Методическое пособие 388

то данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Поскольку ряд (8.28) сходится, то в силу критерия Коши, для любого 0 существует такой номер N N ( ) , что при всех n N и

любом целом p 0 выполняется неравенство

Замечание. Из сходимости ряда (8.26) не следует сходимость ряда (8.37). Например, ряд Лейбница сходится, а ряд, составленный из абсолютных

величин его членов (гармонический ряд), расходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходит-

геометрическая прогрессия со знаменателем q 12 1.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся (не абсолютно сходящимся), если он сходится, а ряд из абсолютных величин его членов расходится.

Например, ряд Лейбница сходится условно. Пример 4. Исследовать, сходится или расходится ряд

q 13 1. Следовательно, данный ряд сходится, причем сходится абсолютно.

121

Примечание. Различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся − в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

ПРИЛОЖЕНИЕ § 6. Геометрическая прогрессия

Пусть дана геометрическая прогрессия a, aq, aq2 ,..., aqn 1,... , где q −

знаменатель прогрессии.

Найдём сумму членов этой прогрессии:

Естественно, обычным образом, прибавляя слагаемое к слагаемому, сумму найти нельзя, так как слагаемых имеется бесконечное множество.

Поэтому возникает вопрос: что надо понимать под суммой бесконечного числа слагаемых?

Для этого поступим следующим образом: берем первый член прогрессии, затем сумму первых двух, затем сумму трех и т. д., наконец сумму первых n членов прогрессии, которая называется n −ой частичной суммой прогрессии:

Если с ростом числа слагаемых, т. е. при неограниченном увеличении числа членов прогрессии, частичная сумма Sn имеет конечный предел, то этот

122

q 1 , Sn a a a ...a 0 при n − четном и Sn a при n − нечетном, следовательно, сумма не существует.

геометрической прогрессии равна или не существует − это возрастающая геометрическая прогрессия.

§ 7. Интегральный признак сходимости

Пусть дан ряд

не возрастает, а в точках x n принимает значения f (n) un , т. е. имеют место

n

Суммируя члены неравенств (8.35) от n 1 до n m , получаем

123

Так как Sn последовательность монотонно возрастающая и ограниченная, то существует nlim Sn S , т. е. ряд (8.34) также сходится.

Если ряд сходится и un B , то Sm B при любом m . Несобственный

n 1

интеграл также сходится.

Примечание. Большое практическое применение имеет так называемый обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле):

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти сумму геометрической прогрессии

12 13 92 274 ... .

Написать первые пять членов рядов, если общий член задан формулой:

2.an n22n 1.

3.an 1 n 1 2n1 1.

4.an 2nn! 1 .

То же для рядов, заданных суммой:

5. 1 2 n 1 . n 1 n 3

Написать формулу для общего члена ряда:

7.12 24n 38n 164n ...

8.2 ln1 2 3ln4 3 4 ln9 4 516ln 5 ...

124

Определить поведение ряда (сходимость или расходимость), используя необходимый признак:

С помощью признаков Даламбера или Коши исследовать поведение рядов:

125

Применяя интегральный признак Коши, доказать сходимость или расходимость ряда:

Исследовать, сходятся или расходятся знакопеременные ряды:

126

Подставляя вместо x какое-либо значение x0 из области определения функций un (x) , получим числовой ряд

Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка x0 называется точкой сходимости функционального ряда (9.1), а сам ряд – схо-

дящимся в этой точке. Если при x x0 ряд (9.2) расходится, то x0 называется

точкой расходимости функционального ряда.

Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x: S S(x). Определяется она в области сходимости равенст-

вом S(x) nlim Sn (x) ,где Sn (x) u1 (x) u2 (x) ... un (x) частичная сумма ряда.

Пример 1. Найти область сходимости ряда xn .

n 1

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q x. Следовательно, этот ряд сходится при x 1, т. е. при всех

x ( 1,1) и сумма ряда:

§ 2. Степенные ряды

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции аргумента x , т. е. ряды вида

Этот ряд называется рядом по степеням (x x0 ).

Частным видом степенного ряда является степенной ряд по степеням x , получаемый из ряда (9.3) при x0 0 :

n 1

Действительные числа a0 ,a1,...an... называются коэффициентами степен-

ного ряда. При изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами (9.4), т. к. степенной ряд (9.3) приводится к ряду (9.4) заменой перемен-

ной: x x0 X .

127

Область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку: x 0 (ряд (9.3) сходится в точке x x0 .).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (9.4) сходится при x x0 0 , то

он абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x x0 .

lim a xn 0. Следовательно, существует такое число C >0, что для всех n вы-

n n 0

таком, что x x1 . Тогда по теореме Абеля ряд сходится и при значении x1 ,

что противоречит условию.

2.1. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если x0 0 есть точка сходимости сте-

данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала ряд (9.4) расходится.

Интервал ( x0 , x0 ) называется интервалом сходимости степенного ряда. Обозначив x0 R , интервал сходимости можно записать в виде ( R, R).

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R 0 − это такое число, что при всех x , для которых x R ряд (9.4) абсолютно схо-

дится, а при x R ряд расходится (рис. 9.1).

128

В частности, когда ряд (9.4) сходится лишь в одной точке x0 0 , то считаем, что R 0. Если же ряд (9.4) сходится при всех значениях x ( , ) , т. е. во