Методическое пособие 370

Рис. 1.1. Схема цепи до преобразований

следует объединить в одну эквивалентную емкость Сэкв элементы С2 и С3, т.е. получить более простую схему (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Схема после преобразования

Снижает порядок сложности цепи и наличие в ней так называемых емкостных контуров. Это контуры, образованные либо только емкостями, либо емкостями совместно с независимым источником напряжения. Так на рис. 1.2 – это контур, образованный элементами С1, Сэкв и e t , как показано пунктирной линией на рис. 1.3.

10

Рис. 1.3. Емкостный контур цепи

Таким образом, из предполагаемой сложности цепи = 3 в соответствии с рис. 1.3, после преобразований остается сложность цепи = 1, которая получается с учетом объединения элементов С2 и С3 и наличия одного емкостного контура, состоящего из С1, Сэкв, е(t).

Уменьшает порядок сложности цепи и наличие в цепи, так называемых индуктивных сечений. Индуктивное сечение – это индуктивный узел, т.е. узел к которому подключены ветви, в каждой из которых есть только индуктивные элементы или индуктивности с другими элементами R и С или источниками тока i(t). На рис. 1.4 представлен такой узел (индуктивное сечение), обозначенное пунктирной линией.

Рис. 1.4. Индуктивное сечение

11

На рис. 1.5 показано индуктивное сечение с элементами L1, L2, L3 и источником тока i(t), объединенных в один узел.

Рис. 1.5. Индуктивное сечение из параллельных ветвей

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения

PLC neк quc,

где PLC - общее число реактивных элементов; neк - число неза-

висимых емкостных контуров; quc - число независимых индук-

тивных сечений. Это возможно в связи с тем, что в емкостном контуре напряжение на любом из конденсаторов такого контура может быть выражено через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса потенциалов, составленного для данного емкостного контура. Для индуктивного сечения (узла) ток, а следовательно, и энергия любой из индуктивностей, входящей в индуктивное сечение, может быть выражена через токи других индуктивностей на основании уравнений баланса токов, составленных для данного сечения.

1.2. Классический метод анализа переходных процессов

Он основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее ре-

12

шение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения (правая часть равна нулю).

Общее решение однородного дифференциального уравнения характеризует так называемые свободные процессы в цепи, т.е. процессы после коммутации в отсутствие внешних источников энергии.

Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами ee пассивных элементов.

Частное решение уравнения (1.3) определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Следовательно, общее решение имеет вид y t yсв t yпр t .

Свободная составляющая реакции цепи с течением вре-

мени затухает lim yсв 0, поэтому принужденная составляю-

t

щая реакции цепи представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации, т.е.

yпр lim y .

t

Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме.

Если после коммутации токи всех независимых источников не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока.

13

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием, то принужденная составляющая также бу-

i 1

т.е. каждому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

где Ai - постоянная интегрирования.

Если какой-либо корень рк характеристического уравнения (1.4) имеет кратность (корни одинаковые) n, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

yсв(k) (A1 A2t A3t2 Antn 1)epkt .

1.2.1. Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов для цепей первого порядка

Схема состоит из следующих процедур, которые далее конкретно раскрываются на примере RC цепи (рис.1.6).

1. Анализ цепи до коммутации. В результате этого ана-

лиза определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации t 0 .

14

2. Определение независимых начальных условий. Неза-

висимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени (t 0 ). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации.

3. Составление дифференциального уравнения цепи по-

сле коммутации (при t 0). Дифференциальное уравнение цепи составляют используя компонентные уравнения для индук-

4.Анализ установившегося процесса в цепи после ком-

мутации (при t ). В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи).

5.Определение свободной составляющей реакции цепи.

На этом этапе составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи.

6.Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденной составляющих реакции цепи.

7.Определение постоянных интегрирования ( Ai ). По-

стоянные интегрирования определяются путем подстановки в общее решение значений токов или напряжений в начальный момент времени после коммутации при t 0.

8. Определение реакции цепи, соответствующей задан-

ным начальным условиям. Подставляя найденные постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят его частное решение.

15

Пример 1.1. Определить переходной процесс в последовательной RC - цепи (рис. 1.6), на которую воздействует напряжение e t

Рис. 1.6. Последовательная RC цепь с графиком входного воздействия

Используя предыдущие рекомендации, выполняем следующие процедуры для определения напряжения uc t .

1. Анализ цепи до коммутации. Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации напряжения на емкости равнялось напряжению на зажимах источника энергии при t < 0, т.е. uC 0 E1.

2. Определение независимых начальных условий. Неза-

висимое начальное условие выражается в виде

uC 0 uC 0 E1

Это единственное независимое начальное условие для схемы рис. 1.6.

3. Составление дифференциального уравнения после коммутации. Второй закон Кирхгофа для схемы рис. 1.6 запи-

16

Компонентное уравнение для этого случая берется в ви-

де ic C duC . Подставляя его в (1.7), и используя зависимость dt

uR icR,получаем дифференциальное уравнение

4. Анализ установившегося процесса в цепи после ком-

мутации при t . Для этого определяется принужденная составляющая процесса.

После коммутации в цепи (рис.1.6) при t получаем, что

uспр E2,

что соответствует заряду конденсатора С до напряжения Е2.

ществляется через суммирование принужденного и свободного режимов цепи, т.е.

A1 E1 E2 .

17

8. Определение реакции цепи, соответствующей задан-

ным начальным условиям. Подставляя найденную постоянную

График переходного процесса в соответствии с (1.9) показан на рис. 1.7.

1.2.2. Составление дифференциальных уравнений для разветвленных цепей

В том случае, когда электрическая цепь состоит из нескольких контуров, следует использовать для составления дифференциального уравнения цепи кроме закона Ома еще и законы Кирхгофа, учитывающие прохождение токов в контурах схемы.

Рассмотрим пример цепи первого порядка состоящей из двух контуров (рис. 1.8).

Система уравнений для этого случая будет иметь следующий вид

i1 R R i2R uвхi2R uL i1R 0.

18

Рис. 1.8. Электрическая цепь из двух контуров

Будем учитывать для решения системы уравнений также зависимость между током и напряжением на индуктивности, т.е. uL Ldi2 /dt.Подставляя это выражение во второе уравнение, получим, что

i2R L di2 i1R 0. dt

Определив ток i1 из первого уравнения, т.е.

i1 uвх i2R , 2R

и подставив его во второе уравнение, получим зависимость

Осуществляя дальнейшие преобразования, получим, что

2i2R 2L di2 uвх i2R 0, dt

2L di2 Ri2 uвх. dt

Последнее выражение и является дифференциальным уравнением цепи (рис. 1.8), составленным относительно тока i2.Его решение осуществляется по правилам представленным ранее в п.1.2.

19