3.2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка состоит из отдельного макета и двух осцилло-

графов С1–83 (I) и С1–83 (II).

В отдельном макете находятся генератор исследуемых случайных сигналов, а также измерители функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей. Структурная схема макета установки (рис. 3.9) изображена на его передней панели.

рэлеевского шума

Рис. 3.9

С выхода «» осциллографа С1–83 (I) снимается в качестве опорного пилообразное напряжение горизонтальной развертки и подается в лабораторный макет на «Вход U» для использования в качестве аргумента «U» функции распределения.

Выход «Функция распределения» установки соединяется с входом «Υ» осциллографа С1–83 (I). На экране осциллографа появляется изображение функции распределения F(U) или плотности распределения вероятностей p(U). Выбор зависит от положения переключателя «F(U) — p(U)» на передней панели экспериментальной установки.

Выход «Форма сигнала» установки соединяется со входом «Υ» осциллографа С1–83 (II), на экране которого наблюдают изображение исследуемого сигнала.

Вмакете установки имеются следующие источники сигналов:

1.Четыре генератора гармонических колебаний различных частот.

2.Четыре генератора сигналов треугольной формы различных частот.

30

3.Формирователь шума с распределением по обобщенному закону Рэлея.

4.Генератор шума с гауссовским законом распределения.

Имеется также вход для внешнего сигнала.

Выходы всех источников сигналов подключены через сумматор ∑ ко входу измерителя функций распределения. Каждый источник сигнала имеет тумблер включения и регулировку уровня (только часть регуляторов уровня выведена на переднюю панель).

3.3. Задание и указания к выполнению работы

1. Подготовить установку к измерениям. На осциллографе С1–83 (I) установить коэффициент развертки 0,1 с/дел, коэффициент отклонения 0,2 В/дел. Включить осциллографы и экспериментальную установку. В установке выключить все генераторы (ручки тумблеров — вниз), что соответствует нулевому сигналу на входе измерителя функции распределения; тумблер «Функции распределения» — в положении F(U). На экране С1–83 (I) появится изображение ступенчатой функции

Регулировкой смещения и коэффициента отклонения осциллографа установить изображение так, чтобы скачок находился в центре экрана и величина скачка была равна 3–4 см.

2. Откалибровать изображение на экране С1–83 (I). Включить генератор треугольного сигнала № 4 (ручка тумблера — вверх). На экране С1-83 (I) переход от F(U) = 0 к F(U) = 1 будет иметь вид наклонной линии (см. рис. 3.3, в). Точки излома соответствуют минимальному U1 и макси-

мальному U2 значениям треугольного сигнала. Измерить расстояние по го-

ризонтали между точками излома — L, дел. На экране осциллографа С1-83 (II) получить изображение треугольного сигнала (см. рис. 3.3, а) и измерить его размах (U2 −U1) , В. Масштаб по горизонтали для изображения на

экране осциллографа С1–83 (I) равен (U2 −U1)L , В/дел. Данный масштаб

является одинаковым для всех получаемых в дальнейшем графиков функций распределения F(U) и плотностей вероятности p(U).

Переключатель «Функции распределения» в установке перевести в положение «p(U)». На экране С1–83 (I) появится П-образное изображение, соответствующее равномерному распределению вероятности, характерному для треугольного сигнала (см. рис. 3.3, б).

Если изображение по вертикали занимает L делений, то масштаб изображения p(U) по вертикали составит 1[(U2 −U1) L] , (В дел)–1. Данный

31

масштаб является одинаковым для всех получаемых в дальнейшем графиков плотностей вероятности p(U).

Определять вертикальный масштаб для графиков функций распределения нет необходимости — он очевиден благодаря предельным свойствам

В дальнейшем коэффициент отклонения осциллографа C1–83 (I) не изменять.

3. Исследовать функции распределения и плотности вероятностей мгновенных значений для следующих сигналов:

•гармонического сигнала № 4 при двух значениях его амплитуды;

•треугольного сигнала № 4 при двух значениях его амплитуды;

•гауссовского шума при двух значениях его дисперсии;

•рэлеевского шума при нулевом и ненулевом значениях амплитуды детерминированного сигнала.

Указанные варьируемые параметры выбрать самостоятельно таким об-

разом, чтобы на графиках было хорошо заметно их влияние на форму функции распределения и плотности вероятности.

Исследование производится следующим образом. В исходном положении все генераторы выключены. Включить генератор исследуемого сигнала. По изображению сигнала на экране С1–83 (II) убедиться, что включен требуемый сигнал. По изображению на экране С1–83 (II) или по вольтметру, подключенному к выходу «Форма сигнала» установки (параллельно входу осциллографа), определить диапазон регулировки уровня исследуемого сигнала (амплитуда для гармонического и треугольного, эффективное значение для шумов). В этом диапазоне выбрать два значения уровня исследуемого сигнала и для каждого из них зарисовать с экрана С1–83 (I) изображения функций p(U) и F(U) с учетом ранее определенных масштабов по осям.

4. Исследовать сходимость к гауссовскому закону распределения суммы независимых случайных сигналов. Выяснить, для какого из двух исходных

Для суммы гармонических сигналов исследование производится следующим образом. В исходном положении все генераторы выключены. Включить генератор синусоидального сигнала № 1 и зарисовать график функции распределения F(U). Затем, не выключая генератор этого сигнала, включить генератор синусоидального сигнала № 2 и зарисовать график функции распределения F(U) для суммы двух синусоидальных сигналов. Далее поочередно дополнительно включить генераторы синусоидальных сигна-

32

лов № 3 и № 4, каждый раз зарисовывая графики функции распределения суммарного сигнала.

Для суммы треугольных сигналов исследование производится аналогичным образом.

Содержание отчета

•результаты определения масштабов графиков согласно п. 2;

•графики функций распределения и плотностей вероятностей значений сигналов, исследованных в п. 3.

•анализ соответствия графиков, полученных в п. 3, теоретическим резуль-

татам (выражения (3.3)–(3.7)) [4];

•графики функций распределения для последовательных сумм синусоидальных и треугольных сигналов согласно п. 4;

•вывод о скорости сходимости распределения вероятности суммы независимых случайных сигналов к гауссовскому закону.

Контрольные вопросы

1.Как измеряют функцию распределения по одной реализации эргодического случайного процесса?

2.Определить функцию распределения F(x), математическое ожидание mx

идисперсию Dx для случайной величины, имеющей заданную преподавателем плотность вероятности p(x).

3.Определить плотность вероятности p(x), математическое ожидание mx

идисперсию Dx для случайной величины, имеющей заданную преподавателем функцию распределения F(x).

4.Могут ли эти функции быть функциями распределения вероятности?

5.Могут ли эти функции быть функциями плотности вероятности?

6.Как зависит плотность вероятности нормального закона от входящих в нее параметров? Пояснить графически.

33

7.Как зависит плотность вероятности обобщенного закона Рэлея от параметров Uс и σ?

8.Плотность распределения случайного сигнала u(t) представлена суммой

p(u) = 13 δ(u) + 13 δ(u −1) + 13 δ(u − 2) .

Записать и построить функцию распределения F(u) и определить математическое ожидание и дисперсию u(t). Привести пример реализации u(t).

9.Известно, что плотность распределения суммы двух независимых случайных сигналов u(t) и v(t) с плотностями распределения pu (u) и pv (v) является сверткой

px (x) = p(u + v) = ∫−∞∞ pu (λ) pv (x −λ)dλ.

Рассчитать px (x) для заданной преподавателем суммы двух сигналов, исследованных в работе, и сравнить с экспериментальными данными.

10.Реализации случайного процесса X(t) имеют вид xi(t) = 2sin(ω0t + ϕi), где ϕi — статистически независимые случайные величины, равномерно распределенные в диапазоне от −π до π. Записать приближенную формулу для плотности вероятности случайного процесса y(t) = ∑100i=1 xi (t) .

11.Может ли функция распределения вероятности:

а) принимать постоянное значение на некотором интервале? б) иметь скачок в некоторой точке?

Если может, то что можно сказать о данном интервале (точке)?

12.Как измеряется плотность распределения вероятностей в лабораторном макете?

13.Какую роль играют RC-цепочки в составе структурной схемы лабораторного макета?

14.Как будет выглядеть плотность вероятности рэлеевского закона при

σ = 0?

15.Функция распределения стационарного случайного сигнала u(t) представлена в виде смещенной функции Хевисайда:

F(u) = σ(u − 3).

Записать и построить соответствующую плотность распределения p(u), определить математическое ожидание и дисперсию сигнала u(t). Привести пример реализации сигнала u(t).

34