Методическое пособие 388

Если в подынтегральное выражение sin x и cos x входят в четных степенях, т. е. R(sin2 x,cos2 x) , удобнее делать подстановку

Интегралы типа sinn x cosm xdx , n, m – целые числа.

Интегралы этого типа тоже приводятся к рациональным, а именно: если показатели функций sin x и cos x положительные и хотя бы один из них нечетный, то применяют способ «отщепления» от нечетной степени первой степени sin x либо cos x .

m 1

sinn x(1 sin2 x) 2 x d(sin x).

Замена sin x u дает интеграл от рациональной функции. Пример 3. Вычислить sin8 x cos5 x dx .

Решение.

Замена u sin x приводит к рациональному интегралу.

Если же m и n положительные четные числа, то применяют формулы

2.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы типа R(n ax b ; m ax b )dx .

Такие интегралы приводятся к рациональным при помощи замены ax b t k ,

где k = (н. о. к) всех показателей (н. о. к – наименьшее общее кратное).

21

65 6 (x 5)5 2 (x 5) arctg6. (x 5) C.

2.7.«Неберущиеся» интегралы

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. первообразную функции для подынтегральной функции. Но всегда ли это возможно?

Французский математик Коши дал утвердительный ответ в том случае, если функция непрерывна. Однако надо иметь в виду, что если при дифференцировании любой элементарной функции снова получается элементарная функция, то первообразная от элементарной функции может и не быть элементарной функцией, т. е. не может быть записана через привычные нам символы степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f (x) является также элементарной функцией, говорят, что f (x)dx берется,

т. е. интеграл выражается через элементарные функции (интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл не берется (его нельзя найти).

является элементарной функцией, т. е. не существует элементарной функции,

разная не является элементарной, говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях, а интегралы от таких функций называются неберущимися. Приведем еще примеры неберущихся интегралов, которые часто встречаются в приложениях:

22

Для многих из таких новых функций введены специальные обозначения. Например, одна из первообразных sinx x обозначается символом Si(x) и

называется интегральным синусом: sinx x dx Si(x) C. Одна из первообраз-

ных функции ln1x обозначается Li(x) и называется интегральным логариф-

мом. Интеграл e x2 dx имеет большое значение в теории вероятностей – очень важного для практики раздела математики. Одна из первообразных функции

1 e x2 обозначается через erfx и называется функцией Лапласа или инте-

гралом вероятностей.

ПРИЛОЖЕНИЕ § 3. Некоторые методы интегрирования функций

3.1. Интегрированиевыражений, содержащихквадратныетрехчлены

Рассмотрим интегралы

Такие интегралы вычисляются выделением полного квадрата в интегралах вида I1, I3 :

После подстановки x 2ba u эти интегралы приводятся к табличным.

В интегралах I2 , I4 сначала в числителе выделяют дифференциал квад-

ратного трехчлена, а затем полный квадрат и приходят к сумме двух табличных интегралов.

Выделим полный квадрат знаменателя в интеграле I2 : x2 2x 5 (x 1)2 4 .

23

Получим

Окончательно получаем

3.2. Интегрирование рациональных функций

Если дробь Qm (x) неправильная, то следует разделить (как обычно углом)

Pn (x)

числитель на знаменатель. Частное q(x) и остаток r(x) будут многочленами, причем степень остатка r(x) меньше степени делителя Pn (x) .

Так как делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток, то получаем тождество

Qm (x) Pn (x)q(x) r(x)

или

Pn (x) имеет n действительных и комплексных корней a1,a2...an ; среди этих корней могут быть и одинаковые (кратные корни). Многочлен Pn (x) разлагается на множители:

(x a) повторяется в (2.15) k раз, и поэтому в разложение (2.15) войдет множитель (x a)k .

24

Если a i комплексный корень Pn (x) , то корнем будет также и число a i ему комплексно-сопряжённое. Тогда, собирая вместе множители (x a) и (x a) , получим множитель

(x a)(x a) x2 (a a)x aa x2 2 x ( 2 2 ).

Получился квадратный трехчлен с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

4 2 4( 2 2 ) 4 2 <0.

Таким образом, паре сопряжённых комплексных корней a и a соответствует квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом

x2 px q .

При этом, если a будет l кратным корнем, то в разложение войдет множитель (x2 px q)l .

Таким образом, всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагаетсяналинейныеиквадратныемножители, т. е. егоможнопредставитьввиде

Pn (x) an (x a1 )k1 ...(x ar )kr (x2 p1 x q1 )t1 ...(x2 ps x qs )ts . (2.16)

Здесь a1....ar — действительные корни, а каждый квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант.

В алгебре доказывается, что всякую правильную дробь Qm (x) , знамена-

Pn (x)

тель которой разложен на множители (имеет вид (2.16)), можно представить в виде суммы простейших дробей четырёх типов:

с некоторыми коэффициентами M , N.

25

Множителю (x2 px q)l соответствует сумма простейших дробей вида

Коэффициенты A, B,C пока не определены. Чтобы их найти, приводим

правую часть равенства к общему знаменателю и отбрасываем знаменатели в обеих частях равенства. Получаем следующее тождественное равенство:

3x 1 A(x 3)(x 4) B(x 2)(x 4) B(x 2)x 4) C(x 2)(x 3) .

Можно было бы для нахождения A, B,C давать любые три значения x .

В этом случае мы получили бы систему уравнений с неизвестными A, B,C .

Однако, подставляя вместо x значения корней знаменателя, получаем наиболее простые уравнения; в них каждый раз остается лишь одно неизвестное и сразу определяем коэффициенты.

Каждая из полученных простейших дробей легко интегрируется:

Неопределенные коэффициенты можно найти другим способом. В полученном тождественном равенстве в правом многочлене приводят подобные члены и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях этого равенства, получают систему линейных уравнений, из которой и определяют коэффициенты.

При интегрировании дробей вида (2.17) и (2.18) затруднений не возникает. Дроби же видов (2.19) интегрируются сложнее.

это интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен. Рассмотрим интегралы вида x2 px qdx.

26

по частям (не будем их рассматривать).

Все вышесказанное позволяет сформулировать общее правило интегри-

рования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2.Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители.

3.Представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределёнными коэффициентами.

4.Определить эти коэффициенты одним из рассмотренных способов.

5.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей. Заметим, что в ряде случаев разложение дроби удается сделать, не прибегая к неопределенным коэффициентам, а непосредственными преобразованиями.

3.3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралы типа tg n x dx , ctg n xdx , n – натуральное число.

27

Эти интегралы приводятся к рациональным при помощи замены tgx t или способом отщепления.

Например, отщепляем tg 2 x ; x cos12 x 1, помня, что (tgx) cos12 x .

Пример. tg 6 xdx.

Решение. Вводим замену переменной:

Чтобы вычислить эти интегралы, следует представить подынтегральное произведение в виде суммы, использовав формулы тригонометрии:

28

29