1. Конструкции в виде пластин и оболочек

Создание прочных и надежных в эксплуатации машин с большим ресурсом работы, обладающих высокой экономичностью и минимальным весом, - это наиболее важные проблемы, возникающие при проектировании современных конструкций. Стремительное развитие вычислительной техники приводит к необходимости использования новых численных методов расчета. Среди методов, направленных на эффективное использование компьютеров, наибольшее признание получил метод конечных элементов, обладающий рядом достоинств в сравнении с другими методами. Применение метода конечных элементов позволяет повысить точность и надежность расчетов, а также автоматизировать процесс проектирования. Это дает значительный экономический эффект, так как сокращает сроки доводки изделий, а в большинстве случаев позволяет даже отказаться от проведения некоторых видов дорогостоящих прочностных испытаний.

Пластины и оболочки широко применяются в аппаратах криогенной техники, в конструкциях аэрокосмической техники, в промышленном и гражданском строительстве. Примерами пластин и оболочек как конструктивных элементов могут служить сплошное крыло малого удлинения, лопатки турбины, трубопроводы и резервуары различного назначения. Подобные объекты можно исследовать с помощью трехмерных элементов, но такой подход оказывается неэкономичным, так как он приводит к конечноэлементной модели чрезмерно большой размерности. Эффективность расчета повышается с помощью специальных конечных элементов, при построении которых используются гипотезы теории пластин и оболочек, учитывающие то обстоятельство, что толщина мала по сравнению с габаритными размерами. Использование основных соотношений теории пластин и оболочек позволяет свести задачу к двумерной. Деформированное состояние оболочки или пластины полностью определяется перемещениями срединной поверхности и углом поворота прямолинейного отрезка, нормального к срединной поверхности. Дискретизация конструкции сводится к разбиению на конечные элементы срединной поверхности, а в качестве основных неизвестных выступают узловые значения перемещений срединной поверхности и углов поворота нормали. Один из эффективных вариантов конечноэлементного моделирования тонких оболочек базируется на представлении их плоскими элементами. Построение матриц жесткости основано на суперпозиции свойств изгибаемых и плоско-напряженных (мембранных) элементов.

2. Плоский элемент в форме произвольного треугольника

При конечноэлементном моделировании тонкостенных пространственных конструкций, имеющих различного рода криволинейные границы (отверстия, скошенные или непрямоугольные в плане листы) возникает необходимость в использовании плоских треугольных элементов, позволяющих аппроксимировать произвольные области с требуемой точностью и простотой (рисунок 48).

Рисунок 48 – Сетка конечных элементов тонкостенной конструкции

Мембранное состояние описывается путем простейшей аппроксимации перемещений в L-координатах [1, 2]. Матрица жесткости элемента в мембранном состоянии строится по формуле

, (5.1)

где матрица упругости имеет вид

. (5.2)

Изгибное состояние описывается путем аппроксимации функции прогибов полиномом в L-координатах с 9 неопределенными коэффициентами ₁,..,₉, число которых соответствует числу узловых степеней изгибаемого треугольного элемента. Функции формы для данного элемента имеют вид

, (5.3)

где .

Функции формы для остальных узлов получаются циклической перестановкой индексов 123. На основе исходных зависимостей технической теории изгиба тонких упругих пластинок для компонентов относительных деформаций

(5.4)

получается матричное соотношение

, (5.5)

в котором структура матрицы [B^И] определяется вектором {N} функций форм N(L₁,L₂,L₃)

. (5.6)

Локальная матрица жесткости элемента в L-координатах определяется выражением

(5.7)

Вектор напряжений элемента в изгибном состоянии вычисляется по формуле

, (5.8)

где матрица упругости изгибаемой пластины выражается через матрицу (5.2):

. (5.9)

Суперпозиция мембранного и изгибного состояний реализуется по методике [1] с учетом дополнения степеней свободы каждого узла угловой компонентой _zi до шестимерного вектора (рисунок 49)

(5.10)

Матрица жесткости построена в локальной системе отсчета и для формирования матрицы жесткости ансамбля конечных элементов должна быть преобразована в глобальную при помощи матрицы направляющих косинусов.

Рисунок 49 – Единая нумерация узловых перемещений треугольного конечного элемента