Методическое пособие 370

4.3.5.Приняв условия задачи 4.3.1 определить ток в цепи i(t), используя операторы преобразования Лапласа из

«Mathcad» (см. 1.6.2).

4.3.6.Для цепи (рис. 4.24) определить переходную характеристику, используя операторы преобразования Лапласа из

«Mathcad ».

4.3.7. Используя, операторы преобразования Лапласа из « Mathcad », решить дифференциальное уравнение, описывающее свободные процессы в последовательном колебательном контуре (см.п. 2.2.).

Примеры решения задач

4.3.8. Начертите операторную схему замещения цепи (рис. 4.25), если uc(0-) = E0, iL(0-) = I0. Составить систему уравнений, используя метод контурных токов.

Решение

Для составления операторной схемы нулевые начальные условия будем учитывать для индуктивности введением дополнительного источника ЭДС равного Lik(0+) и по направлению совпадающего с положительным направлением тока, а для ёмкости введением дополнительного источника Uc(0+)/p и противоположно направленного.

Для схемы рис. 4.25 iL(0+) = iL(0-) = I0, Uc(0+) = Uc(0-) = E0, и тогда операторная схема замещения может быть пред-

ставлена как на рис. 4.26.

Рис. 4.25 Рис. 4.26

110

Система уравнений запишется в виде

4.3.9. Найти ток в цепи состоящей из R и L, когда на вход схемы действует перепад напряжения Um (рис. 4.27).

Решение

Проведём решение задачи в соответствии с порядком, намеченным в разделе 1.4.

Рис. 4.27 1. Анализ цепи до коммутации позволяет определить неза-

висимые начальные условия в виде iL(0+)=iL(0-)= I0, так как воздействующее на цепь напряжение uВХ(t) при t<0 равно нулю.

2. В соответствии с тем, что в схеме присутствуют нулевые начальные условия, операторная эквивалентная схема цепи будет иметь вид как на рис. 4.28.

Рис. 4.28 3. Уравнение электрического равновесия цепи может быть

записано на основе второго закона Кирхгофа, т.е.

111

I2 p R2 Ip pL UВХ p .

4. Исходя из уравнения электрического равновесия, операторный ток может быть найден как

5. Определяем оригинал найденного изображения тока I(p). Для определения i(t) воспользуемся таблицей оригиналов и изображений по Лапласу [1].

которое в большей степени подходит к полученному изображению I(p).

Преобразуем I(p) следующим образом, т.е.

Тогда в соответствии с таблицей получим, что

Определим теперь выражение i(t) по методу рациональных дробей. Так как знаменатель выражения I(p) = UВХ/p(R+pL) имеет один корень равный нулю, то оригинал находится по формуле

L

112

4.4. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Контрольные вопросы

1.Дайте графическое и аналитическое представление для «единичного сигнала» и «единичного импульса».

2.Что такое переходная характеристика электрической

цепи?

3.Что такое импульсная характеристика цепи?

4.Какая существует связь между переходной и импульсной характеристиками?

5.Какая существует связь между операторным коэффициентом передачи цепи и изображением переходной характеристики?

6.Запишите основное выражение для интеграла Дюамеля.

7.Как поступают, если входная функция воздействия при применении интеграла Дюамеля имеет различные выражения на разных интервалах времени?

8.Для каких типов четырёхполюсников применяется метод интеграла Дюамеля?

9.Почему в формуле интеграла Дюамеля аргументом переходной функции служит время, обозначаемое (t-τ)?

Решить задачи

4.4.1.Для схемы, изображенной на рис. 4.29 определить переходную характеристику h(t), используя операторный метод.

4.4.2.Цепь изображённая на рис. 4.29, включается на прямоугольный импульс напряжения U, действующий в течении времени tu (рис. 4.30). Найти выражение для напряжения на ёмкости uc(t) и ток i(t) в цепи.

113

Рис. 4.29 Рис. 4.30

4.4.3.На входе линейной электрической цепи, переходная характеристика которой равна h(t) = e-t/τ действует напряжение u1(t) = U0 + kt. Определить напряжение на выходе u2(t).

4.4.4.Используя результаты аналитических расчетов из задачи 4.4.1, построить графики h(t) при различной постоянной времени τ = R·C с помощью программы «Mathcad».

4.4.5.Используя результаты аналитических расчетов из задачи 4.4.2, построить графики uc(t) и ic(t) с помощью про-

граммы «Mathcad».

4.4.6.Используя результаты аналитических расчетов из задачи 4.4.3, построить графики входного и выходного напряжений при различных значениях постоянной времени τ, применяя программу {Mathcad}.

4.4.7.Осуществить моделирование процессов по задачам

4.4.4, 4.4.5, 4.4.6 на основе программы «Workbench». Сравнить полученные результаты с аналитическим решением.

Примеры решения задач

4.4.8. Найти отклик RC цепи (рис. 4.31) u2(t) при нулевых начальных условиях с помощью интеграла Дюамеля на воздействие напряжения экспоненциального вида u1(t) = Um· e-t, график которого показан на рис. 4.31 (б), если переходная ха-

t

рактеристика цепи h(t) = e a , где a = RC.

114

Рис. 4.31

Решение

В выражении для переходной характеристики сделаем замену t на t – τ,

Найдем производную от входного воздействия по времени и заменим t на τ:

115

Таким образом, для случая экспоненциального воздействия получим отклик в виде двух экспонент.

Процедура построения графика отклика u2(t) (рис.4.32) при вычислениях с помощью программы Mathcad, представлена в виде листинга 4.1, Mathcad.

116

t

Рис. 4.32. Графики входного и выходного напряжений

4.4.9. Используя условия задачи 4.4.8, определить отклик на выходе цепи (рис. 4.31) с помощью вычисления интеграла Дюамеля на основе программы Mathcad.

Решение

Применим для вычислений формулу (1.52)

t

uвых (t) Uo h(t) u (τ) h(t τ)d .

0

Последовательность вычислений при этом будет следую-

щей (листинг 4.2, Mathcad). Листинг 4.2, Mathcad.

R:=1000 C:=100·10-6 U:=10 a:=R·C

117

t

Рис. 4.33. Графики входного и выходного напряжений при расчетах по формуле интеграла Дюамеля

4.4.10. Приняв условия задачи 4.4.8, определить напряжение на выходе цепи (рис. 4.31) методом моделирования с помощью программы Workbench.

Решение

Рис. 4.34. Схема для определения переходного процесса путем моделирования

118

Исходя из условия задачи, собираем схему (рис. 4.34) для моделирования по рис. 4.31 с использованием источника сигнала PWL, так как входной сигнал u1(t ) не может быть представлен стандартными источниками программы EWB.

Процедура программирования источника PWL представлена на листинге 4.3, Mathcad.

Листинг 4.3, Mathcad

R:=1000 C:=100·10-6 U:=10 a:=R·C

u1(t):=U·e-t t:=0,0.001..3 N:=10000 h:=0.001 i:=1..N-1 ki:=(i-1)·h V0,0:=0 V0,1:=0 Vi,0:=ki Vi,1:=u1(ki)

WRITEPRN(//D:\data9.txt //):=V

В таблице Листинга 4.3. выводятся только первые 15 значений из заданных N:=1000. Просмотреть их, при необхо-

119