О постановках задач оптимизации конструкций

Задачи теории оптимального проектирования – это определение:

– формы конструкции;

– внутренних свойств конструкции;

– условий работы конструкций;

доставляющих экстремум (минимум или максимум) выбранной характеристики конструкций при ряде дополнительных ограничений. Строгая постановка задач оптимизации конструкций включает формулировку основных определяющих уравнений (выбор модели), оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и искомые управляющие переменные. С математической точки зрения эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размерности задачи, способов вхождения переменных проектирования в основные соотношения, полноты информации об исходных данных, характера экстремума (одноэкстремальные и многоэкстремальные задачи) и способа определения оптимума (однокритериальные и многокритериальные задачи) и других обстоятельств.

Существенным элементом постановки задачи является выбор механической модели. Сначала выбираются переменные состояния и и уравнения:

₍₃₆₎

Здесь и = = {u₁(х), .. ., и_т(х)} — вектор-функция, определяющая состояние конструкции. L- дифференциальный оператор по пространственным координатам x_i. Оператор Lзависит от вектор-функции проектирования h = {h₁(x), . . .,h_n(x)} ивектор-функции внешних воздействий q. Предполагается, что граничные условия, определяющие способ закрепления и нагружения конструкций, включены в оператор L.

Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах конструкции должна быть замкнутой и определять переменные состояния, характеризующие напряженное и деформированное состояние конструкций. Отыскание переменных состояния при заданных функциях проектирования будем называть прямой задачей.

Если уравнения, определяющие состояние конструкции, являются отражением физических закономерностей, то выбор переменных проектирования рассматриваемых функционалов, в том числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы конструкции, технологическими возможностями ее создания.

Функции h_i(x) определяют форму и физико-механические свойства материала конструкции. В качестве h_i(x) могут, например, выбираться распределения толщин и площадей сечений тела, функции, определяющие положение срединных поверхностей криволинейных стержней и оболочек, распределение концентрации армирующего материала по конструкции, углы, задающие ориентацию осей анизотропии в каждой точке упругого тела.

Кроме функций состояния и управляющих переменных, в задачах оптимального проектирования фигурируют функциональные характеристики — функционалы, зависящие оти, h, q: J1 = J1(u,h, q), . . ., J_r=J_r(u, h, q).

В оптимальном проектировании рассматриваются функционалы двух типов: интегральные функционалы:

₍₃₇₎

и локальные функционалы:

₍₃₈₎

Интегрально или посредством комбинации интегралов вида (37) представляются такие характеристики конструкции, как вес, энергия упругих деформаций (податливость), частоты собственных колебаний, критическая нагрузка, под действием которой конструкция теряет устойчивость. Локальными характеристиками являются величина максимального прогиба, интенсивность напряжений.

Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям, накладываемым на управляющие переменные и функции состояния.

₍₃₉₎

Компоненты ψi вектора ψ = {ψ1,. . ., ψk} являются заданными функциями аргументов.

Один из рассматриваемых функционалов или их функция F(J₁, . . ., J_r) принимается в качестве оптимизируемого функционала.

Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), доставляющей минимум (максимум) функционалу

_{. (40)}

Оптимизируемый функционал или критерий качества конструкции в каждой конкретной задаче вида только один. Так, например, при изгибе балки переменной толщины могут быть поставлены задачи минимизации веса балки при ограничении на прогибы или минимизации максимального прогиба при заданном весе.