Лекция 4. Методы оптимального проектирования.
Часть 2. Распределение ресурсов
Пример 1.Составим модель распределения ресурсов на примере задачи о назначениях. Допустим, в распоряжении вождя племени Уго есть два дикаря: Дик 1 и Дик 2. Одного из них Уго хочет отправить на охоту, другого — на рыбную ловлю. В данном случае возможно два варианта назначения на работу, которые являются допустимыми решениями.
Таблица 7
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Дик 1 — охота |
Дик 1 — рыбная ловля |
Дик 2 — рыбная ловля |
Дик 2 — охота |
Таблица 8
|
Охота |
Рыбная ловля |
Дик1 |
3 |
4 |
Дик2 |
4 |
4 |
Выбираем вариант 2
Число возможных вариантов: N=n!
Таблица 9
|
Охота |
Рыбная ловля |
Приготовление пищи |
Дик1 |
3 |
4 |
5 |
Дик2 |
4 |
4 |
2 |
Дик 3 |
2 |
4 |
3 |
Таблица 10
|
Число возможных вариантов: N=3!=1*2*3=6 |
|||||
Варианты: |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Дик 1 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
5 |
Дик 2 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
4 |
Дик 3 |
3 |
4 |
3 |
2 |
4 |
2 |
|
10 |
9 |
11 |
8 |
13 |
11 |
Пример 2. Тренер секции бальных танцев готовит команду для выступления на крупных соревнованиях. Ему необходимо оптимальным образом составить пары. Для этого он составил таблицу, в которой выставил оценки парам, составленных в различных комбинациях.
Таблица 11
|
Андрей |
Борис |
Виктор |
Гена |
Дима |
Жора |
Иван |
Костя |
Леня |
Аня |
3 |
4 |
5 |
2 |
4 |
5 |
3 |
2 |
5 |
Валя |
4 |
4 |
2 |
4 |
5 |
4 |
5 |
5 |
3 |
Галя |
2 |
4 |
3 |
5 |
4 |
5 |
3 |
4 |
5 |
Даша |
3 |
4 |
5 |
5 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
Женя |
4 |
5 |
5 |
3 |
4 |
5 |
3 |
5 |
4 |
Зина |
3 |
2 |
3 |
5 |
4 |
5 |
2 |
3 |
5 |
Ира |
5 |
2 |
4 |
3 |
2 |
5 |
3 |
4 |
5 |
Лариса |
3 |
3 |
2 |
5 |
4 |
4 |
5 |
5 |
4 |
Нина |
4 |
5 |
2 |
3 |
4 |
4 |
3 |
5 |
4 |
N = 9! =1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 362880.
Для каждой пары танцующих введем обозначение хij, в котором индекс iозначает номер девушки (строки), а индекс j — номер парня (столбца). Тогда можно записать: Аня + Андрей = X11; Аня + Борис = х12; Валя + Андрей = х21, Валя + Борис = х22. На все искомые переменные х11, х12, х21, х22накладываем очень важное ограничение. Все эти переменные в результате решения не могут принимать никаких других значений, кроме 1 и 0.
(31)
Таблица 12
i |
j |
|
Андрей (j=1) |
Борис (j=2) |
|
Аня (i-1) |
3x11 |
4x12 |
Валя (i=2) |
4x21 |
4x22 |
X11 + X12 = 1 X11 + X21 = 1,
X21 + X 22 = 1 X12 + X22 = 1, (32)
.
Решение данной оптимизационной задачи позволяет получить результат, представленный в таблице 13.
Таблица 13
|
Андрей |
Борис |
Виктор |
Гена |
Дима |
Жора |
Иван |
Костя |
Леня |
Аня |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Валя |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Галя |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
Даша |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Женя |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Зина |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Ира |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лариса |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Нина |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|