Лекция 7. Методы безусловной минимизации функций многих переменных Прямые методы

Эффективность методов одномерной минимизации можно сравнивать, на основании гарантированной точности e(N) нахождения точки х*, которую они обеспечивают в результате определения N значений f(x). Наиболее эффективным из сравниваемых методов является метод золотого сечения, за ним идут методы деления отрезка пополам и наименее эффективен метод перебора.

Таблица 16

Методы минимизации	Количество найденных значений f(x)
	N=5	N=11	N=21	N=51
Метод золотого сечения	0,073	4,1 ×10^–3	3,3 ×10^–5	1,8 ×10^–11
Методы деления отрезка пополам	0,125	1,6 ×10^–2	4,9 ×10^–4	1,5 ×10^–8
Метод перебора	0,250	0,100	0,050	0,020

Минимизация функции многих переменных

Будем рассматривать функции многих переменных f=f(x₁ , …, x_n) как функции, заданные в точках хn–мерного евклидова пространства Е_n: f=f(х). Пусть функция п переменных f(х) определена во всем пространстве Е_n.

1) Точка х*ÎЕ_n , называется точкой глобального минимума функции f(х), если для всех х*ÎЕ_n выполняется неравенство f (x*) £f(х). Значение f(x*) =minf(х) = f* называется минимумом функции. Множество всех точек глобального минимума функции f(х) будем обозначать через U*.

2) Точка x~называется точкой локального минимума функции f(х), если существует e–окрестность точки x~ такая, что для всех х*ÎU_n (x~) выполняется неравенство f(x~) £f(х).

3) Если допустимое множество Uв задаче минимизации (максимизации) функции n переменных совпадает со всем пространством E_n , то говорят о задаче безусловной оптимизации

₍₆₃₎

Дифференцируемые функции

Многие алгоритмы минимизации и критерии оптимальности в En используются только для функций, дифференцируемых необходимое число раз.

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ:

1. Если в точке х₀ÎE_nфункция f(x) дифференцируема и достигает локального минимума, то:

f¢(х⁰) = 0 (64)

или

₍₆₅₎

(необходимое условие минимумa).

2. Если в стационарной точке х⁰ÎE_n , функция f(x) дважды дифференцируема и матрица ее вторых производныхf¢¢(х⁰) положительно определена, то х⁰ есть точка локального минимума f (x) (достаточное условие минимумa).

Классический метод минимизации функций, дифференцируемых во всем пространстве En .

Алгоритм метода.

Шаг 1. Решив систему уравнений , найти все стационарные точки функции f (x).

Шаг 2. Используя достаточные условия минимума, среди стационарных точек функцииf (x) найти точки локального минимума и, сравнивая значения функции в них, определить точки глобального минимума.

Пример 3.1. Классический метод минимизации.

Решить задачу f (x) = x²₁ + x²₂ + x²₃ + x₁ – x₃ – x₂x₃®min.