Методическое пособие 370

Определяя i1 из первого уравнения и подставляя его во

второе, с учётом, что uL L di2 , получим что dt

i1 e(t) i2R ,

2R

i2R Ldi2 e(t) i2R R 0, dt 2R

L di2 i2R e(t) . dt 2 2

Таким образом, дифференциальное уравнение относительно тока i2 будет иметь вид

2L di2 i2R e(t). dt

Теперь составим дифференциальное уравнение, применив теорему об эквивалентном источнике напряжения.

Преобразуем схему рис. 4.15 последовательно к виду рис. 4.16 и затем рис. 4.17.

Рис. 4.16

100

Рис. 4.17

Используя второй закон Кирхгофа для схемы рис. 4.17

циальное уравнение, аналогичное предыдущему случаю

2L di2 i2R e(t). dt

В том случае, если в схеме (рис. 4.15) вместо L подключена емкость С, то система уравнений будет иметь вид

2Ri1 i2R e(t).i2 R uс i1R 0.

Осуществляя аналогичные преобразования, получаем:

Далее составляем дифференциальное уравнение

RCduc 2uc e(t). dt

101

4.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях второго порядка сложности классическим методом

Контрольные вопросы

1.Какие электрические цепи называются цепями второго порядка сложности?

2.Приведите наиболее распространённый пример цепи второго порядка сложности.

3.Каким дифференциальным уравнением описываются свободные процессы в цепях второго порядка?

4.По какому временному закону изменяются токи и напряжения при свободных процессах в цепях первого порядка?

5.Какие виды свободных процессов имеют место в цепях второго порядка?

6.При каких условиях в цепи второго порядка наступают незатухающие колебания?

7.Какие основные характеристики незатухающих колебаний вам известны?

8.Какие существуют характеристики затухания свободных колебаний в реальных цепях второго порядка в колебательном режиме?

9.Как определить логарифмический декремент затуха-

ния?

10. При каких условиях наступает критический и апериодический процессы?

Решить задачи

4.2.1. Последовательный колебательный контур (рис. 4.18) с нулевыми начальными условиями подключают в момент t = 0 к источнику постоянной ЭДС Е. Составить дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации.

102

Рис. 4.18

4.2.2.Принимая во внимание условия задачи 4.2.1, определить начальные значения тока в цепи и его первой производной по времени.

4.2.3.В соответствии с задачей 4.2.1 для дифференциального уравнения цепи составить характеристическое уравнение

иопределить его корни.

4.2.4.Для случая вещественных различных корней найти зависимость i(t) для цепи рис. 4.18

4.2.5.Для случая комплексно-сопряжённых корней найти зависимость i(t) для цепи рис. 4.18

4.2.6.Определить характер свободных процессов в последовательной R L C –цепи, составленной из элементов со следующими параметрами: R = 15 Ом; L = 20 мГн; С = 500 пФ. Внутреннее сопротивление источника сигналаRi = 5 Ом.

4.2.7.Определить частоту свободных колебаний ωсв и логарифмический декремент затухания последовательного контура, рассмотренного в задаче 4.2.6.

4.2.8.По графику тока свободных колебаний, возникающих в цепи рис. 4.18, предложите способ определения добротности контура.

4.2.9.Используя условия задачи 4.2.1, определить i(t),т.е. переходной процесс в цепи RLC, примененяя процедуру

«odesolve» пакета Mathcad, считая R=1000 Ом, L=0,04 Гн, C=6·10-9 Ф, E= 10 В.

103

4.2.10. Используя программу Workbench, определить вид переходного процесса i(t) (напряжение на R) в цепи RLC из задачи 4.2.9 при различных величинах R, когда на вход подается прямоугольный перепад напряжения от функционального генератора при частоте следования импульсов f=1 Гц (меандр), начало переходного процесса t=0, конец t=0,001 с.

Примеры решения задач

4.2.11. Для схемы рис. 4.19 составить дифференциальное уравнение относительно напряжения u и тока iL.

Рис. 4.19

Решение

На основании законов Кирхгофа запишем, что iR = iL+ iC , e = uR+u. Используя далее компонентные уравнения

После дифференцирования этого уравнения имеем окончательно, что

104

4.2.12. В схеме, представленной на рис. 4.20, после размыкания ключа начинаются свободные колебания. Определить вид свободных колебаний, если R = 100 Ом, L = 6 · 10 –3 Гн,

С = 5000 пФ.

Рис. 4.20

Решение

Согласно второму закону Кирхгофа получаем, что

uL uR uC 0.

Используя компонентные уравнения для L и С, можно записать

Дифференцируя полученное выражение по времени и разделив все слагаемые на L, приходим к выражению

105

ная частота цепи.

Колебательный режим в цепи возникает, когда корни характеристического уравнения p1 и p2 будут комплексносопряжёнными. Это происходит при δ<ω0. Запишем это нера-

будет наблюдаться колебательный режим.

4.2.13. Определить логарифмический декремент затухания для цепи из задачи 4.2.12, а также величину амплитуды колебаний Iom при E=10 В.

Решение

Определим логарифмический декремент затухания θ через логарифм отношения амплитуд тока, взятых через период колебаний, т.е.

106

где 2L - постоянная времени цепи. Через параметры конту-

R

ра θ выражается, если учесть, что T0 2 LC , т.е.

θ T0 2 LC R R .

2L

Теперь можно определить, что

θR 3,14 100 0,285.

1100

Для определения амплитуды Iom воспользуемся формула-

ми:

После подстановки конкретных значений величин будем иметь, что

107

4.3. Операторный метод

Контрольные вопросы

1.Что такое прямое и обратное преобразования Лапласа?

2.Как обозначается операторное изображение функции?

3.Что такое понятие «оригинал» в преобразовании Лапласа?

4.Что такое оператор преобразования Лапласа?

5.Что соответствует умножению и делению изображения функции на оператор преобразования Лапласа?

6.Какие ещё основные свойства преобразования Лапласа Вам известны?

7.Напишите закон Ома для R, L, C в операторной форме для нулевых начальных условий.

8.Что такое операторные сопротивления для R, L, C?

9.Как обозначается операторная схема замещения заряженной ёмкости?

10.Как обозначается операторная схема индуктивности при ненулевых начальных условиях?

11.Запишите законы Кирхгофа в операторной форме?

12.Какие методы расчёта изображения искомого тока

(напряжения) в операторной схеме Вам известны?

13. Как определяют оригинал по полученному изображению тока (напряжения)?

Решить задачи

4.3.1. Для схемы, изображённой на рис. 4.21, определить ток в цепи i(t), если

108

4.3.2. Для схемы, изображённой на рис. 4.22, определить выходное напряжение цепи, используя операторный метод, если

Рис. 4.21 Рис. 4.22

4.3.3. Нарисовать операторную схему замещения цепи после замыкания ключа К (рис. 4.23), если uc1(0-)=E1, uc2(0-)=E2,

аiL(0-) = I0.

4.3.4.Для схемы, изображённой на рис. 4.24, определить

ток в цепи, если

Рис. 4.23 Рис. 4.24

109