Методическое пособие 370

получения ее тригонометрического представления, называемого спектральным синтезом.

Для быстрого преобразования Фурье существуют две функции, которые предоставляют возможность проводить указанные преобразования для данных в виде векторов с действительными или комплексными числами.

Функция fft U выполняет прямое преобразование Фурье для данных, представленных действительными числами - значениями компонент исходного вектора U , который должен иметь 2n составляющих, где n- целое число. Другая функция cfft A аналогична предыдущей, но реализует прямое преобразование Фурье для вектора A с комплексными элементами.

Быстрое обратное преобразование Фурье осуществляется через функцию ifft U . Другая функция icfft B осуществляет аналогичную процедуру для элементов с комплексными значениями.

Пример 6.3. Осуществить процедуру БПФ для примера 6.1, где применялось обычное преобразование Фурье.

В быстром преобразовании Фурье число отсчетов функции

берется как 2n . Выберем их число равным 27 128, задавая это в виде i : 0,1..127. Для этого случая период определяется

d i : if i 64, u i , 0,9 . Число анализируемых гармоник задается оператором j , например, j : 0..10, а отсчеты функции прямого быстрого преобразования Фурье f : fft q вводятся как qi : d i . Функция быстрого обратного преобразования Фурье записывается в виде h: ifft f .

При таких обозначениях листинг программы Mathcad представлен на рис. 6.17.

160

Пример 6.4. Применить быстрое преобразование Фурье к примеру 6.2. По аналогии с примером 6.3 результаты расчета будут иметь следующий вид.

161

162

Значения величин гармоник fj в примере 6.3 отличаются

от примера 6.1, хотя общая закономерность их изменения остается той же. Это связано с тем, что БПФ имеет определен-

ный нормирующий множитель, за счет которого значения fj

возрастают. Определить его величину можно, сравнив значе-

ния fj и M n . Как показывают расчеты, эта величина равна

5,655 и ее необходимо учитывать при конкретных расчетах спектров сигналов.

6.3. Определение спектра сигнала на основе моделирующих программ

В современных программных системах, например, Electronics Workbench, Micro-CAP и др., имеется возможность получения спектра сигнала без задания его аналитической функции и других сопутствующих условий, как это имеет место при гармоническом анализе в системе Mathcad. Это позволяет наблюдать спектр колебаний в различных точках электрической схемы, ускоряя процедуру ее расчета и моделирования.

Для того, чтобы определить спектр сигнала необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1.Собрать электрическую схему в программе EWB с источником энергии, форма колебаний которого имеет негармоническую форму. В случае не стандартной формы сигнала необходимо использовать процедуру программирования с источни-

ком PWL (п.3.3).

2.Установить в исследуемой схеме номера контрольных точек

(Nod), используя меню Circuit пункта Schematic Option через установку метки в окошечке «Snow nodes» (рис. 3.5).

3.Выбрать в меню «Analysis» режим «Fourier» (рис. 6.19),

обеспечивающий спектральное представление сигнала на основе быстрого преобразования Фурье. Отличием этого преобразования от аналогичного в пакете Mathcad является пред-

163

ставление величин амплитуд спектральных составляющих в нормированном виде, т.е. соответствующих расчетным значениям, определяемым по формулам (5.8 - 5.10).

Рис. 6.19. Окно EWB для выбора параметров преобразования «Fourier» (спектральный анализ)

В соответствии с рис. 6.19 элементы окна установки режима Фурье-анализа имеют следующие назначения:

Output node – номер контрольной точки (ноды), в которой анализируется спектр сигнала;

Fundamental frequency – основная частота колебания (частота первой гармоники));

Number harmonic – число анализируемых гармоник; Vertical scall – масштаб по оси Y (линейный, логарифмиче-

ский, в децибелах);

Advanced – набор опций этого блока предназначен для определения более тонкой структуры анализируемого сигнала путем введения дополнительных выборок (по умолчанию выключены);

164

Number of points per harmonic – количество отсчетов (вы-

борок) наодну гармонику;

Sampling frequency – частота следования выборок; Display phase – вывод на экран распределения фаз всех

гармонических составляющих в виде непрерывной функции (по умолчанию выводится только график амплитуд гармоник); Output as line graph – вывод на экран распределения амплитуд всех гармонических составляющих в виде непрерывной

функции (по умолчанию - в виде линейчатого спектра).

Для примера на рис. 6.20 показан амплитудный и фазовый спектры колебания, подаваемого в схему рис. 3.8 в точке (ноде) 1, при частоте первой гармоники f 200 Гц и числе гармоник 9, при выключенном режиме Advanced и линейном масштабе (Linear) вертикальной шкалы (Vertical scall), а также активном окне Display phase.

Рис. 6.20. Результаты Фурье-анализа сигнала в схеме рис. 3.8.

165

Количественные значения амплитудного и фазового спектра можно определить, если включить режим измерения на рис. 6.20 (третья иконка, справа вверху), предварительно «щелкнув» левой кнопкой мыши на графике, подлежащем измерению. В результате на графике появляются две визирные линейки, перемещение которых курсором за их верхнюю часть позволяет получить точные значения параметров распределения, индицируемых в окне – ярлыке (рис. 6.21). К этим параметрам относятся: значения частоты x1, x2 в точках установки первой (левой) и второй визирных линеек, амплитуда гармоник y1, y2,разность указанных параметров и их обратные величины (dx, dy,1/dx,1/dy ), а также их минимальные и макси-

мальные значения min x, maxx, max y . Расположение окна можно менять, «перетаскивая» его за верхнюю часть.

Рис. 6.21. Окно-ярлык для измерения параметров спектра сигнала

В нижней части окна Фурье-анализа (рис. 6.20) имеется графа” Total harmonic distortion” (закрыта движком), которая

166

определяет величину коэффициента гармоник в соответствии с формулой

Ai2

где Ai - текущее значение гармоники в спектре сигнала.

Значение K появляется на экране при анализе только амплитудного спектра. Если анализируется еще и фазовый спектр, то величина коэффициента гармоник будет выводиться только при распечатке.

Такие вычисления полезны, например, при анализе схемы линейного усилителя звуковых частот.

Приведем теперь пример получения спектра сигнала по примеру 6.1 через процедуру моделирования на ЭВМ с помо-

щью программы Electronic Workbench.

Пример 6.5. Определить спектр сигнала, график которого представлен на рис.6.7 и задается формулой

при T =0.005 с.

Для получения сигнала u t воспользуемся функциональным генератором EWB (рис.6.22), установив на нем частоту (FREQUENCY) f 1/T 1/0.005 200 Гц. Значение величины DUTY CYCLE (коэффициент заполнения) возьмем равным 50, а амплитуду сигнала (AMPLITUDE) равной 0.5 V, а величину OFFSET (установка смещения сигнала) равной нулю.

167

Рис. 6.22. Установка входного сигнала на лицевой панели функционального генератора

Соберем теперь схему из элементов EWB для анализа спектра сигнала (рис. 6.23), установив затем номера Nod в точках измерения.

Рис. 6.23. Схема для анализа спектра сигнала u t

Имея точку измерения спектра сигнала, воспользуемся далее процедурой спектрального анализа «Fourier» с установкой в окне (рис. 6.24) необходимых параметров спектрального анализа.

168

Рис. 6.24. Установка параметров спектрального анализа в окне преобразования «Fourier»

Нажав на кнопку «Simulate» (рис. 6.24), получаем амплитудный и фазовый спектры сигнала (рис. 6.25).

Рис. 6.25. Амплитудный и фазовый спектр сигнала u(t)

Полученный спектр сигнала u(t) имеет аналогичную структуру, рассчитанную с помощью пакета Mathcad (рис. 6.8).

169