Основные функционалы и критерии оптимизации

Выбор функционалов, рассматриваемых при оптимальном проектировании, является частью постановок задач оптимизации. На этот выбор влияют многие обстоятельства: основное назначение конструкции, условия эксплуатации, технологические возможности ее создания, ограничения по стоимости, свойства модели, принимаемой для описания механического поведения конструкции, априорные свойства оптимальной задачи. Некоторые типичные функционалы, наиболее часто рассматриваемые при оптимизации конструкций.

Вес — одна из основных характеристик конструкции, и поэтому в большинстве работ по оптимальному проектированию этот функционал либо рассматривается в качестве оптимизируемого критерия качества, либо фигурирует среди других принимаемых ограничений. Вес конструкции характеризует как расход материалов, необходимых для ее создания, так и некоторые ее эксплуатационные свойства.

Вес — интегральная характеристика конструкции. Для сплошных однородных тел вес пропорционален занимаемому ими объему:

₍₄₁₎

Для тонкостенных конструкций из однородных материалов вес представляется интегралом от функции распределения «толщин» h:

₍₄₂₎

Например, для сплошной пластинки, закрепленной по контуру Г в плоскости х, y (х, у — декартовы координаты), f = h (х, у), Q — область, ограниченная контуром Г. В этом случае уменьшения веса конструкции можно добиваться как изменением функции h{х, у) при фиксированной области Q, так и одновременным варьированием толщин и формы областей. Однако в задачах оптимизации конструкций материал делится на «конструктивный», количество и способ размещения которого по конструкции отыскиваются, и «неконструктивный», положение и количество которого заданы. Так, при проектировании трехслойных пластин наиболее часто рассматриваются задачи отыскания оптимального распределения толщин внешних армирующих слоев при фиксированном среднем слое.

Функционал веса J представляется в виде суммы интегралов J_a+ J_c (от толщин армирующих слоев и срединного слоя пластинки), а минимизация J сводится к минимизации веса Jaвнешних слоев.

В случае оптимизации неоднородных тел функционал веса зависит от структуры материала, например от концентрации связующего и армирующих добавок композитных материалов. Если обозначить через h_a, y_a, h_c, y_cконцентрации и удельные веса армирующих и связующих компонент, то

₍₄₃₎

В качестве меры жесткостных свойств конструкции используется величина работы, производимой внешними силами при квазистатическом нагружении упругого тела. Этот функционал называется податливостью конструкции. Пусть упругое тело закреплено на части границы Г_u а к другой части Г_s приложены нагрузки q. Тогда податливость определяется интегралом по Г_s от скалярного произведения векторов упругих смещений и и внешних сил:

₍₄₄₎

При более общем определении функционала податливости можно под q и и соответственно понимать обобщенные силы и обобщенные перемещения. Например, в качестве обобщенных сил можно рассматривать распределение моментов сил, приложенных к балке, в качестве обобщенных смещений — углы поворотов поперечных сечений в соответствующих точках.

В теории оптимального проектирования тонкостенных конструкций, сжатых консервативными силами, также рассматриваются функционалы, определяющие критические значения параметров нагружения, для которых происходит потеря устойчивости. Обозначим через р параметр нагружения, рТ— работу, совершаемую при приведении единицы объема конструкции в критическое состояние, а через П — плотность потенциальной энергии упругих деформаций после потери устойчивости. С использованием классических представлений теории упругой устойчивости приходим к следующему выражению для критического значения р:

₍₄₅₎

Наиболее типичными в теории оптимального проектирования сжатых конструкций являются задачи максимизации критического значения р_о (р_о— минимальное из собственных значений) при заданном весе конструкции и задачи минимизации веса при ограничении p_o ≥ μ, где μ — заданное число.

Многие важные задачи приводят к функционалам, зависящим от значений функций состояния в заранее неизвестных точках. Локальный характер имеют основные прочностные и деформационные характеристики. К локальным функционалам относится такая характеристика жесткости конструкции, как максимальное смещение точек упругой среды. Применительно к изгибу балок и пластин жесткость оценивается величиной максимального прогиба

₍₄₆₎

а задача оптимизации жесткости при варьировании переменной проектирования hестественно формулируется как задача минимизации максимального прогиба.

К локальным функционалам относятся и многие прочностные характеристики конструкции. Типичный функционал этого вида может быть записан следующим образом:

₍₄₇₎

Здесь f = f(s_ij(х)) интенсивность напряжений s_ijили другая мера напряженного состояния произвольной точки конструкции, а Q₀—множество точек, где реализуется максимум f.