Учебники / Физика конденсированных сред

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций 331

выполнении этого свойства для второго слагаемого гамильтониана (5.186), достаточно заметить, что

антикоммутируют:

σxσy + σy σx = 0, σy σz + σz σy = 0,

и выполняется очевидное соотношение iσy σy = −σy iσy . Таким образом, в интересующем нас случае оператор обра-

щения времени K имеет вид

K = OK0 = iσy OAK0; K0−1 = K0, O−1 = O+, (5.187)

причем оператор K0 производит операцию комплексного сопряжения, а оператор OA меняет знак A → −A или H → −H .

Найдем свойства симметрии корреляционных функций, которые возникают благодаря инвариантности гамильтониана относительно операции обращения времени. Сначала рассмотрим матричный элемент оператора

< ψn|K−1AK|ψm >=< ψn|(O+AO) |ψm >=

=< ψn|O+AO|ψm > =< Oψn|A|Oψm > =< Kψn|A|Kψm > . (5.188) Таким образом, мы доказали, что

< ψn|K−1AK|ψm >=< Kψn|A|Kψm > .

Обобщая этот результат, для шпура двух операторов запишем

При выводе формулы (5.189) мы учли, что численное значение шпура не зависит от того, по какой полной системе собственных функций он вычисляется: ψ или ψ− и воспользовались

обозначением K−1AK = A× . Нижний индекс H или −H у корреляционных функций служит лишь для напоминания (операция смены знака направления магнитного поля включена в оператор обращения времени).

Используя последовательно соотношения (5.179) и (5.189), получим еще одно полезное соотношение

Применяя соотношение (5.190) к корреляционной функции Iμν (t) , получаем

Соотношение (5.192), если учесть определение (5.176), позволяет записать соотношение симметрии Онсагера для компонент тензора электропроводности в магнитном поле

Обобщая этот результат, для компонент обобщенной восприимчивости χAB , получаем

где величины εA и εB равны ±1 в зависимости от четности операторов A и B при операции обращения времени.

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций 333

Из соотношений (5.192), (5.193) следует, что диагональные компоненты тензора электропроводности могут содержать лишь четные степени магнитного поля.

Используя свойства симметрии операторов тока относительно операции обращения времени, запишем еще одно полезное соотношение

Для доказательства этого соотношения рассмотрим корреляционную функцию Iμν (t)H :

Учитывая равенство (5.181), легко получаем результат (5.195). Поскольку диагональные компоненты корреляционной функции Iμν (t) четны по магнитному полю, то отсюда следует, что

Ixx(t) = Ixx(−t), Iyy (t) = Iyy (−t), Izz (t) = Izz (−t). (5.197)

Глава 6

МЕТОД НЕРАВНОВЕСНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

6.1.Неравновесный и квазиравновесный статистические операторы

§1. Квазиравновесное распределение

Вэтой главе будет рассмотрен метод неравновесного статистического оператора (НСО), который идейно связан с методом проекционных операторов Мори. Метод НСО активно развивался в работах Д. Н. Зубарева и В. П. Калашникова. Достаточно полный обзор ранних работ этих авторов по методу НСО

содержится в книгах [36, 37]. Для знакомства с методом можно рекомендовать также монографию Г. Рёпке [42], в которой, к сожалению, приведено слишком мало примеров применения метода НСО для решения прикладных задач. Обзор более поздних работ, содержащих современное развитие этого достаточно перспективного метода, можно найти в книге [43].

Мы не претендуем на то, чтобы дать достаточно полный и современный обзор работ по использованию метода НСО для решения задач физической кинетики. Нашей целью является желание обратить внимание читателей, и в первую очередь студентов, на простой, современный, сравнимый по общности с кинетическим уравнением метод НСО, который, тем не менее, еще не нашел должного практического применения.

Эволюцию во времени неравновесного состояния макроскопической системы можно описать с помощью неравновесного статистического оператора ρ(t, 0), удовлетворяющего уравнению Лиувилля (5.19):

В уравнении (6.1) величина ρ(t, 0) имеет два временных аргумента. Первый временной аргумент описывает зависимость статистического оператора от времени t , связанную с явной зависимостью параметров от величины t . Например, это может быть зависимость температуры, дрейфовой скорости и т. д. от времени. Второй временной аргумент t – это обычная гайзенберговская зависимость оператора от времени, при этом, поскольку ρ(t) является интегралом движения,

Уравнение Лиувилля в этих обозначениях можно записать также в виде

Если в начальный момент времени t0 статистический оператор известен и равен ρ(t0, 0) , то решение задачи Коши для НСО определяется выражением

а временная зависимость средних для оператора некоторой физической величины А имеет вид

A t = Sp{Aρ(t, 0)} = Sp{ρ(t0, 0) exp{iL(t − t0}A}. (6.5)

При выводе последнего соотношения мы воспользовались циклической перестановочностью операторов под знаком шпура и выражением (5.20) для оператора гайзенберговской эволюции. Следует отметить, что приведенные выше соотношения относятся к частному случаю систем, гамильтониан которых не зависит от времени.

Формулы (6.2) – (6.5) соответствуют точному динамическому описанию системы, которое, как это следует из результатов предыдущих глав, является ненаблюдаемым для систем со слабой устойчивостью. Предположим, что начиная с некоторого момента времени τ , которое порядка времени размешивания в системе, измеримыми величинами для исследуемой системы

будут средние значения Pn t некоторой совокупности операторов Pn . По этой причине можно предполагать, что по истечении времени τ в системе исчезнет память о начальном распределении ρ(t0, 0) и эволюция системы будет определяться только ее общими статистическими свойствами.

Тогда для рассмотрения достаточно далекой асимптотики t τ можно вообще не рассматривать те корреляции, которые распадаются за время t τ . Эта идея, высказанная Н. Н. Боголюбовым, лежит в основе метода НСО. Если мы её примем, то истинное начальное условие для уравнения Лиувилля

lim ρ(t) = ρ(t0)

t→t0

(которое, кстати, мы все равно не знаем ) можно без ущерба заменить идеализированным условием, состоящим в том, что и в начальный момент времени НСО считается функционалом только от тех же переменных Pn t , которые оказываются долгоживущими или измеримыми на временах t τ . Поэтому, как следует из решения уравнения Лиувилля (6.4), ρ(t, 0) будет функционалом от Pn t и во все последующие моменты времени.

Обсудим теперь другое важнейшее положение излагаемого метода. Пусть мы имеем систему, состояние которой на интересующем нас этапе эволюции описывается набором средних (измеримых) величин Pn t . Наряду с неравновесным статистическим оператором ρ(t, 0) введем квазиравновесный статистический оператор ρ(t, 0) , эквивалентный НСО в том смысле, что средние значения операторов Pn равны между собой во все моменты времени для равновесного и квазиравновесного распределений:

Условие (6.6) является новым предположением и не следует из той программы построения теории необратимых явлений, которая обсуждалась в предыдущей главе. Мы отложим выяснение физического смысла этого условия и рассмотрим его несколько позже в этой главе после вывода явного выражения для квазиравновесного распределения. Сейчас лишь отметим, что

условие (6.6) позволяет построить термодинамику неравновесной системы.

Смысл квазиравновесного распределения будет выясняться по мере изложения. Исходя из того, что такое распределение ввести можно и что это распределение будет некоторым функционалом от средних значений наблюдаемых величин Pn t , будем считать, что распределение ρ(t, 0) является функционалом от наблюдаемых средних Pn t , взятых в один и тот же момент времени t . Тогда, считая, что ρ(t, 0) зависит от времени только через зависимость средних Pn t от времени, получаем

Уравнение (6.7) позволяет дать еще одну интерпретацию операторов Pn . Эти операторы являются базисными операторами в гильбертовом пространстве и эволюция во времени любого оператора может быть выражена через эволюцию совокупности базисных операторов. Из уравнения (6.7) следует, что квазиравновесное распределение не удовлетворяет уравнению Лиувилля. Выражение для производной по времени для величинPn t можно получить, если воспользоваться уравнением (6.6). Дифференцируя это уравнение по времени с учетом уравнения Лиувилля (5.19), получаем

При выводе последнего выражения мы воспользовались определением оператора Лиувилля (5.18) и учли, что

Уравнение (6.8) можно рассматривать как обобщенное кинетическое уравнение. В частности, это уравнение может иметь смысл уравнения для одночастичной функции распределения,

ния и уничтожения частицы, например электрона, в некотором

состоянии k .

которое совпадает по форме с производством энтропии в феноменологической неравновесной термодинамике Онсагера [5]. Знак δ в формуле (6.15) означает функциональную производную. Согласно Онсагеру, производство энтропии в системе равно сумме произведений обобщенной термодинамической силы на сопряженный термодинамический поток. Выражение (6.16) как раз имеет такую структуру и позволяет интерпретировать величину Fn(t) как обобщенную термодинамическую силу, а

˙ t

Pn – как обобщенный термодинамический поток.

§ 2. Экстремальные свойства квазиравновесного распределения и термодинамика квазиравновесного ансамбля

Интересно выяснить, каким должен быть явный вид квазиравновесного распределения. Ясно, что определение ρ(t) может быть неоднозначным, поскольку пока к этому распределению предъявляется одно требование, оно должно быть функционалом от Pn t . Выражение (6.10), задающее связь квазиравновесного распределения с энтропией, позволяет однозначным образом определить ρ(t) . Именно потребуем, чтобы ρ(t) удовлетворял максимуму информационной энтропии

S(t) = −Sp{ρ(t, 0) ln ρ(t, 0)}

при дополнительных условиях: а) как бы ни варьировалось распределение, наблюдаемые средние значения базисных операторов должны оставаться неизменными: