В вакууме:

Если рассматриваются частицы только одного сорта, для них вводят одночастичную функцию распределения f(r, p, t). Эта функция определяет число частиц, находящихся в элементе шестимерного фазового пространства dn(t) = f(r, p, t)dVdP в момент времени t. Элемент фазового пространства определяется объемом пространства dV(r), расположенным вокруг точки с радиус вектором r и объемом пространства импульсов dP(p), содержащего частицы со импульсами, близкими к импульсу p. Очевидно, что интеграл от функции распределения по всем возможным импульсам должен быть равен числу частиц в единице объема, т. е. их концентрации:

В качестве примера приведем так называемую максвелловскую функцию распределения, которой в ряде практически важных случаев соответствует распределение электронов по скоростям в электронном потоке вакуумных приборов с учетом теплового разброса скоростей:

! !

где Te — так называемая электронная температура, характеризующая среднюю энергию теплового движения электронов.

Сформулируем уравнение движения (переноса) для ансамбля частиц одного сорта в вакууме. Для этого используем теорему Лиувилля, которая утверждает, что функция распределения остается постоянной вдоль любой траектории в фазовом пространстве, т. е.

где индексами r и p отмечены операторы, действующие на координаты и проекции импульса соответственно.

Если к полю сил F добавить силу воздействия самосогласованного поля, зависящего от функции распределения, получим уравнение Власова, описывающее движение частиц в поле, равном сумме внешнего поля и поля, создаваемого самими частицами. Такой подход используется в вакуумных приборах для анализа движения частиц при наличии теплового разброса скоростей в электронном потоке.

– вакуума (уравнение Власова)

В твердом теле:

В отличие от движения частиц в вакууме, при анализе процессов переноса в твердом теле необходимо учитывать процессы рассеяния, рекомбинации и генерации частиц. Надо учитывать столкновительный член, который есть в кинетическом уравнении Больцмана:

! !

Проинтегрировав его по пространству импульсов, получим закон сохранения числа частиц:

(отсылка на вопрос №4)

Законы движения заряженных частиц в твердом теле существенно отличаются от законов их движения в вакууме. Эти отличия обусловлены следующими факторами:

1. свободные ЗЧ в твердом теле движутся в периодическом поле кристаллической решетки. Влияние этого поля в первом приближении можно учесть, введя эффективную массу частицы m*, отличную от действительной ее массы;

2. при температуре, большей абсолютного нуля, атомы кристаллической решетки совершают колебания, что приводит к столкновениям со свободными ЗЧ и приобретению последними хаотических тепловых скоростей. При столкновении величина и направление скорости частицы меняются случайным образом. Эти процессы называют процессами рассеяния;

3. скорости, приобретаемые ЗЧ под действием электрического поля, обычно много меньше или сравнимы с тепловыми скоростями.

Движение носителей заряда в твердотельной или газовой плазме сопровождается большим количеством актов столкновений (рассеяния). Физическая природа актов рассеяния очень разнообразна. Это рассеяние на заряженных и нейтральных компонентах среды, рассеяние на фононах, на дислокациях кристаллической решетки, межэлектронное рассеяние и т. п. Стохастический характер этих процессов, сильная зависимость от напряженности поля, энергии частицы, температуры, концентрации приводит к необходимости использовать кинетическое уравнение Больцмана для описания процессов токопереноса. При этом важную роль играет правильная аппроксимация столкновительного члена в этом уравнении. Часто используют приближение времени релаксации, полагая, что скорость изменения во времени данной физической величины пропорциональна разности между ее текущим и некоторым равновесным значениями. Математически это представляется дифференциальным уравнением вида:

где a(t) — любая величина, характеризующая плазму; a₀ — ее равновесное значение; Ʈ — коэффициент, называемый постоянной релаксации данной величины.

В процессе движения зарядов в полупроводниках происходит релаксационные процессы, связанные с генерацией и рекомбинацией зарядов. Эти процессы характеризуются временем жизни носителей: электронов — Ʈn, дырок— Ʈp. Для того чтобы приборы работали в микроволновом диапазоне, необходимо иметь материал с временем жизни носителей заряда много боольшим, чем период микроволновых колебаний T. Для электронов это условие запишется в виде неравенства Ʈn >> T

Уравнение Ньютона (вакуум) (Для одиночного заряда или ансамбля зарядов с одинаковой скоростью v) Невозможно использовать т.к. количество частиц очень большое.

Кинетическое уравнение Больцмана (Власова) Для ансамбля зарядов с распределением по скоростям и импульсам и по времени f(r,p,t)

– для плазмы твердого тела

Кинетическое уравнение Больцмана для ансамбля зарядов с распределением по скоростям и импульсам и по времени f(r,p,t)

n(r,t) – концентрация частиц в данный момент времени в данной точке пространства (r-радиус вектор)

Найдём среднюю скорость и ток:

- Распределение Максвелла

При субатомных размерах мы пользуемся уравнением Шрёдингера

U(r,t) – внешняя по отношению к частице потенциальная энергия поля в точке r.

4. Законы сохранения: числа частиц, импульса и энергии. Характерные пространственные и временные интервалы: время релаксации импульса и энергии, время максвелловской релаксации, плазменная частота и длина Дебая, время жизни и диффузионная длина.

Законы сохранения:

(1)

Используя приближение времени релаксации, полагают, что скорость изменения во времени данной физической величины пропорциональна разности между ее текущим и некоторым равновесным значениями.

где a(t) — любая величина, характеризующая плазму, a₀ — ее равновесное значение, τ — коэффициент, называемый постоянной релаксации данной величины.

Числа частиц:

Использование приближения времени релаксации и интегрирования уравнения (1) по пространству скоростей дает уравнение сохранения числа частиц:

(2)

где n — концентрация заряженных частиц, v_d — скорость их дрейфа, G — скорость генерации частиц, R — скорость рекомбинации.

Потока импульса:

Умножение уравнения (1) на v с последующим интегрированием по пространству скоростей дает уравнение переноса или уравнение сохранения потока импульса:

(3)

Лучше записать так :

И пояснить, что:

p = mnv_d — удельный импульс;

= рv_d — тензор (диада) потока импульса;

∇⋅ — пространственная расходимость потока импульса;

nF_ir— эффективная сила внутреннего трения, отражающая изменение импульса за счет актов рассеяния.

Тензор давления (или напряжений) представляет собой тензор второго ранга (диаду) и определяется следующим образом. Если dS - ориентированный элемент площади поверхности, то * dS определяет поверхностную силу, действующую со стороны частиц, находящихся в направлении ориентации вектора dS, на частицы, расположенные с противоположной стороны элемента поверхности.

Энергии:

Умножение уравнения (1) на v² и интегрирование по всему пространству скоростей дает уравнение сохранения энергии:

(4)

где – полная энергия частицы, – пространственная расходимость потока энергии , jE - джоулево тепло, Q - изменение d энергии за счет процессов рассеяния.

Уравнения (2)-(4) можно привести к более простому виду, если использовать приближение времени релаксации

(5)

(6)

(7)

где τ_n - время релаксации зарядов (время жизни), _p - время релаксации n импульса частицы, _ε - время релаксации энергии частицы.

Время релаксации импульса и энергии:

Время релаксации τ_p импульса mv характеризует скорость изменения (уменьшения) импульса при снятии возбуждения. Согласно приближению времени релаксации запишем:

Для одномерного случая:

v(t)=v(0)exp(-t/τ)

Величина τ_p имеет смысл среднего времени свободного пробега. Если эту величину умножить на среднеквадратичную тепловую скорость v_T, то T получим среднюю длину свободного пробега частицы l_p:

Релаксация энергии частицы происходит с другим характерным временем, т.к. для потери избыточной энергии частице необходимо совершить большое количество актов рассеяния.

По аналогии с длиной свободного пробега введем в рассмотрение некое расстояние, на котором происходит релаксация энергии. Назовем это расстояние длиной «остывания» - l_ε . В случае подачи электрического поля, логичнее назвать эту величину длиной «разогрева». Оценим эту длину следующим образом:

Время релаксации заряда (максвеловское время релоксации):

Работа любого электронного прибора связана с созданием избытка зарядов в некотором пространстве, по сравнению с равновесным состоянием. Естественно, за счет сил электрического взаимодействия будет происходить изменение такой зарядовой неоднородности. Найти характерное время релаксации заряда можно с помощью уравнений Максвелла. Часто это время и называют максвелловским временем релаксации заряда.

Рассмотрим некоторую среду с проводимостью σ и диэлектрической проницаемостью ε, в которую помещён заряд объёмной плотность ρ.

Определим характер изменения во времени этого заряда. Используя оператор дивергенции от правой и левой части 1-го уравнения Максвелла, учитывая выражение div(rot(H))=0 и уравнение Пуассона, получим уравнение для нахождения ρ.

=> – релаксация заряда,

Где – время максвеловской релаксации, ρ₀ – заряд в момент времени t=0.

Период плазменных колебаний, длина Дебая:

Подвижные носители, возвращаясь, по инерции пролетают мимо положения равновесия, и процесс приобретает колебательный характер, называемый плазменными колебаниями. Определим характерны параметры такого колебательного процесса, т.е. период плазменных колебаний и характерную пространственную амплитуду (размах) колебаний.

Средняя энергия частицы, определенная по термодинамическим соотношениям должна быть равна кинетической энергии частицы и энергии, определенной по законам электродинамики: W_терм= W_мех= W_эд

где v_T-среднеквадратичная тепловая скорость, U_T-характерный тепловой потенциал. Определим пространственное распределение этого теплового потенциала при разделении доноров и электронов на некоторое расстояние x , используя уравнение Пуассона для одномерного случая:

Считая уровень легирования не меняющимся по координате (N_d=const), =>

Максимальное расстояние, на которое сместиться электрон обозначим L_D (длина Дебая). Возникшую за счёт разделения зарядов разность потенциалов ΔU на этом расстоянии обозначим U_T. Тогда:

Заменим U_T через энергию:

Определим период плазменных колебаний T_p

=>

Плазменная частота :

Время жизни неосновных носителей, диффузионная длина:

В процессе движения зарядов в полупроводниках происходят релаксационные процессы, связанные с генерацией и рекомбинацией зарядов. Для того чтобы приборы работали в микроволновом диапазоне, необходимо выполнить условие во временной области и в пространственной.

Практические измерения времени жизни носителей заряда в полупроводниках показали величину . Пространственный интервал, связанный с этой величиной, называется диффузионной длиной L_diff и рассчитывается с помощью следующего соотношения:

где D -коэффициент диффузии.

Подстановка реальных значений для τ_n и D показывает, что условия в пространственной L_diff >>λ_micro и во временной области τ_n>>T_micro выполняются.