Методическое пособие 388

Так как один из корней совпадает с 4 k2 и n 2, то общее решение

НЛДУ надо находить в виде (68) y* (Ax2 Bx C) x e4x .

2. Пусть правая часть НЛДУ имеет вид

где M , N , b заданные числа.

В этом случае частное решение y * следует искать в виде

Поэтому общее решение ОДУ имеет вид

y* e 2x (C1 cos x C2 sin x) .

Так как bi i 2 i не является корнем соответствующего характеристическогоуравненияЛОДУ, то частное решение НЛДУ надо искать в виде (7.18):

y* Acos x B sin x.

Подставляя последние три равенства в исходное уравнение, группируя слагаемые и приводя подобные члены, получим

101

Для получения частного решения данного уравнения используем началь-

ные условия: y(0) 1 , y (0) 2.

Находим производную найденного решения:

y 83 sin x 81 cos x 2e 2x (C1 cos x C2 sin x) e 2x ( C1 sin x C2 cos x).

Подставляя начальные условия в y и y , получаем систему

1 83 C1 , 2 18 2C1 C2.

Отсюда C1 85 , C2 258 .

Таким образом, искомое частное решение данного уравнения имеет вид

с одной и той же левой частью, то сумма частных решений y1 * y2 * будет частным решением уравнения

Таким образом, ( y1 * y2 *) есть решение уравнения (7.22).

ПРИЛОЖЕНИЕ

§ 5. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений

Рассмотрим некоторые основные свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛОДУ)

102

Свойство 1. Если y1 и y2 − два решения дифференциального уравнения (7.23), то их сумма тоже является решением этого уравнения.

Доказательство. Пусть y1 и y2 есть решения уравнения (7.23), т. е. выполняются равенства

y1 ay1 by1 0 , y2 ay2 by2 0, (7.24)

Пусть y y1 y2.

Подставим (7.24) в (7.23):

( y1 y2 ) a( y1 y2 ) b( y1 y2 ) ( y1 ay1 by1 ) ( y2 ay2 by2 ) 0.

Следовательно, ( y1 y2 ) есть решение уравнения (7.23).

Свойство2. Если y естьрешение(6), то Cy – тожерешениеэтогоуравнения. Доказательство. Подставим Cy в уравнение (7.23):

(Cy) a(Cy) b(Cy) C( y ay by) 0.

Что и требовалось доказать.

Выражение c1 y1 c2 y2 называется линейной комбинацией функций y1 и y2. Следствие. Если функции y1 , y2 являются решениями уравнения (7.23), то

их линейная комбинация c1 y1 c2 y2 также является решением этого уравнения. Определение. Функции y1 y1(x) и y2 y2 (x) называются линейно неза-

где c1 ,c2 − произвольные числа, выполняется тогда и только тогда, когда c1 c2 0. Если хотя бы одно из чисел c1 0, c2 0 и выполняется равенство (7.25), то функции y1 , y2 называются линейно зависимыми на (a,b) .

Очевидно, что функции y1 и y2 линейно зависимы тогда и только тогда,

= tg 2x const.

103

где a и b заданные функции или постоянные коэффициенты.

Пусть y1 и y2 − два частных решения уравнения (7.27), образующие фун-

даментальную систему, т. е. линейно независимые решения этого уравнения. Тогда общее решение этого уравнения (ЛОДУ) имеет вид (по свойству о

структуре общего решения ЛОДУ)

Подберем эти функции так, чтобы функция (7.29) была решением неоднородного уравнения (ЛНДУ) (7.26). Эта функция должна быть решением

104

Таким образом, учитывая равенства (7.30) и (7.33), приходим к системе уравнений

находим общее решение уравнения (7.26), зависящее от двух произвольных постоянных. При c1 c2 0 получим частное решение уравнения (7.23).

5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка (ЛНДУ):

где a(x), b(x) , f (x) заданные непрерывные на (a,b) функции.

Свойство. (о структуре общего решения ЛНДУ).

Общим решением уравнения (7.35) является функция y равная сумме его

Доказательство. Так как y * есть решение уравнения (7.26), а y - реше-

ние уравнения (7.27), то

( y*) a( y*) b( y*) f (x) , ( y) a( y) b( y) 0.

В таком случае получаем

( y * y) a( y * y) d( y * y) [( y*) a( y*) b( y*)][( y) a( y) b( y)] f (x) 0 f (x).

Это означает, что функция y y * y является решением уравнения (7.35).

105

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти общее решение уравнения

2. Решить задачу Коши:

Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям:

106

Определить и записать структуру частного решения y ЛНДУ:

25.2y 7 y 3y (2x 1)e3x .

26.2y y y (x2 5)e x .

27.y 6y 9y (x 2)e3x .

ТЕМА 4. РЯДЫ Глава 8. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

§ 1. Геометрическая прогрессия

В школьном курсе математики имели дело с суммированием бесконечной последовательности чисел. Например, сумма членов геометрической прогрессии

(такая геометрическая прогрессия называется убывающей), а при q 1 гео-

метрическая прогрессия сумму не имеет − это возрастающая геометрическая прогрессия (подробно о геометрической прогрессии изложено в приложении к главе).

107

§ 2. Числовые ряды 2.1. Основные понятия и определения

Пусть задана бесконечная последовательность действительных или комплексных чисел

Если существует конечный предел S nlim Sn последовательности час-

тичных сумм ряда (8.5), то этот предел называется суммой этого ряда, а сам ряд

сходится.

Если nlim Sn или не существует, то ряд (8.5) называется расходя-

щимся (говорят: ряд расходится).

Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда выражается следующей теоремой, которую приведём без доказательства.

когда для любого 0 существует такой номер N N ( ) , что при всех n N и любом целом p 0 выполняется неравенство

Рассмотренная выше геометрическая прогрессия (8.1) является числовым рядом. При q 1 геометрическая прогрессия (убывающая геометрическая про-

грессия) является сходящимся числовым рядом, при q 1 геометрическая

прогрессия − расходящийся числовой ряд.

Рассмотрим примеры.

108

1. Выражение 1 5 32 12 387 2 ... нельзя считать рядом, так как нельзя получить формулу, позволяющую получить любой желаемый член, дан-

Ряды являются очень важным аппаратом математического анализа и применяются для вычислений и исследований как в различных разделах самой математики и экономики, так и в прикладных задачах.

где с − произвольное число, также сходится, и его сумма равна сS. Доказательство. Обозначим n ую частичную сумму ряда (8.6) через Sn ,

а n ую частичную сумму ряда (8.7) через .

Тогда n c1u1 cu2 ... cun ... c(u1 u2 ... un ...) cSn .

Отсюда

lim n lim cSn c lim cS.

n n n

Таким образом, ряд (7) сходится и имеет сумму cS .

109

Свойство 2. Если ряды

сходятся и имеют соответственно суммы S иS *, то ряд,

полученный почленным сложением данных рядов, тоже сходится и имеет сумму S S * .

Ряд (8.13) называется остатком ряда (8.12).

Свойство 3. Если от ряда (8.12) отбросить (или к нему прибавить) конечное число членов, то полученный ряд (8.13) и ряд (8.12) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Обозначим через S сумму отброшенных членов, а через Sn обозначим n ую частичную сумму ряда (13) и Sn k k ую частичную

сумму ряда (8.13). Тогда будем иметь

nlim Sn S nlim Sn k .

Отсюда следует, что пределы в левой и в правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (8.12) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов

110