь всякую функцию f (x) разлагать в степен-

ной ряд. Важность такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближённо заменить функцию суммой первых членов степенного ряда, т. е. многочленом.

Предположим, что в интервале (x0 R , x0 R ) функция f (x) разлагается в степенной ряд по степеням (x x0 ) , т. е.

f (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 a3 (x x0 )3 ... an (x x0 )n .... (9.14)

132

Согласно свойствам степенных рядов, его можно почленнодифференцировать:

который называется рядом Тейлора функции f (x) . Его коэффициенты назы-

ваются коэффициентами Тейлора.

Если в ряде Тейлора положить x0 0 , то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена:

Отметим, что ряд Тейлора можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки x0 .

Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции; он может сходиться, но не к функции f (x). Так, например, функция

имеет в точке x 0 производные всех порядков, причем f (n) (0) 0 при всех n . Ряд Маклорена имеет вид

0 10! x 20! x2 ... n0! xn ... .

Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке равна нулю, а не f (x). Пусть функция f (x) в интервале (x0 R, x0 R) имеет производные любо-

гопорядка.

133

ТогдарядТейлорадляэтойфункцииможнопредставитьввиде

ся по существу к определению значений x , при которых rn (x) 0.

Если сделать это трудно, то следует каким-нибудь способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

Теорема. Если в окрестности точки x0 все производные функции f (x) ограничены одним и тем же числом M 0 , т. е. f (n) (x) M , то для всех x из

этой окрестности ряд Тейлора для этой функции сходится, и его сумма равна f (x). (без доказательства).

4.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f (x) в ряд Маклорена (9.15) нужно:

1)найти производные f (x) , f (x) , ..., f (n) (x),...;

2)вычислить значения производных в точке x0 0;

3)написать ряд (9.16) для данной функции и найти интервал сходимости;

4)найти интервал ( R, R ) , в котором остаточный член ряда Маклорена

rn (x) 0 при n .

Если такой интервал существует, то в нем функция f (x) и сумма ряда

совпадают.

Получим разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. 1. Разложение в ряд Маклорена функции f (x) e x .

Получаем

1)f (x) ex , f (x) ex ,..., f (n) (x) ex ,... ;

2)f (0) 1, f (0) 1,... f (n) (0) 1,...;

134

5) имеем для всех x ( R, R) , f (n) (x) ex eR M , то есть все про-

изводные в этом интервале ограничены одним и тем же числом M eR . Следовательно, по рассмотренной выше теореме nlim rn 0.Таким образом, в разло-

жении функция ex является суммой ряда, т. е.

Нетрудно проверить, что R и ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех x ( , ).

4) любая производная функции f (x) sin x по модулю не превосходит

3. Разложение в ряд функции f (x) cos x .

Формулу разложения этой функции в ряд Маклорена можно получить аналогично. Однако проще получить разложение функции cos x , воспользовавшись свойством 3 степенных рядов.

135

Продифференцировав предыдущий ряд почленно ряд, получим

Этот ряд также сходится к данной функции на интервале ( , ) .

1. Разложениеврядфункции f (x) (1 x)a , где a любоевещественноечисло. Имеем

1)f (x) a(1 x)a 1 , f (x) a(a 1)(1 x)a 1,... f (n) (x)

a(a 1)...(a n 1)(1 x)a n ,.n N.

Можно доказать, что этот ряд сходится к данной функции при x 1.

Этот ряд называется биномиальным. Если a n N , то все члены ряда с (n 1) го номераранынулю, таккаксодержатмножитель (a n) n n 0.

ВэтомслучаеполучаемизвестнуюформулубиномаНьютона:

Рассмотрим некоторые частные случаи биномиального ряда.

5.При a 1:

1( 1)n xn . 1 x n 1

Разложение этой функции получим путем интегрирования ряда (9.17) в промежутке от 0 до x при x 1:

§ 5. Приложения степенных рядов

Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, приближенно вычислять значения различных функций, приближенно вычислять неберущиеся определенные интегралы, решать дифференциальные уравнения.

136

5.1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции f (x) при x x1 с заданной

точностью 0.

Если функцию f (x) в интервале ( R, R) можно разложить в степенной

Точность этого равенства увеличивается с увеличением числа членов. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю

остатка ряда, т. е.

Для знакочередующихся рядов, согласно признаку Лейбница, имеем rn (x1 ) un 1 (x1 ) un 2 (x1 ) ... un 1 (x1 ) .

то 3 124 5 3725 5 0,0134 4,9866.

Пример 2. Вычислить число e с точностью до 0,001. Решение. Подставляя x 1 в формулу (9.16) получим

e 1 1!1 2!1 ... n1! ...

137

Остается подобрать наименьшее натуральное число n , чтобы выполнялось неравенство n1!n 0.001. Нетрудно проверить, что это неравенство выпол-

няется при n 6. Поэтому имеем

e 1 2!1 3!1 4!1 5!1 6!1 2,718.

5.2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Степенные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции (неберущиеся интегралы) либо, когда нахождение первообразной довольно сложно.

b

Пусть, например, требуется вычислить f (x)dx с точностью до 0.

a

Если подынтегральную функцию f (x) можно разложить в ряд Тейлора

(Маклорена), то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычисления определяют так же, как и при вычислении значений функций.

1

Пример. Вычислить определенный интеграл 3 e x2 dx с точностью до 0,001.

0

Решение. Применить для вычисления этого интеграла формулу НьютонаЛейбница мы не можем, так как первообразная для e x2 не выражается в элементарных функциях ( e x2 dx неберущийся интеграл).

Поэтому разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя

138

5.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции или способ его решения довольно сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядами Тейлора или Маклорена.

Имеется различные способы приближенного решения дифференциальных уравнений.

5.3.1. Способ последовательного дифференцирования

Пусть требуется решить уравнение

удовлетворяющее начальным условиям

Первые два коэффициента находим из начальных условий (9.19). Подставив в уравнение (9.18) значения x x0 , y y0 , y y0 , находим

третий коэффициент: y (x0 ) f (x0 ; y0 ; y0 ) . Значения y (x0 ), y(n) (x0 ),... нахо-

дим путем последовательного дифференцирования уравнения (9.18) по x и вычисления производных при x x0 . Найденные значения производных (коэффи-

циентов) подставляем в равенство (9.20).

пять членов (отличных от нуля) разложения в ряд Тейлора.

139

дения последующих коэффициентов дифференцируем данное дифференциальное уравнение:

y 2x 2 yy ,

y(4) 2 2( y )2 2yy ,

y(5) 4y y 2y y 2yy 6y y 2yy ,....

При x 1 имеем

y ( 1) 2 2 2 12 0,

y(4) ( 1) 2 2 14 2 2 5 22,5,

Подставляя найденные коэффициенты в искомый ряд, получим y 2 12 (x 1) 52 (x 1)2 1615 (x 1)4 18 (x 1)5 ....

ПРИЛОЖЕНИЕ

§ 6. Способ неопределенных коэффициентов решения дифференциальных уравнений

Пусть, например, требуется решить задачу Коши:

y p (x) y q(x) y f (x) ; y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0.

Предполагая, что коэффициенты p(x), q(x) и свободный член f (x) разлагаются в ряды по степеням (x x0 ) , сходящимися в некотором интервале (x0 R, x0 R) , искомое решение y y(x) ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:

Коэффициенты c0 y0, c1 y0 определяютсяприпомощиначальныхусловий.

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (9.22) два раза (каков порядок ДУ) и подставляем выражения для функции y и

ее производных в уравнение (9.21), заменив в нем p(x), q(x), f (x) их разложе-

140