Методическое пособие 370

Рис. 6.3. График импульса по условиям (6.3)

Условия (6.3) получаются из совместного рассмотрения уравнения прямых линий и определения необходимых коэффициентов, т.е.:

Аналогично можно получить выражение для функции, имеющей график, показанный на рис.6.4:

y1 kt, y2 kt b, 0 kT b, (6.4) b kT, y2 kt kT k T t .

Рис. 6.4. График пилообразного импульса

150

Симметричный импульс в соответствии с рис. 6.4 показан на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Симметричный пилообразный импульс

Представление импульса (рис. 6.5) в записи для расчета на ЭВМ, с учетом (6.3) и (6.4), будет иметь вид

Используя вышеизложенный подход к аналитической записи импульсов, можно осуществить представление более сложной структуры, например, импульса в виде трапеции с изменяющимися фронтами, на основе которого наглядно можно проследить изменения спектра при различных параметрах импульса (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Импульс в форме трапеции

Описание импульса (рис. 6.6) следует производить в программном варианте, т.е.

151

Значения величин в (6.6) могут задаваться в различных ва-

риантах. При этом следует иметь в виду, что N T - скваж- tu

ность импульса с длительностью tu и периодом T , а величина

C - коэффициент наклона (фронт) боковых граней импульса.

6.2. Определение спектра сигнала через ряды Фурье

Порядок определения спектра периодического сигнала на основе рядов Фурье приведен в п. 5.2.

Будем считать, что для наглядного представления спектральных составляющих сигнала заданы:

количество гармоник n, период колебаний Т, частота сигнала f 1T ,

анализируемая функция u t , время анализа t.

С учетом этих обозначений определение коэффициентов ряда Фурье должно осуществляться по следующим формулам:

152

График спектра амплитуд строится по формуле (6.9), а график спектра фаз по выражению (6.11).

Приведем примеры построения спектров с помощью про-

граммы Mathcad.

Пример 6.1. Построить спектр амплитуд и спектр фаз для прямоугольного импульса, определяемого формулой

Порядок набора формул в программе Mathcad для определения спектра следующий:

D n : if a n 0,Y n ,Y n 180 .

153

Затем следует, используя правила программы Mathcad, построить графики сигнала и спектров амплитуд и фаз

(рис. 6.7-6.9).

1

u(t) 0

1

0 0.002 0.004 0.006

t

Рис. 6.7. График входного сигнала

154

Рис. 6.9. График спектра фаз

Восстановить сигнал по его спектру (рис.6.10) можно, если сложить, вычисленные ранее, гармоники с учетом их фаз и амплитуд, т.е.

n 1

n

2

F(t)

0 u(t)

2

0 0.002 0.004 0.006

t

Рис. 6.10. График восстановленного сигнала по значениям трех его гармоник

155

Пример 6.2. Используя представление сигнала в форме (6.5), проследить изменения в его спектре при различных параметрах импульса.

Зададимся следующими значениями в (6.5):

0 if t T . N

График сигнала для этого случая показан на рис. 6.11.

2

ut( ) 1

0

t

Рис. 6.11. График прямоугольного импульса со скважностью N 4

156

Вычисление спектра амплитуд (рис. 6.12) осуществляется по формулам:

Рис. 6.12. График спектра амплитуд прямоугольного импульса при N 4

Если в (6.13) принять N 2, то график спектра амплитуд для сигнала (рис. 6.13) примет иной вид (рис. 6.14).

4

u(t) 2

0

t

Рис. 6.13. График сигнала при N 2

157

trace 1

Рис. 6.14. График спектра амплитуд прямоугольного импульса при N 2

Если в (6.13) принять С : 4 при N : 2, то график сигнала приобретет форму, показанную на рис.(6.15), где склоны импульса станут пологими.

4

0

t

Рис. 6.15. График импульса в виде трапеции

График спектра амплитуд (рис. 6.16) у импульса с пологими склонами (рис. 6.15) существенно отличается от случая спектра импульса с крутыми склонами (рис. 6.14).

158

Рис. 6.16. График спектра импульса с пологими склонами

Отличия в графиках по рис. 6.14 и рис. 6.16, прежде всего в том, что амплитуды высокочастотных гармоник в спектре импульса с пологими склонами значительно ниже, чем у импульса с крутыми склонами, т.е. спектр содержит меньшее число высокочастотных составляющих. Число гармоник под первым лепестком при N 4 (рис. 6.12) равно трем, в то время как при N 2 имеется лишь одна гармоника (рис. 6.14).

6.2.1. Определение спектра сигнала через быстрое преобразование Фурье

Вычисление спектра сигнала связано с вычислением интегралов (5.8 – 5.10), подынтегральные функции в которых быстро осциллируют, что существенно затрудняет вычисление таких интегралов с заданной точностью и ведет к значительным затратам времени. В связи с этим были разработаны специальные методы быстрого (или дискретного) преобразования Фурье (БПФ или ДПФ) [10], а в дальнейшем, применительно к ним, созданы специальные программные средства в системе Mathcad [4], использование которых в сотни раз ускоряет процедуру определения спектра сигнала и особенно это заметно при воссоздании приближения функции рядом Фурье, то есть

159