Методическое пособие 388

§ 1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) , определенная на интервале (a,b) , называется первообразной данной функции f (x), если для любого значения x ( a,b ) выполняется равенство

где C – произвольнаяпостояннаятакжеявляетсяеепервообразной, поскольку

Ф (x) [F(x) C] F (x) 0 f (x).

Это следует из того, что если производная функции равна нулю, то сама функция есть постоянная величина, т. е., если [Ф(х) F(x)] 0 , то

Ф(x) F(x) C .

Таким образом, выражение (2.2) определяет множество первообразных данной функции f (x) в заданном промежутке (a,b) .

Определение. Неопределенным интегралом от данной функции f (x)

называется совокупность (множество) всех ее первообразных, которая обозначается символом

где F (x) f (x). Знак называется знаком неопределенного интеграла; функция f (x) – подынтегральной функцией; выражение f (x)dx – подынте-

гральным выражением, x переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной данной функции называется ин-

тегрированием этой функции.

11

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y F(x) C (каждому числовому значению C соот-

ветствует определенная кривая семейства). График первообразной называется

интегральной кривой.

Возникает вопрос: для всякой ли функции f (x) существует первообраз-

ная, а значит, и неопределенный интеграл. Приведем без доказательства теорему, отвечающую на этот вопрос.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом от-

резке существует первообразная этой функции.

Мы будем рассматривать только непрерывные функции. Поэтому приводимые нами далее интегралы всегда существуют.

1.1. Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл обладает следующими основными свойствами.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: [ f (x)dx] f (x).

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d[ f (x)dx] f (x)dx.

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:

df (x) f (x) C .

4.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

kf (x)dx k f (x)dx. ( k – const.)

5.Если функции f1(x) , f2 (x) имеют первообразные, то и функция f1(x) f2 (x) также имеет первообразную, причем [ f1 (x) f2 (x)]dx f1 (x)dx f2 (x)dx.

Другими словами, неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Первое свойство следует из определения неопределенного интеграла, второе – из определения дифференциала.

Четвертое и пятое свойства доказываются сравнением производных от обеих частей приведенных равенств.

Чтобы доказать третье свойство, обозначим df (x) f (x)dx F(x) . Тогда на основании первого свойства получаем f (x) F (x) , откуда

F(x) f (x) C , т. е. df (x) f (x) C.

Из свойств 2 и 3 следует, что операции дифференцирования и интегрирования – взаимообратные, а знаки d и взаимно уничтожают друг друга.

12

1.2. Таблица основных неопределенных интегралов

Таблицу простейших неопределенных интегралов нетрудно получить, воспользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Интегралы в приведенной таблице называются табличными. Замечание. Неопределенный интеграл не зависит от той буквы, которой

Из формулы (2.5) следует справедливость формулы (2.6), которая получается из первой формулы формальной заменой x на u .

13

На основании этой формулы получаем обобщённую табл. 2 простейших интегралов: (надовсеформулытабл. 1 переписатьсбуквой u вместо x ).

Замечание. При использовании формул табл. 2 для приведения подынтегрального выражения к виду f (x)dx g(u)du применяются свойства дифференциалов.

Основные простейшие выражения, приводящие к формулам табл. 2. Таблица 3

1.d(x b) dx , где b – const, то dx d(x b) .

2.d(ax b) = adx; a 0 , то dx = 1a d(ax b).

3.d(x2 b) 2xdx , xdx 12 d(x2 b).

4.d(sin x) cos xdx , cos xdx d(sin x) .

5.d(ln x) = dxx ., dxx d(ln x ).

14

Окончание табл. 3

9. d(a x ) a x ln a dx, a x dx d(a x ) . ln a

Заменяя выражение, стоящее под знаком дифференциала, буквой u , получаем соответствующую формулу табл. 2.

Примеры.

arctg4 4x C.

Метод вычисления неопределенных интегралов путем замены некоторого выражения дифференциалом определенной функции называют методом под-

ведения под знак дифференциала.

Выше было замечено, что операция интегрирования – это операция обратная дифференцированию. Но все обратные операции намного сложнее, с точки зрения их осуществления, чем прямые. Это относится и к интегрированию. Если производную любой функции можно найти всегда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, то единого метода вычисления неопределенных интегралов не существует, даже имеются интегралы, которые нельзя вычислить. О таких интегралах будет сказано в дальнейшем.

§ 2. Основные методы интегрирования

Наиболее важными методами интегрирования являются, кроме уже рассмотренного метода подведения под знак дифференциала, метод разложения, метод замены переменной, метод интегрирования по частям, а также специальные методы интегрирования рациональных функций и выражений, содержащих тригонометрические функции.

15

2.1 Метод разложения

Метод разложения основан на использовании основных свойств (1–5) неопределённых интегралов и на непосредственном применении формул табл. 1 и 2.

Пример.

2.2. Метод замены переменной

Этот метод (называемый еще методом подстановки) основан на свойстве инвариантности формул интегрирования. Сущность метода заключается в том, что при помощи надлежащим образом подобранной замены переменной, получают новое более простое выражение, а иногда сразу табличную формулу. При замене x (t) получаем

f (x)dx f [ (t)]d (t)

или, так как d (t) (t)dt , получаем формулу, называемую формулой замены переменной в неопределенном интеграле:

После выполнения интегрирования для получения окончательного результата нужно перейти к старой переменной x .

Примеры.

Замечание. Метод подведения под знак дифференциала тоже является методом замены переменной. В этом случае заменяют функцию f (x) u.

При использовании метода замены переменной мы вводили вспомогательную переменную u , являющуюся некоторой функцией от x .

16

В некоторых случаях удобно сразу же не u выражать через x , а x заменять функциейотнекоторойпеременной t , т. е. сделатьподстановку: x = (t) .

a2 12 (t 12 sin t cost) C.

Так как t arcsin 2x , то окончательно получим

При интегрировании выражений, содержащих разность (a2 x2 ), полезна под-

чиивподынтегральномвыражениисуммы( x2 a2 ), полезнаподстановка x a tgt . Все указанные подстановки называются тригонометрическими.

2.3. Интегрирование по частям

Наряду с методом подстановки, для вычисления интегралов весьма полезен и другой способ, называемый интегрированием по частям.

Пусть u u(x) и v v(x) – две дифференцируемые функции от x . Най-

дем дифференциал от их произведения:

d(uv) udv vdu .

17

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она да-

ет возможность свести вычисление интеграла udv к вычислению интегралаvdu , который может оказаться существенно более простым, чем исходный,

или даже табличным.

Пример. Найти xsin xdx .

Решение.

Если поменять обозначения:

получаем интеграл, степень x в котором увеличивается, и полученный интеграл становится более сложным, поэтому очень важно правильно обозначать одну из функции через u , а другую вместе с дифференциалом dx , через dv .

Через u удобно обозначать ту функцию, которая после дифференцирования становится проще или меняет свой класс. К таким функциям относятся лога-

x2 sin x 2xcos x 2sin x C.

18

называется дробно-рациональной функцией или рациональной дробью.

Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, т. е. m n то дробь называется неправильной, если меньше (m, n) , то правильной рациональ-

нойдробью.

Приведем общее правило интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то ее надо представить в виде суммы многочлена и правильной дроби;

2.Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители;

3.Представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределёнными коэффициентами;

4.Определить эти коэффициенты одним из рассмотренных способов;

5.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Здесь корень x 2 двукратный, а корень x =0 простой.

Чтобы найти коэффициенты A, B,C , приводим дроби к общему знаменателю и отбрасываем общие знаменатели в обеих частях:

x2 2 Ax B(x 2) C(x 2)2 .

Теперь значений корней x не хватит для нахождения неопределённых коэффициентов A, B,C . Поэтому надо придать x еще какое-либо наиболее про-

стое значение.

19

Заметим, что в ряде случаев разложение дроби удается сделать, не прибегая к неопределенным коэффициентам, а непосредственными преобразованиями.

2.5. Интегралы от тригонометрических функций

Как и в общем случае, для интегрирования тригонометрических функций

нет единого метода интегрирования. Рассмотрим частные случаи интегрирова-

ния тригонометрических функций.

Универсальная подстановка. Рассмотрим интегралы, подынтегральное выражение которых представляет собой рациональную функцию от sin x и cos x , т. е. над этими функциями выполняются рациональные действия (сложе-

ние, вычитание, умножение и деление). Такие функции принято обозначать

R(sin x,cos x).

Интегралы R(sin x,cos x)dx приводятся к интегралам от рациональных

функций подстановкой t tg 2x , которая называется универсальной.

20