1. Основные определения

При возведении различных инженерных сооружений широко используют стальные ферменные конструкции: перекрытия производственных зданий, сборочных цехов, спортивных залов, крытых рынков (рисунок 44). Большую группу подобных конструкций составляют антенные устройства для телевидения, многоканальной телефонной связи, опоры воздушных линий электропередачи, стальные конструкции мостовых и башенных кранов, ферменные модули спутников-платформ, антенны космической связи.

Ферма представляет собой систему стержней (обычно прямолинейных), соединенных в узлах и образующих геометрически неизменяемую конструкцию (рисунок 44).

Рисунок 44

Моделирование таких пространственных конструкций, состоящих из большого количества стержней может быть эффективно проведено методом конечных элементов [10–13].

2. Конечный элемент для ферменных конструкций

При построении модели используется конечный элемент в виде прямого бруса, воспринимающего в общем случае все виды нагрузок (растяжение, изгиб в двух плоскостях и кручение). В качестве узлов i и j приняты его концы (рисунок 45). Оси локальной системы координат направлены таким образом, чтобы ось X совпала с продольной осью бруса, а оси Y и Z совпали с главными центральными осями его поперечного сечения.

Рисунок 45

В каждом узле рассматривается 6 степеней свободы (3 линейных и 3 угловых — они показаны на рисунке 45 дуговыми стрелками) и соответствующие им силовые факторы. Матрица жесткости рассматриваемого конечного элемента имеет размерность 1212. Ненулевые компоненты матрицы жесткости такого элемента в локальной системе координат определяются следующим образом:

Остальные компоненты (в силу симметрии матрицы) определяются в соответствии с записью: .

Преобразование матрицы жесткости бруса из локальной в глобальную систему координат производится согласно выражению:

где — матрица жесткости бруса в локальной системе координат; — матрица направляющих косинусов локальных осей.

Формирование глобальной матрицы жесткости конструкции и решение полученной системы линейных уравнений производится в соответствии с известной методикой [1].

3. Описание программы моделирования и численный пример

Перед проведением вычислений создается расчетная модель, отбрасыванием несущественных деталей исследуемой конструкции и назначением для каждого элемента конструкции соответствующих характеристик. На основе этой модели формируются массивы координат узлов, расположенных в местах соединения ферменных элементов и матрица связей, в которую включаются номера узлов, принадлежащих данному конечному элементу. Задаются узловые нагрузки и граничные условия. В качестве примера моделируется плоская стержневая конструкция, представленная на рисунок 46.

Рисунок 46

В расчетной модели выделено три конечных элемента, объединенных четырьмя узлами. Во втором узле приложена сила, равная 10 кГс. Узлы 1, 3, 4 лишены всех степеней свободы. Материал элементов модели имеет следующие характеристики: E = 210 кГс/см², G = 810⁵кгс/см²,  = 0,3. Для выполнения первого шага требуется создать файл DT1, в первой строке которого указывается глобальная степень свободы и величина узловой нагрузки, следующие пять чисел соответствуют значениям геометрических характеристик стержневых элементов . После этого требуется ввести значения матриц связей и координат улов конечных элементов. Для рассматриваемого примера описываемый файл имеет вид:

DT1

7 -10.

1 1 1 0.5 1

2000000. 800000.

1 1 2 3 0

2 3 2 1 0

3 2 4 1 0

1 0. 0. 0.

2 20. 10. 0.

3 20. 0. 0.

4 30. 0. 0.

На первом шаге вычисляются матрицы жесткости конечных элементов и записываются в файл EST. На втором шаге формируется глобальная матрица жесткости модели, для этого задаются граничные условия в файле DT2. В нем задаются номера граничных узлов и характер закрепления. В последней строке задается число конечных элементов, число степеней свободы узла и число узлов конечного элемента.

DT2

1 111111

3 111111

4 111111

3 6 2

Для выполнения этапа вычисления напряжений в конечных элементах вводятся значения физических характеристик материала в файле DT3.

DT3

2000000. 800000. 0.3 0.5

В результате выполнения первого шага на печать выводятся матрицы связей и координат узлов конечных элементов, а также ширина ленты формируемой системы разрешающих уравнений.

RES1

f=1.000000 zo= 0.5000000E+000

aiy=1.000000 aiz=1.000000 aik=1.000000

E=2000000. G=800000.0

nop(3,4)

1 1 2 3 0

2 3 2 1 0

3 2 4 1 0

cord(4,3)

1 0.0 0.0 0.0

2 20.0 10.0 0.0

3 20.0 0.0 0.0

4 30.0 0.0 0.0

nband=18

элемент 1 длина бруса hl=22.36068

элемент 2 длина бруса hl=10.00000

элемент 3 длина бруса hl=14.14214

Формирование глобальной матрицы жесткости ансамбля конечных элементов завершается выводом на печать вектора узловой нагрузки и числа уравнений, входящих в последнюю фазу.

RES2

rq(24)

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

-10.00000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

0.0000000E+000

nop

i=1 1 2

i=2 3 2

i=3 2 4

3 6 2

1 111111

3 111111

4 111111

профиль обнулен

ik= 24

Вычисленные на третьем шаге узловые перемещения выводятся на печать построчно: первая цифра соответствует глобальному номеру узла, далее следуют значения перемещений в порядке принятой нумерации узловых степеней свободы.

RES3

ФAЗA N 1

1 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

2 -0.67E-04 -0.76E-05 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.68E-05

3 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

4 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

Напряжения в каждом элементе подсчитываются на последнем этапе и выводятся на печать.

RES4

NE=3 NP=4 NDF=6 NCN=2 NST=12 NSZF=24 EM=2000000. PR=0.30

элемент 1 s1=-5.982081 s2=-7.531516

элемент 2 s1=-4.175194 s2=-4.100519

элемент 3 s1=6.607551 s2=7.150179